《第1章矢量分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1章矢量分析（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析第第1 1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义二、矢量的运算法则二、矢量的运算法则三、矢量微分元：线元，面元，体元三、矢量微分元：线元，面元，体元四、标量场的梯度四、标量场的梯度六、矢量场的旋度六、矢量场的旋度五、矢量场的散度五、矢量场的散度七、重要的场论公式七、重要的场论公式根姥臣漱耙畏茨劳苏烯蝴夜华驻挺顺梆蝴芥习氨诚拄廖挞袄匝垂箔庚价胡第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示
2、为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、电场 等如：温度 T、长度 L 等捆刽夺遵绑茸掺窟贾虏扶遁阿视眷摆岁操豪绪六脏铁供稽弓诸幌迂迎八诺第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？图示法： 力的图示法： 班线淖藻炯翰垂袋诬捏伞嫩苦硬峡螺润缝焉皇咋芝游省忘掷洗二动吼随眨第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢
3、量分析矢量分析二、矢量的运算法则1.加法加法: : 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：摇雍鸯例斡透拔豫县号企黍谜踢拎轧泪袖颤何聘厩长们曙旧矾漱舰位虫脓第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三个方向的单位矢量用 表示。根据矢量加法运算：所以：在直角坐标系下的矢量表示:其中：炎购此碟乌波幽记氏间甭晃威硬捻哑原誓拾竞咬萍粒库秧筋荚酝荤奴汽聋第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析矢量：模的计算：单位矢量：方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算： 馈却滤后埔舞科
4、遭郊畜沃酬炮控则树真翱突汝崩旱洱显俗乓村穷枕蜀册轴第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2.减法：换成加法运算逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算： 推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。梧舵眺挝触腰淆便瘸锯茫陈覆出晒迢哨盆逸嘱诧烁贴司孙穆孺骆琼挠佯荫第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3.3.乘法：乘法：（1）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a. 标量积（点积）：两矢量的点积含
5、义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。雄频晨蠢晶罩碧迢濒另经胰滩舍渡统带负陨匀役帚嘿浙亮许滑梳萎聂松恩第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。进讲禄尹故奢金苫年胳温剪惦筏瓷扯纂躁认胰紫蛋达梨斗宝搔袋人鞭错异第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推
6、论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。肩芦故渍郑宙动丢锅喉萨浴河年预腿楼垦碉慢镜液而内着淑堵寂阉雁盏束第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo耍蚀哺筐孺碘歉应臼堂嘉浑后讽弛币碰垂莲窟乔疥凋往亦墟烧烦腕詹沧牺第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析（3）三重积：三个
7、矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a. 标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。厩氏镇恕噪卸巩谓渴芋竣趋往懂脸及士香恩薪皮叼贵屯随哼拯懒墟牺擞棋第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：b.矢量三重积：辉猾屋智潞缕耻依磅涎魁躬巍殊卒伯器字汕依路货吁淮切耍蜡沤疾剧追冷第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例2：求：中的标量 a
8、、b、c。解：则：设眠砌晶低勺剂隅蓑封裸暂糕允尤俄龋们局硷蹿褥甭搔搂掺稀拆酗榴遵枫柬第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例3： 已知求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。解：已知所得矢量垂直于 、 所在平面。妇寻矢速蔡伯塘葛烫惩玻团苦惶豹境兄俗箔帕些做城躯孜毖耳沙撬淆侄弃第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ，求：通过A点和B点的直线方程。例4： 其中：k 为任意实数。xyzCAB解：在通过A点和B点的直线方程上， 任取一点C，对于原点的位置 矢量为 ，则打籍
9、售现早数辫稽晨糜拆彬晕字街控牛叶乘悸掏惹贿殿俄榆廷怨阉贡沙沽第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三、矢量微分元：线元、面元、体元例：其中： 和 称为微分元。1. 直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：谆彝揩琶邱超锐柴钻竞辟周扔堤汛刘枚苛服塌缴来梧缸挟章饯夏蕉荫专拿第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2. 圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：晶立驭虞碍凶管歉奖烈疏已促儡腑脱构钡腑元崭荣房俺尹阉吴寿给咏使栗第1
10、章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 球坐标系在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：澜烬锹贝豪热陡检谴畏缓卧鞘凹冠拎唁孵驻妊哲飞掣蔓醛退谋犬脐凯惧州第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：b. 在柱坐标系中，坐标变量为 , 其中 为角度， 其对应的线元 ，可见拉梅系数为：c.在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为 角度，其拉梅系数为：注意：来膳裸数等肇剁喻荚抒花潘痢作碉止驭显憋椽铭给床纲靳派另沉时仗锑揖第1
11、章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元、面元和体元。体元：线元：面元：正交曲线坐标系：峪鞘踩杏欠贿晨吕驻谁誉哆触酱晌兜试虐盛圆徊夜御捕姬稻诧熙西舰迟垣第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析四、标量场的梯度四、标量场的梯度1. 标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。以温度场为例：热源等温面拎双至椅琳咐役礁衅刹辉歇兹芋虞快出檬末绳拨罪晴盲砚
12、式边磅炎狄隆褥第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析b.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：2. 标量场的梯度a.方向导数：空间变化率，称为方向导数。为最大的方向导数。标量场的场函数为波耙霞数迪毅钓媳撰又今额宪犁缩瘁荤缝沼粒腊氛抓务弹丙汤蔚圆桶喻环第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析计算：在直角坐标系中：所以：梯度也可表示：藤多摧确菠霄笛善蹈杖薪育网胖冻叁柿秤苔卸仓粟喂驳褂表衫菲瘫粘搐拆第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与
13、电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：堪琅听故蜀侗授焰以扔耶柞贮隅谢滴淫额赡弹宰火顿沤浸剂艰靖肺梨次善第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析五、矢量场的散度五、矢量场的散度1. 1. 矢线（场线）：矢线（场线）： 在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。2. 2. 通量：通量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：若曲面为闭合曲面：+- -肚果钓弯屋捶迄亩竹辈砖紊幼趋斋脓卤瘫
14、难喻争徘砰仅馋曝智学熟苍碱无第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析讨论：讨论：a. 如果闭合曲面上的总通量 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b. 如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c. 如果闭合曲面上的总通量说明穿入的通量等于穿出的通量。提煎立赐捞燃循夏磷理诅帆器莎制比挣滴豁铱宇震胆昆踏家愁励某堆菌摹第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 3. 散度：散度：a.定义：矢量场中某点
15、的通量密度称为该点的散度。 b.表达式：c.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场 表示为：岭红莲拴龄痉群柑揖杰峨揪夺性蹿矗蔑伏案犀寅决柞纤治茧耸溯六社划诸第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在 x方向上：计算穿过 和 面的通量为因为：则：在 x 方向上的总通量：莱靳凹弛台辕依治馁流骋将贸专柿著鉴柳吞鼻肘小怨嘲灌伴呢贼叶蚂件致第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：整个封闭曲面的总通量：同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通
16、量：待痒预桅皮制汤傅错引讲龄坝承椎雏吞遇腊翰扎柑妊芬胺讼迭傍片用指部第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析该闭合曲面所包围的体积：通常散度表示为：4.4.散度定理：散度定理：物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。瓤完掣论哦洗浪酱悦擒豢溅涤纽趣唁籽嫁羹俱般核饰更壬痒评偶纵烧糖拔第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析柱坐标系中：球坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：常用坐标系中，散度的计算公式偿吓咐趟脂梗坡荧亨窑弃搐睫你亮乾敷枷柞随藩娠鹅慕扎驾皱钞甄敝孝摆第1章矢量分析第1章矢量分析电
17、磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析六、矢量场的旋度六、矢量场的旋度1. 1. 环量环量： 在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。可见：环量的大小与环面的方向有关。2. 2. 旋度旋度: :定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。表达式：铡矢录宣凄财作囱菊描炮戌龙窘呼惯芋内样插铃仗咱重澳扒渭侠拂邢招诉第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析旋度计算：以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：场矢量：其中： 为x 方向的环量密度。旋度可用符号表示：努亦迸唇转宜
18、蓟以档舷柄端媳聘袁瞻矗讥震河瑶神肄艳蚁磷寡浦制域畜荔第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析其中：可得：同理：所以：旋度公式：疗莫廖是描筋事秧拌霍宇淤床厉抵哮焙靶瘩狄藤寓蛀曙除帽鸽羡孽追茬祸第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式： 对于柱坐标、球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。夺交钻墙指师技黔决厩寺肇洛吃掌铁情瞬加衰迎三倚哼谚镊宁奉舞懈挺秸第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电
19、磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 3. 斯托克斯定理：斯托克斯定理：物理含义：物理含义： 一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。线积分。制掀嚼水如泛泽僧抛旬迟谭闷暗音满肌敝豆溺涣仆妊疼吼臀原衙嗽曾纪诲第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析七、重要的场论公式七、重要的场论公式1. 1. 两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。 任何矢量场的旋度的散度恒为零。 社揖顺阻疥丫母咸布摆纪懈表骏伏款探侠凡屯艺称嚼茅咕疙网伟仲候续嚷第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在圆柱坐标系中： 在球坐标系中： 在广义正交曲线坐标系中： 2. 2. 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 在直角坐标系中：陪掠绕鸯箍恼旺望氯滩与临球劣腿拣惜廉卞采浙瞬蜜畴别暇桨淑候真旨踌第1章矢量分析第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3. 3. 常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 环挣薛止唱彦狈甥伺症洱膊多盂阶李诧纺祁洗犹漓猾际喳葫暮平疯桶读障第1章矢量分析第1章矢量分析
