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1、抛物线载体下的几何图形抛物线载体下的几何图形纵纵观观近近几几年年的的中中考考试试卷卷，在在压压轴轴题题里里面面，以以函函数数（特特别别是是二二次次函函数数）为为载载体体，综综合合几几何何图图形形的的题题型型是是中中考考的的热热点点和和难难点点，这这类类试试题题常常常常需需要要用用到到数数形形结结合合思思想想，转转化化思思想想，分分类类讨讨论论思思想想等等，这这类类试试题题具具有有拉拉大大考考生生分分数数差差距距的的作作用用它它既既突突出出考考查查了了初初中中数数学学的的主主干干知知识识，又又突出了与高中衔接的重要内容突出了与高中衔接的重要内容本本课课时时主主要要研研究究抛抛物物线线与与等等腰腰
2、三三角角形形、直直角角三三角角形形、相相似似三三角角形形、平平行行四四边边形形的的综综合合问问题题，解解决决这这类类试试题题的的关关键键是是弄弄清清函函数数与与几几何何图图形形之之间间的的联联系系，在在解解题题的的过过程程中中，将将函函数数问问题题几几何何化化同同时时能能够够学学会会将将大大题题分分解解为为小小题，逐个击破题，逐个击破考点梳理考点梳理1 1、二次函数：基本性质，解析式、二次函数：基本性质，解析式. .2 2、几何图形：直角三角形、相似三角形、等腰三角、几何图形：直角三角形、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、圆. .性质与判定性质与判定
3、. .3 3、数学思想：方程思想、分类讨论思想、数形结合、数学思想：方程思想、分类讨论思想、数形结合思想思想. .4 4、把复杂图形简单化，能在以二次函数为背景的几、把复杂图形简单化，能在以二次函数为背景的几何题中寻找基本图形何题中寻找基本图形. .学习目标掌握抛物线载体下的几何图形的求解方法掌握抛物线载体下的几何图形的求解方法。例例1：（2013湖湖南南湘湘西西)如如图图，已已知知抛抛物物线线 与与x轴轴相相交交于于A、B两点，与两点，与y轴相交于点轴相交于点C，若已知，若已知A点的坐标为点的坐标为A(2，0)（1）求抛物线的解析式及它的对称轴；）求抛物线的解析式及它的对称轴；（2）求求点点
4、C的的坐坐标标，连连接接AC、BC，并并求求线线段段BC所所在在直线的解析式；直线的解析式；【解解题题思思路路】令令x0，求求得得y的的值值，即即得得出出点点C的的坐坐标标，再再根根据据二二次次函函数数的的对对称称性性求求得得点点B的的坐坐标标，用用待待定定系系数数法法可可求求的的直线直线BC的解析式；的解析式；（3）试判断）试判断 AOC与与 COB是否相似？并说明理由；是否相似？并说明理由；【解解题题思思路路】考考虑虑到到 AOC与与 COB都都是是直直角角三三角角形形，可可判判定定夹夹直直角角的的两两边边是是否否对对应应成成比比例例，从从而而可判断两个三角形是否相似；可判断两个三角形是否
5、相似；（4）在在抛抛物物线线的的对对称称轴轴上上是是否否存存在在点点Q，使使 ACQ为为等等腰腰三三角角形形，若若存存在在，求求出符合条件的出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由点坐标；若不存在，请说明理由【解解题题思思路路】先先假假设设存存在在，抛抛物物线线的的对对称称轴轴上上的的点点Q的的横横坐坐标标都都是是3，可可设设纵纵坐坐标标为为c，分分三三种种情情况况ACAQ，CQCA，QAQC，分分别别建建立立关关于于c的方程求解的方程求解【必知点】（1）用待定系数法求函数解析式是高频考点；（2）判断两个三角形相似，在已知一角相等的前提下，可寻找另一角相等，或利用夹这个角的两边对应成比例来说
6、明；（3）探究一个三角形是否是等腰三角形的时候，实际上就是讨论什么时候有两条边相等，因此需要分三种情况讨论说明与检测（上）P83 23题P106 (下）P23 4 P86 23 P92 23例例2：（2013四四川川攀攀枝枝花花）如如图图，抛抛物物线线yax2+bx+c经经过过点点A（3，0），），B（1，0），），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；【解题思路】已知抛物线与【解题思路】已知抛物线与x轴两个交点轴两个交点坐标，可设抛物线两根式的解析式求解；坐标，可设抛物线两根式的解析式求解；（2）若若P为为第第三三象象限限内内抛抛物物线线上上的的一一点点，记记 PAC的的面
7、面积积为为S，求求S的最大值并求出此时点的最大值并求出此时点P的坐标；的坐标； 【解【解题思路】思路】设P点坐点坐标，构建，构建P点横坐点横坐标为变量量的面的面积S的二次函数，利用二次函数配方法求最的二次函数，利用二次函数配方法求最值（3）设抛物线的顶点为）设抛物线的顶点为D，DEx轴于点轴于点E，在在y轴轴上上是是否否存存在在点点M，使使得得 ADM是是直直角角三三角角形形？若若存存在在，请直接写出点请直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由的坐标；不存在，请说明理由说明与检测（下）P50 23 P74 23 P98 23例例3：（2013山山东东莱莱芜芜）如如图图，抛抛物物线线 yax2+b
8、x+c（a0）经经过过点点A（3，0）、）、B(1，0)、C(2，1)，交，交y轴于点轴于点M.（1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式；【解【解题思路】利用三点式求出二次函数解析式思路】利用三点式求出二次函数解析式（2）D为抛抛物物线在在第第二二象象限限部部分分上上的的一一点点，作作DE垂垂直直x轴于于点点E，交交线段段AM于于点点F，求求线段段DF长度度的的最最大大值，并并求求此此时点点D的坐的坐标；（3）抛抛物物线线上上是是否否存存在在一一点点P，作作PN垂垂直直x轴轴于于点点N，使使得得以以点点P、A、N为为顶顶点点的的三三角角形形与与 MAO相相似似？若若存存在在，求求点点P的的坐
9、坐标标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由.【解解题题思思路路】在在各各个个象象限限内内，分分类类讨讨论论以以点点P、A、N为为顶顶点点的的三三角角形形与与 MAO相相似似.因因为为没没有有相相似似的的对对应应点点，所所以以需需要要点点在在不不同同象象限限内内时时， PAN的的形形状状，确确定定出出对对应应边边，然然后后利利用用相相似似三三角角形形的的性性质质得得到到对对应应边边相相等等.然然后后将将对对应应边边的的长长度度转转化化为为点点的的坐坐标，从而确定点的坐标标，从而确定点的坐标例例4：（：（2013浙江舟山）如浙江舟山）如图，在平面直角坐，在平面直角坐标系系xOy中，抛中，抛物
10、物线 的的顶点点为A，与，与y轴的交点的交点为B连结AB，ACAB，交，交y轴于点于点C，延，延长CA到点到点D，使，使ADAC，连结BD作作AEx轴，DEy轴（1）当）当m2时，求点，求点B的坐的坐标；【解题思路】将【解题思路】将m2，x0直接代入二次函数直接代入二次函数解析式，便可求得点解析式，便可求得点B的纵坐标；的纵坐标；【解题思路】延长【解题思路】延长EA，交，交y轴于点轴于点F，构造出，构造出 AFC与与 AED全等，从而得到全等，从而得到AF=AE，根据，根据B、A点坐标特征分别用含点坐标特征分别用含m的代数式表示出线段的代数式表示出线段AF、AE、BF的长度，借助相似可求得的长
11、度，借助相似可求得DE的长度；的长度；（3）设点设点D的坐标为（的坐标为（x，y），求），求y关于关于x的函数解析式；的函数解析式； 【解解题思路思路】关关键是能是能发现A、D两点的坐两点的坐标特征，根据特征，根据A点的坐点的坐标写出写出D点的坐点的坐标，通，通过等量代等量代换，寻求出求出y关于关于x的函数解析式的函数解析式过过点点D作作AB的的平平行行线线，与与第第（3）题题确确定定的的函函数数图图象象的的另另一一个个交交点点为为P，当当m为为何何值值时时?以以A，B，D，P为为顶顶点点的的四四边边形形是是平平行四边形行四边形?【解题思路】利用【解题思路】利用P点的坐标在第点的坐标在第问的函
12、数问的函数图象上，问题可获得解决图象上，问题可获得解决. 例例5：（2013广广东东湛湛江江）如如图图，在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，顶顶点点为为（3，4）的的抛抛物物线线交交y轴轴于于A点点，交交 x轴轴于于B、C两两点点（点点B在在点点C的的左左侧），已知），已知A点坐点坐标为（0，5）（1）求此抛物）求此抛物线的解析式；的解析式；（2）过过点点B作作线线段段AB的的垂垂线线交交抛抛物物线线于于点点D，如如果果以以点点C为为圆圆心心的的圆圆与与直直线线BD相相切切，请请判判断断抛抛物物线线的的对对称称轴轴l与与OC的的位位置置关关系系，并给出证明；并给出证明； 【解【解题思路】分思路】分别求出求出圆的半径及的半径及圆心到直心到直线的距离即可判的距离即可判别直直线与与圆的位置关系的位置关系（3）在在抛抛物物线线上上是是否否存存在在一一点点P，使使 ACP是是以以AC为为直直角角边边的的三三角形，若存在，求出点角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由
