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1、追及和相遇问题追及和相遇问题1中小学追及相遇问题解题指导：解题关键条件追及物体与被追及物体速度相等（1）类型及追及的条件初速为零的匀加速直线运动的物体追赶同向匀速（或初速为零的匀加速直线运动的物体追赶同向匀速（或匀减速）直线运动的物体时，追上之前两者距离最大的匀减速）直线运动的物体时，追上之前两者距离最大的条件为：追及者的速度等于被追及者的速度条件为：追及者的速度等于被追及者的速度2中小学情境设置情境设置 例题例题1：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以行车
2、以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。【思考分析思考分析】1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？时间两车相距最远？此时距离是多少？分析：汽车追上自行车之前，分析：汽车追上自行车之前， v汽汽v自自时时 x变小变小结论：初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向结论：初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向匀速物体时，追上前具有最大距离的条件：匀速物体时，追上前具有最大距离的条件： 两者速度相等两者速度相等3中小学一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，
3、当绿灯亮起时汽车以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。【思考分析思考分析】1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？时间两车相距最远？此时距离是多少？解法一解法一 物理分析法物理分析法两者速度相等时，两车相距最远。两者速度相等时，两车相距最远。 （速度关系速度关系） v汽汽=at=v自自 t= v自自/a=6/3=2sx= v自自t at2/2=62 3 22 /2=6m4中小学一辆汽车在十字路
4、口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。【思考分析思考分析】1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？时间两车相距最远？此时距离是多少？解法二解法二 用数学求极值方法来求解用数学求极值方法来求解设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远x=x1x2=v自自t at2/2 （位移关系位移关系） x=6t 3t2/2由二次函数求
5、极值条件知由二次函数求极值条件知t= b/2a = 6/3s = 2s时，时， x最大最大 xm=6t 3t2/2= 62 3 22 /2=6 m 5中小学一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。【思考分析思考分析】1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？时间两车相距最远？此时距离是多少？解法三解法三 用图象
6、求解用图象求解v/（ms-1）1260t/s42V汽汽V自自t=v自自/a= 6 / 3=2 s 在相遇之前，在在相遇之前，在t时刻两车速度相等时刻两车速度相等时，自行车的位移（矩形面积）与汽时，自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以部分）达最大，所以6中小学一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。的速度匀速驶来，从后面超过汽车。v/（ms-1）v
7、60t/sttV汽汽V自自2什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？是多少？ 方法方法2：由图可看出，在：由图可看出，在t时刻以后，由时刻以后，由v自自线与线与v汽汽线组线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时， t=2t=4 s v = 2v自自=12 m/s 解：解：方法方法1：汽车追上自行车时，汽车追上自行车时， 二车位移相等（位移关系）二车位移相等（位移关系）则则 vt=at2/26t= at2/2， t=
8、4 s v= at= 34=12 m/s 7中小学匀速运动的物体追赶同向匀加速直线运动的物体，追赶匀速运动的物体追赶同向匀加速直线运动的物体，追赶时两者距离最小（包括追及）的条件为：追赶者的速度等时两者距离最小（包括追及）的条件为：追赶者的速度等于被追赶者的速度于被追赶者的速度例例2、一一车车从从静静止止开开始始以以1m/s2的的加加速速度度前前进进，车车后后相相距距x0为为25m处处，某某人人同同时时开开始始以以6m/s的的速速度度匀匀速速追追车车，能能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。 情境设置情境设置 8中小学例例2、一一车车从从静静止止开开
9、始始以以1m/s2的的加加速速度度前前进进，车车后后相相距距x0为为25m处处，某某人人同同时时开开始始以以6m/s的的速速度度匀匀速速追追车车，能能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。 解析：解析：依题意，人与车运动的依题意，人与车运动的时间相等时间相等，设为，设为t,当人追上车时，两者之间的当人追上车时，两者之间的位移关系位移关系为：为：x车车+x0= x人人即：即： at22 + x0= v人人t由此方程求解由此方程求解t，若有解，则可追上；，若有解，则可追上； 若无解，则不能追上。若无解，则不能追上。 代入数据并整理得：代入数据并整理得：t2
10、12t+50=0=b24ac=1224501=560所以，人追不上车。所以，人追不上车。X0=25mv=6m/sa=1m/s29中小学 在在刚刚开开始始追追车车时时，由由于于人人的的速速度度大大于于车车的的速速度度，因因此此人人车车间间的的距距离离逐逐渐渐减减小小；当当车车速速大大于于人人的的速速度度时时，人人车车间间的的距距离离逐逐渐渐增增大大。因因此此，当当人人车车速速度相等时，两者间距离最小。度相等时，两者间距离最小。at= v人人 t=6s在这段时间里，人、车的位移分别为：在这段时间里，人、车的位移分别为：x人人=v人人t=66=36mx车车=at2/2=162/2=18mx=x0+x
11、车车x人人=25+1836=7m10中小学结论：速度大者减速追赶速度小者结论：速度大者减速追赶速度小者,追上前在两追上前在两个物体速度相等时个物体速度相等时,有最小距离有最小距离.即必须在此之前即必须在此之前追上追上,否则就不能追上否则就不能追上.11中小学解析：作汽车与人的运动草图如下图甲和v-t图象如下图乙所示因v-t图象不能看出物体运动的初位置，故在图乙中标上两物体的前、后由图乙可知：在06 s时间内后面的人速度大，运动得快；前面的汽车运动得慢即06 s内两者间距越来越近因而速度相等时两者的位置关系，是判断人能否追上汽车的条件图甲 图乙 x要追上要追上 xx012中小学由vat，得tv/
12、a6 s故人能否追上汽车取决于t6 s时人与车分别运动的位移之差是否大于或等于二者开始运动时的最大距离因为x=vt-1/2at218 m，看出x180m匀减速直线运动的物体追赶同向匀速（或匀加速）直线运动的匀减速直线运动的物体追赶同向匀速（或匀加速）直线运动的物体时，恰好追上（或恰好追不上）的临界条件为：即追尾时，物体时，恰好追上（或恰好追不上）的临界条件为：即追尾时，追及者速度等于被追及者速度追及者速度等于被追及者速度.当追及者速度大于被追及者速度，当追及者速度大于被追及者速度，能追上，反之追不上能追上，反之追不上v汽汽= 20m/sV货货= 6m/s180m追上处追上处a= -0.5m/s
13、215中小学题型训练题型训练为检测汽车的制动性能：以标准速度 20 m/s 在平直公路上行驶时，制动后40 s可停下来.现在平直公路上以20 m/s的速度行使，发现前方180 m处有一货车以6 m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，会不会发生撞车事故？解析： 这是典型的追及问题，关键是要弄清不相撞的条件汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车会否相撞的依据当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞.先计算车的加速度a= = -0.5 m/s2,在追及的过程，车减速至 v=6 m/s 的时间16中小学在这段时间内，s A=v0t at
14、2=364 m， s= vt168 m sA- s=196 m180 m，所以两车相撞.另外，本题也可以用不等式求解：设在t 时刻两物体相遇，则有：v0t at2=180+ vBt即:20t- 0.5t2=180+6t整理得： t2 - 56t + 720 =0因为= 562-4720=2560，所以两车相撞.答案：会发生撞车事故17中小学追及问题中的临界条件追及问题中的临界条件: :速度小者追速度大者速度小者追速度大者, ,追上前两个物体速追上前两个物体速度相等时度相等时, ,有最大距离有最大距离; ;速度大者减速追赶速度小者速度大者减速追赶速度小者, ,追上前在两追上前在两个物体速度相等时
15、个物体速度相等时, ,有最小距离有最小距离. .即必须在此即必须在此之前追上之前追上, ,否则就不能追上否则就不能追上. .18中小学小结：追及和相遇问题的分析方法小结：追及和相遇问题的分析方法 分析两物体运动过程，画运动示意图分析两物体运动过程，画运动示意图由示意图找两物体位移关系由示意图找两物体位移关系据物体运动性质列据物体运动性质列(含有时间的含有时间的) 位移方程位移方程19中小学分析追及和相遇问题时要注意：分析追及和相遇问题时要注意：1.一定要抓住一个条件两个关系一定要抓住一个条件两个关系（1）一个条件是两个物体）一个条件是两个物体速度相等速度相等时满足的临界条件，时满足的临界条件，
16、如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。（2）两个关系是）两个关系是时间时间关系和关系和位移位移关系关系时间关系指两物体是同时运动还是一前一后时间关系指两物体是同时运动还是一前一后位移关系指两物体同地运动还是一前一后，位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运通过画运动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。2.若被追赶的物体做若被追赶的物体做匀减速运动匀减速运动，一定要注意，一定要注意，追上前追上前该物体是否停止运动该物体是否停止运动。3.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中隐含条件，如目中隐含条件，如“刚好刚好”、“恰巧恰巧”、“最多最多”、“至少至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。界条件。20中小学
