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1、微积分微积分I I教师：教师：陈新宏陈新宏单位：数学与计算科学学院单位：数学与计算科学学院1复习复习求极限的基本思想求极限的基本思想除除别忘记了：别忘记了：2想一想下面的极限等于几想一想下面的极限等于几想一想下面的极限等于几想一想下面的极限等于几? ?3 直观描述，即直观描述，即 时，时， 的极限的极限例如例如直观可看出：直观可看出： 如图如图yAx二、当二、当 时时, ,函数函数的极限的极限4定义定义2.42.4当当时时, ,有有 成立成立, ,则则注意注意“当当 无限接近于无限接近于 ( (但不等于但不等于 ) ) 时函数时函数 无限接近常数无限接近常数A A”(1)(1)是是任意给定任意
2、给定的的. .用来刻化用来刻化 与与A A的接近程度的接近程度(2)(2)正数正数与与有关有关, ,它是随它是随的给定而确定的给定而确定. . 用来刻化用来刻化 x x 接近接近 x x0 0的程度的程度、当、当时时, ,函数函数的极限的极限5时函数时函数的极限是否存在的极限是否存在, ,与与在在处是否有定义并无关系处是否有定义并无关系. .注意注意例如例如( (1)1)函数函数在在处的极限为处的极限为(2)(2)函数函数在在处的极限为处的极限为(3)(3)函数函数在在处的极限为处的极限为yAx6的几何意义的几何意义: :A Ax xy y7例例1.1.证明证明: :证证: :要使要使只要只要
3、取取当当时时, ,有有成立成立, ,所以所以（不作要求）（不作要求）8=4=4=1=1练习一下9问题问题1 1、函数、函数在在处的极限如何？处的极限如何？2 2、函数、函数在在处的极限如何？处的极限如何？102 2左极限、右极限左极限、右极限则称数则称数A A为为在在处的处的左极限左极限. .记作记作: :或或( (右侧右侧) )函数函数无限趋近于常数无限趋近于常数 A A, ,( (右极限右极限）或或当当时时, ,有有成立成立当当时时, ,有有成立成立若若从从左侧左侧 趋于趋于时时, ,定义定义2.52.511充要条件之三充要条件之三12例例2.2.证明函数证明函数在在处的极限不存在处的极限
4、不存在. .证明：证明：所以所以不存在不存在. .o o-1-11 1x xy y13例例3.3.讨论函数讨论函数在在处的极限处的极限. .解：解：所以所以14练习一下15三、三、 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理（海因定理）定理（海因定理）对任意的数列对任意的数列 x xn n,推论推论若存在两个数列若存在两个数列 x xn n( (1) 1) , x xn n( (2) 2) ,满足满足16例例4 4：证明：证明证：找两个数列证：找两个数列 X Xn n( (1 1）, X Xn n( (2 2）,所以所以171 1、极限的性质、极限的性质2 2、运算法则、运算法则2.
5、3 2.3 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则18定义定义3.13.1总有一个时刻，在那时刻之后，恒有总有一个时刻，在那时刻之后，恒有记作记作: :成立成立, , 则称变量则称变量y y在此变化过程中以在此变化过程中以A A为极限。为极限。一、变量的极限一、变量的极限对于对于任意给定任意给定的正数的正数 ，在变量，在变量 的变化过程，的变化过程，例例: :19二、极限的性质二、极限的性质若变量若变量有极限有极限, ,且且则极限值则极限值A A唯一唯一. .极限的极限的唯一性唯一性定理定理2 2 若在某变化过程中，变量若在某变化过程中，变量y y有极限，有极限， 则在某时刻之后则在某时刻之
6、后y y 是是有界变量。有界变量。局部局部有界性有界性定理定理3 3定理定理1 1若若且且A A 0 0则必存在某一时刻，在那时刻之后，则必存在某一时刻，在那时刻之后，恒有恒有（或（或( (或或A A 0 0极极 限限 的的保保号号性性20三、极限运算法则三、极限运算法则设设则有：则有：法则法则1.1. 法则法则2.2.法则法则3 3. .21例例1.1.求求解解22例例2.2.求求( (注注: :对于有理分式函数对于有理分式函数, ,首先要验分母极限是否为零首先要验分母极限是否为零.).)解解23例求例求解解分母极限分母极限分子极限分子极限根据无穷小与无穷大的关系知：根据无穷小与无穷大的关系
7、知：对有理分式函数的极限，若分母极限为零，而分子极限对有理分式函数的极限，若分母极限为零，而分子极限不为零，则可直接断定该极限为无穷大不为零，则可直接断定该极限为无穷大说明说明24例例求型型解解型型对对，分解因式，分子、分母约去无穷小因子，再求极限，分解因式，分子、分母约去无穷小因子，再求极限25例例5 5求型解解26例例6 6求型解解想一想想一想：除除的目的是什么？我们得到了什么好处？的目的是什么？我们得到了什么好处？27一般，例例7 7结论结论28例例8.8.求解解例例9 9.求解解29例例10. ,10. ,求求 k k 的值的值解解30例例11. , 11. , 求求a ,b a ,b 的值的值解解31 例例12 12 求极限求极限提高题目提高题目32总总 结结3 3、三个充要条件、三个充要条件除除代入代入求极限的基本思想求极限的基本思想别忘记了：别忘记了：3334
