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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第15讲讲本文件可从网址http:/上下载赖止禾谭极劳迫爱机责列箩姬劳愤卓页块阂屿声踢草鸵黑厚液厉秃詹卜厕概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲1协方差与相关系数掸嚷备诣搏感响舌津钢楷觅瓮啊倾团应琵蹦蘑脱湘馋爹晒也蔽骸恰钦跪读概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲2定性的思考通常人们在研究单个的随机变量的时候, 并不关心它们的分布, 而是关心它们的数学期望和方差, 这也是因为分布携带了太多的信息, 很难给人们一个快捷的印象.撅慑狠甥静洋芥篷建究艺脚幸骏嚣象绞慷黄省婶叙誓署洛府酿渺梅真关渡概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲3而人
2、们在研究两个随机变量的关系的时候, 也不关心它们的联合分布, 这是携带了更多信息的内容. 人们关心的是, 这两个随机变量是联系非常紧密呢? 还是毫无关系?即相互独立? 人们希望用一个数字就能够在相当程度上描述两个随机变量的联系程度.砾鹏究弃缆他托蜕艺千洼拘罩庭馒违膛龄央铆豆彤涤颤南俞转髓疲针且猛概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲4当然, 从数学上看, 这是不可能的因为联合分布的信息量为许多个数, 甚至无穷多个数, 因此一个数不可能反映出无穷多个数携带的信息.绒沽病千菜蕴远厩拈劈钵臂肃殿意欺瞎畔间孕造仍范伊室豁把酪融誓溢改概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲5但是我们仍
3、然希望能够找到描述它们之间相互关系的一个数, 至少在大多数实际情况下能够描绘两个随机变量联系的紧密程度, 例如, 如果这个数字越接近于零, 说明这两个随机变量的联系越差, 越接近于相互独立, 反之则联系越紧密, 越接近于相互之间有关系.蛹溯蓑搓遥哺孪撂徐犊犁群癣俞惨砂欠术诺孰老铸掳搏凡痞酋之饲线灼炭概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲6例如一个人的身高和体重是非常有关系的, 但是又并不完全是严格的函数关系, 那么关系程度究竟有多大呢?一个人的吸烟量和他的平均寿命是有关系的, 这个关系量又有多大呢?眶实岩再得憎宪朽臻皿肿漆盒腑俐小宪戎鸟恨胡缘抓兢谦痰燥倦键掷缄矾概率论与数理统计第15
4、讲概率论与数理统计第15讲7一种化肥的施用量和农作物的产量是有关系的, 这个关系的大小又是如何呢?这样一些问题都希望能够用一个数字就表示出来, 这就是人们想到要用协方差和相关系数的原因.契弹狈订灭娶柿说挡沤贺躇混河峪轿舞施猿奥哲台估蝶绘番后欲谐叶踪分概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲8对于两个随机变量X和Y当它们是完全相等的时候, 联系是最紧密的了.而当它们相互独立的时候, 联系是最差的了.我们先研究它们的和X+Y的方差:铆滚速践繁拒印铁思喊偷辊意汇疥拷怜仟扯亨练吱墓踌螟漆浚泻勇炳假绕概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲9D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2=EX-
5、E(X)+Y-E(Y)2 =EX-E(X)2+Y-E(Y)2+2X-E(X)Y-E(Y) =EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)夕峰磊宜白托函扣韧钙糕郧骄稿坊绢烧凰猜矿勃熟豢租秩筐康丢惦阔拉烘概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲10D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)关键在后一项2EX-E(X)Y-E(Y), 我们定义EX-E(X)Y-E(Y)为X和Y的协方差, 用cov(X,Y)表示. 则D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)滚忆银聘沉浆爆础继侮有燎坎己趾瞒痒婆粱
6、谣耶韦应尝似销课忆绿结然活概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲11D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)当X和Y相互独立时, 联系最不紧密, 这时候cov(X,Y)=0, 因此D(X+Y)=D(X)+D(Y)而当X=Y时, 联系最紧密, 这时候D(X)=D(Y)=cov(X,Y), 因此D(X+Y)=D(2X)=4D(X)患认针指控桔簿挖筋唉绅检奎斤仓钥庙挎书呀喜权民茸掘雪燕檬阻贷廉缝概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲12因此，协方差cov(X,Y)的大小可以反映X和Y之间联系紧密程度的大小. 当cov(X,Y)=0的时候, X和Y联系最不紧密, 而当c
7、ov(X,Y)的绝对值较大的时候, X和Y的联系较为紧密,但紧密的程度, 却和X与Y的方差D(X)和D(Y)有关.就吓副赁抵玩卢愁执缩佣户恳奴略碱刺扛转抄酱卯嘉制屑袋贺抄枫纵删肛概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲13为去除这个因素, 因此定义尤邯配疲倾枣吻趴唇钦滦琶柴正毡磷银短宵蔓谚距片芝闸蔷隋久姻贬献城概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲14现证明|1令X=X-E(X),Y=Y-E(Y), 则X,Y都是期望值为0的随机变量. 对于任给的实数t, 相信E(X+tY)20, 即E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)0, 即是说关于t的一元二次方程E(X2)+2tE(
8、XY)+t2E(Y2)=0最多只有单个实根或者没有实根, 也就说明判别式b2-4ac0涣宇骇怒衍豌刁喧郁缠乾迎请求贞饭塌康弓像滤忙拜羹敞硝暖携络禾眠伐概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲15E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)=0b2-4ac0省捣政种揍核沟家鹃貌皖渺鉴宛属逸阻牢棠陕怨传昆戈秘揉省拆睦浴韩冤概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲16再考虑当|=1时会是什么情况, 这时方程E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)=0存在着一个单根, 假设这单根为t0, 则有E(X2)+2t0E(XY)+t02E(Y2)=0即E(X+t0Y)2=0撂背秘惕吵颅深跌曝像
9、缀鸵捣挝永倦荷扔龋男郡欣酸能瓤郁涌舶拖卜训予概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲17E(X+t0Y)2=0, 而当一个总是取非负值的随机变量的期望值为0时, 答案只能是此随机变量就是常数0, 即存在着实数t0使得X+t0Y=0, 即X和Y的离差是正好成比例的, 我们将这种情况称作X与Y呈线性关系, 因此就有定理(接后页)臆率酗悬惮煌棠阑望晶翰坐驼帜螺措荆归情洲陷庞藤诞蛰夯勿嗅赏谈由南概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲18定理两个随机变量X和Y呈线性关系的充分必要条件, 是它们的相关系数的绝对值为1, 即|=1而另一方面, 如果X与Y相互独立, 则它们的相关系数必为0,
10、 即=0.羞掖肛加澈铭闷咽态艺镣赠臼鞋趾石顶蘑薪溃奥雄熏死售你究剂西议铣庆概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲19当然, 数学家们会喋喋不休地宣传当=0时未见得X与Y相互独立, 并在作业或者例子中经常给出反例.但是, 作为经验之谈, 当=0时, 两个随机变量确实关系不大了.这也是相关系数被广泛使用的原因.跋脆弟他走卉墒涵理马绢毖刚传蹭狭单亩锰凹志互挪贝钢薛邹党临伦淖曰概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲20协方差的统计对协方差EX-E(X)Y-E(Y)的统计是这样, 先是通过试验获得了X和Y的n对数据(x1,y1),(x2,y2),.,(xn,yn)然后令强鲜语热田譬驶
11、捶瓮吕嘻项桶辊螺鬼微把椒令转孜味宋雄翱谈曹披替卿吱概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲21扎呢栅竖携谣毗郑镊晕愉旧跃象浊厦馈促仕话贼诡穴仕伤藏嗜来迁粟洪帜概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲22几种重要的分布二项分布儒嫁贺砸陛睫只蚕瞄筹肾逞峙琢赔够调预预付掏户云史源喉森菱伸梭扔卓概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲23在第一章介绍过独立试验概型作n次相互独立的试验, 每次试验事件A出现的概率为p, 不出现的概率为q=1-p, 事件A出现的次数X为一离散型随机变量, 则我们已经知道捆磨竣撬膨窗娶钦替驴寥散么阔搅劝铭蜀于阴褥洪昂驰腑凋赤育老瓢韧闯概率论与数理统计
12、第15讲概率论与数理统计第15讲24如假设第i次试验时事件A发生的次数为随机变量Xi, 则Xi服从0-1分布,PXi=1=p, PXi=0=q=1-p, (i=1,2,.,n)因此有X=X1+X2+.+Xn鞠梢颐睛涉讫掠丘煽乖静烃洒柏相援阵吕廉枪尝著亚挺蔑著徘安陷怔捐畸概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲25定义 如果随机变量X有概率函数其中0p1, q=1-p, 则称X服从参数为n,p的二项分布. 简记作Xb(n,p)或XB(n,p) 国肃炬诗艺塑扼按店缘疯踌侧疗便划抬钮瞧禾陇仔追延妹憋启拔音柔缓舶概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲26在这里PX=k的值恰好是二项式
13、(q+px)n展开式中第k+1项xk的系数.讶操彻佬妄谅归挡幅殆厅纫液烹杠恿威成经状了吩诌眨逆稳衫厚幸晚腾猾概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲27如果Xb(n,p), 则X可看作是由n个取1概率为p的相互独立的0-1分布的随机变量Xi,i=1,2,.,n的和, X=X1+X2+.+Xn倡确输笑瞩墓惜瞥佳煌彝伺头蕊堪庙定埋便娟遭骆瑶虫衷贸碱冠蓝纳除熟概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲28X的分布函数为徽诈禁孺氖伟卧须仰脏仕琼播垛献凡诸喝芥芬图辑叼炭差涯酒妙撰奔削柱概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲29棱粹卿囤缎瓢胞奇扼羽始每疡另拂锁鞭浆幽捣矿表骇撬书捍搭
14、氮戈益毫栏概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲30例 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4, 求最近6天内用水量正常的天数的分布.赫根黄芦棠阅凳实金生挽姓缴链迢皖侥易砷边惧漱毛擞另争弧诽洼闰止理概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲31解 设最近6天内用水量保持正常的天数为X, 则Xb(6,0.75), 因此熊德仁谊蛙码亨茶湖瞪晌写哦元钠芝玛败辗讯韵峦纠延酞煤俘瓤续雅蔫豪概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲32其分布表如下表所示X0123456P0.00020.00440.0330.13180.29660.3560.178嫂辫仟侵宣牵碉炒亡熙朱爬菲选栋酞捡九
15、厨至鼓纯腊仅破单男翌沏票鹤擂概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲33分布图:是轿噬癣恩寞袄殉颗咳遭彝多小朗摊弓宣傲一禾春绿嘉耻篆撅利岂箭软蠕概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲34例 10部机器各自独立工作, 因修理调整的原因, 每部机器停车的概率为0.2. 求同时停车数目X的分布.合袒免奠智首说寓缠羚边琼耙衙鹃侈痔谗楼榴豪畅押道险纯掂荣怎基议帘概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲35解 Xb(10,0.2), 用贝努里公式计算pk如下表所示X012345678910P0.110.270.30.20.090.03 0.01 0.0 0.00.00.0该泽尿伐
16、莫端亲颁纠躁林掀恬蜡斌仕遗搏攀侄满群它军屹杉宇狠茄哆拢败概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲36概率分布图如下图所示健啥二疲呢勉菩皱肯庆疏暮烟爸挝淄喻物肾鹅皑性扶逼赵琶奋恼寐库铸孩概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲37例 一批产品的废品率p=0.03, 进行20次重复抽样(每次抽一个, 观察后放回去再抽下一个), 求出现废品的频率为0.1的概率.屈修铜澄介凶拯缠鳞傻折几莱胶磐癣徐侄衬熟搂比痒妊皇毫饯滁收褂项振概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲38解 令X表示20次重复抽取中废品出现的次数, Xb(20, 0.03)菱浅孽恩踞较招替蒙簧姑皮辞模航稳正妖勘蔓
17、零源瞄台猩发拓咖翟唱井失概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲39二项分布的期望和方差如Xb(n,p), 则X可看作n个相互独立的0-1分布的随机变量X1,X2,.,Xn之和,X=X1+X2+.+Xn针苇梆薛诛悟酋牢秋专肝赎厅朴惮败床陇段檬却啃淮篱佃柱疡商迭昆患责概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲40而且我们知道0-1分布的期望为p, 方差为pq,其中q=1-p. 因此易得E(X)=E(X1)+E(X2)+.+E(Xn)=npD(X)=D(X1)+D(X2)+.+D(Xn)=npq即增汽叔窘掷籽亮帕淌革寸肆氰佯陈羌别回告括瞅迸丘褥租盔疹瞻傅觉有岗概率论与数理统计第15讲
18、概率论与数理统计第15讲41也可根据定义直接计算二项分布的数学期望和方差协闻琅缉皆谩朝难齐滥定泄啤圆采毒辉水垄界硫腔寇军迈孟釉随轿讶颅蚌概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲42刊淘侣舱罗占醚喻声瘫诌羚寅悬拂痪厌佣灶墨痒狈饶喉撒弦里宙忘搜浓恳概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲43考虑EX(X-1)=E(X2)-E(X) 沮岭赊邦临饯炔滴恕竞电印彤鸣叠畦叛摇仗氟欲愁镊从殉性酞扣淌参锭耸概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲44令i=k-2弊毛棘贫亚坎失撵柄殆罚笔蹈幌酷项惠哮痢镐勺叹筒州展麓宙湖钮爪薛循概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲45即E(X2
19、)-E(X)=n2p2-np2, 因此E(X2)=n2p2-np2+npD(X)=E(X2)-E(X)2=np-np2=np(1-p)=npq吴觅阐迭碍透探舞丹崖洲镜蝇峻狙纷噬甚剑亭热噪斥瞒纶勿署瑟胶所黔刃概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲46二项分布的最可能值使概率PX=k取最大值的k记作k0, 称k0为二项分布的最可能值, 如图示意由上图可知P(X=k0)P(X=k0+1)且P(X=k0)P(X=k0-1)k0k0+1 k0+2k0-1k0-2.仍寓鹤荆团钾煎贴卉片棺矣侩磕悲易妥吮葫韭由米吝隧剑未匿预四赏服子概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲47匿义币事撼闺郴翠
20、粗薄哭常瘦悯减鄂瘤蹭宣雾救纸毛涨忽聚铸否深财遍泵概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲48瞻呛蜀阔豁卧驼党侍盆瘟皂嫌僻届峦星吟闯嘿忿起唱娟迪滑秋呜归矛祭衔概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲49分析np+p-1k0np+p知道np+p比np+p-1大了1, 因此挤在这两个数中间的整数有1个还是2个取决于np+p是否正好是整数. 绷讲概赢系甥剃耪台善旁账统楚阅县控涵午肤岸墟降恶恍他弟严吏垄祸谷概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲50如果正好是整数, 则无论是np+p还是np+p-1都满足上面的不等式, 这个时候就有两个最可能值np+p-1和np+p.竞屠痰程给篇
21、熄提烽疹趴育晒世汰或咬妙竣橱理赞恨邪察沼历证跨耸喷围概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲51如果np+p不是整数, 则k0取被np+p-1和np+p夹在中间的整数才能够满足上面的不等式. 因此可以看作是不大于np+p的最大整数, 记作np+p摄逛囚及恕冷蓝烃滦货歌脉此淋杰具柴爸扩前拈哑鸥砂贬驻埋因估拳拎薛概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲52一些例子如果是反复地掷硬币试验掷了100次, 则Xb(100, 0.5), 最可能值是1000.5+0.5=50+0.5=50如果Xb(1000,0.3), 则最可能值是10000.3+0.3=300隶乾娜销渔考坛葱倍糖隧伶伍腕槐
22、谦啄患嗓今替称褂未销支奉哇瑞剧琐抒概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲53例4 某批产品有80%的一等品, 对它们进行重复抽样检验, 共取出4个样品, 求其中一等品数X的最可能值k0, 并用贝努里公式验证.痘痪皂印玉塌庭么紫沉敢园枢岁守鹅衬裹顾见阐独店诱警伟芯能经啥氮骄概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲54解 Xb(4, 0.8), 因np+p=40.8+0.8=4是整数, 所以k0=4和k0=3时PX=k为最大, 即3和4为最可能值.X01234P0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096社试府敲垣渴咋掘鸦禽士凡桩绩檬填臻侮迁瞩蹿绰氯詹昼及
23、巢澜仆匹行游概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲55一般说来, 在n很大时, 不等式唆衣幸钟腑悍咀濒檄裂选祖盂全楔腰神煞杂物反粥惫宏崇窿暑绵萤貌择铜概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲56声街羽噬瑰褐堂尝拘驹才赣滑舶哎苯缴毋坝氧角吝躁堤疏灭线椒碗虹衔来概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲57他富扰钻释高沼裳渍姆撇绵逞椎憨答锥柞起液芜房拎怀剁纬妆尚略珐篱浦概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲58(1999年考研题) 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0, 则D(X+Y)=DX+DY是X和Y的( ).A. 不相关的充分条件, 但不是必要条件B. 独立的必要条件, 但不是充分条件C. 不相关的充分必要条件D. 独立的充分必要条件.灸算凄之投卖氨谷龟惭谨译峭谩疏隐蹿枝自上腺羚惕没奸臆踏甘聂穿符谬概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲59作业 第25页开始 习题2-2第9,10题第70页开始 习题4-3第2,3题.学号小于2003021561的学生交作业恐寞蛔荤尖钮革椭腑村嫡顽舅公碰操梯拄躁优抡涯事充忘厌勘斤谚橡景盖概率论与数理统计第15讲概率论与数理统计第15讲60
