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1、通常，通常，1公斤面，公斤面， 1公斤公斤馅，包，包100个个汤圆（饺子）子） 今天，今天，1公斤面不公斤面不变，馅比比 1公斤多了，公斤多了，问应多包几多包几个（小一些），个（小一些），还是少包几个（大一些）？是少包几个（大一些）？问题圆面面积为S的一个皮，包成体的一个皮，包成体积为V的的汤圆。若。若分成分成n个皮，每个个皮，每个圆面面积为s，包成体，包成体积为v。V和和 nv 哪个大哪个大?SsssVvvv(共共n个个)1、从包、从包汤圆（饺子）子）定性分析定性分析V比比 nv大多少大多少?定量分析定量分析假假设1. 皮的厚度一皮的厚度一样2. 汤圆(饺子子) 的形状一的形状一样 模型模型
2、应用用若若100个个汤圆（饺子）包子）包1公斤公斤馅,则50个个汤圆(饺子子) 可以包可以包公斤公斤馅R 大皮大皮 的半径；的半径；r 小皮的半小皮的半径径V是是 nv是是倍倍1.4返返回回问题杀羊方案羊方案 现有有26只羊，要求只羊，要求7天天杀完且每天必完且每天必须杀奇数只，奇数只，问各天分各天分别杀几只？几只？分析：分析：1). 这是一个有限是一个有限问题，解决此，解决此类问题的一的一类方法是枚方法是枚举，你可以，你可以试试。2). 依依题意，意，设第第天天杀只，只，则所提所提问题变为在自然数集上求解方程在自然数集上求解方程于是，我于是，我们有了有了该问题的数学的数学语言表达言表达数学模
3、型数学模型求解：求解：建模：建模：用反用反证法容易法容易证明本明本问题的解不存在。的解不存在。2、杀羊方案、杀羊方案返回 某人平某人平时下班下班总是按是按预定定时间到达某到达某处，然，然然后他妻子开然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平接他回家。有一天，他比平时提早提早了三十分了三十分钟到达到达该处，于是此人就沿着妻子来接他，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他一天，他比平比平时提前了十分提前了十分钟到家，到家，问此人共步行了多此人共步行了多长时间？ 似乎条件不够哦似乎条件不够哦 。 换一种想法，问题就迎换一种想法，问题就迎刃而
4、解了。假如他的妻子遇刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时前回家了。提前的十分钟时间从何而来？间从何而来？ 显然是由于然是由于节省了省了从相遇点到会合点，又从会从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点合点返回相遇点这一段路的一段路的缘故，故由相遇点到会合点故，故由相遇点到会合点需开需开5分分钟。而此人提前了。而此人提前了三十分三十分钟到达会合点，故相到达会合点，故相遇遇时他已步行了二十五分他已步行了二十五分钟。 3、相遇问题、相遇问题某人第一天由某人第一天由 A地去地去B地，第二天由地，第二
5、天由 B地沿原路地沿原路返回返回 A 地。地。问：在什么条件下，可以保：在什么条件下，可以保证途中至途中至少存在一地，此人在两天中的同一少存在一地，此人在两天中的同一时间到达到达该地。地。假如我假如我们换一种想法，把第二天的返回改一种想法，把第二天的返回改变成另一成另一人在同一天由人在同一天由B去去A，问题就化就化为在什么条件下，在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出就很容易得出了：只要任何一人的到达了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。，两人必会在途中相遇。 某人早某人早8时从山下旅店出从山下旅店出发沿一
6、条路径上山，下午沿一条路径上山，下午5时到达山到达山顶并留宿，次日早并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午沿同一路径下山，下午5时回到旅店，回到旅店，则这人在两天中的同一人在两天中的同一时刻刻经过途中的同途中的同地点，地点，为什么什么? 解法一：解法一：将两天看作一天，一人两天的运将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两看作一天两人同人同时分分别从山下和山从山下和山顶沿同一路径相反运功，因沿同一路径相反运功，因为两人同两人同时出出发，同，同时到达目的地，又沿向一路径反向到达目的地，又沿向一路径反向运运动，所以必在中，所以必在中间某一某一时刻刻t两人相遇，两人相遇，这说明某人明某人在两天中的同一
7、在两天中的同一时刻刻经过路途中的同一地点。路途中的同一地点。4、爬山问题、爬山问题 解法二：以解法二：以时间t为横坐横坐标，以沿上山路，以沿上山路线从山下从山下旅店到山旅店到山顶的路程的路程x为纵坐坐标，从山下到山从山下到山顶的的总路程路程为d;严格的数学格的数学论证：令令 思考思考题：有一有一边界形状任意的蛋糕，兄妹界形状任意的蛋糕，兄妹俩都想吃，都想吃，妹妹指着蛋糕上的一点妹妹指着蛋糕上的一点P，让哥哥哥哥过点点P切开一人一半，切开一人一半，能能办到到吗?返回 在一摩天大楼里有三根在一摩天大楼里有三根电线从底从底层控制室通向控制室通向顶楼，但由于三根楼，但由于三根电线各各处的的转弯不同而有
8、弯不同而有长短，因短，因此三根此三根电线的的长度均未知。度均未知。现在工人在工人师傅傅为了在了在顶楼安装楼安装电气气设备，需要知道，需要知道这三根三根电线的的电阻。如阻。如何何测量出量出这三根三根电线的的电阻阻?5、测量电阻、测量电阻 由三元一次由三元一次线性方程性方程组解出解出x,y,z即得三根即得三根电线的的电阻。阻。 说明：此明：此问题的的难点也是可点也是可贵之之处是用方程是用方程“观点点”、”立立场”去分析，用活的数学思想使去分析，用活的数学思想使实际问题转到新到新创设的情景中去。的情景中去。返回 37支球支球队进行冠行冠军争争夺赛，每，每轮比比赛中出中出场的每两的每两支支 球球队中的
9、中的胜者及者及轮空者空者进入下一入下一轮，直至比，直至比赛结束。束。问共需共需进行多少行多少场比比赛？一般思一般思维：逆向思逆向思维：每每场比比赛淘汰一名失淘汰一名失败球球队，只有一名冠，只有一名冠军，即，即就是淘汰了就是淘汰了36名球名球队，因此比，因此比赛进行了行了36场。6、比赛场次、比赛场次返回 在气象台在气象台A的正西方向的正西方向300 km处有一台有一台风中心，它以中心，它以40 km/h的速度向的速度向东北方向移北方向移动；根据台；根据台风的的强度，在距度，在距其中心其中心250 km以内的地方将受到影响，以内的地方将受到影响，问多多长时间后气后气象台所在地区将遭受台象台所在地
10、区将遭受台风的影响的影响?持持续时间多多长?此此问题是某气象台所遇到的是某气象台所遇到的实际问题，为了搞好气象了搞好气象预报，现建立解析几何模型加以探建立解析几何模型加以探讨。以气象台以气象台A为坐坐标原点建立原点建立平而直角坐平而直角坐标系，系，设台台风中心中心为B，如，如图7、气象预报问题、气象预报问题 根据根据题意，意，A点的坐点的坐标为(-300，0)，单位位为km台台风中心的运中心的运动轨迹迹为直直线BC，这里的里的CBA450，当台，当台风中中心在运心在运动过程中程中处于以于以A为圆心、半心、半径径为250 km的的圆内内(即即MN上上)时，气，气象台象台A所在地区将遭受台所在地区
11、将遭受台风的影响。的影响。因因为圆的方程的方程为：直直线BC的方程的方程为：其中参数其中参数t为时间(单位位为h)。当台当台风中心中心处于于圆内内时，有：，有：解得解得 所以，大所以，大约在在2h以后气象台以后气象台A所在地区将会遭所在地区将会遭受台受台风的影响，持的影响，持续时间大大约为66h。交通灯在交通灯在绿灯灯转换成成红灯灯时，有一个，有一个过渡状渡状态亮一段亮一段时间的黄灯。的黄灯。请分析黄灯分析黄灯应当亮多久。当亮多久。 设想一下黄灯的作用是什么，不想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要上要转红灯了，假如你能停住，灯了
12、，假如你能停住，请立即停立即停车。停。停车是需要是需要时间的，在的，在这段段时间内，内，车辆仍将向前行仍将向前行驶一段距离一段距离 L。这就是就是说，在离街口距离在离街口距离为 L处存在着一条停存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），（尽管它没被画在地上），见图。对于那于那些黄灯亮些黄灯亮时已已过线的的车辆，则应当保当保证它它们仍能穿仍能穿过马路。路。DL8、黄灯应当亮多久、黄灯应当亮多久 马马路的路的宽度度D是容易是容易测得的，得的，问题的关的关键在于在于L的确的确定。定。为确定确定L，还应当将当将L划分划分为两段：两段：L1和和L2。其中其中 L1是司机在是司机在发现黄灯亮及判断黄灯亮及判
13、断应当刹当刹车的反的反应时间内内驶过的路程，的路程，L2为刹刹车制制动后后车辆驶过的路程。的路程。L1较容易容易计算，交通部算，交通部门对司机的平均反司机的平均反应时间t1早有早有测算，反算，反应时间过长将考不出将考不出驾照），而此街道的行照），而此街道的行驶速度速度v 也是交管部也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而另建模型研究，从而L1=v*t1。刹。刹车距离距离 L2既可用曲既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛合方法得出，也可利用牛顿第二定律第二定律计算出来算出来 黄灯究竟黄灯究竟应当亮多久当亮多久现在已在已经变得清楚多了。得
14、清楚多了。第一步，第一步，先先计算出算出L应多大才能使看多大才能使看见黄灯的司机停黄灯的司机停得住得住车。第二步，第二步，黄灯亮的黄灯亮的时间应当当让已已过线的的车顺利穿利穿过马路，路，即即T 至少至少应当达到当达到（L+D）/v。 DL返回 将形状将形状质量相同的量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到可能地延伸到远方，方，问最最远可以延伸多大距离。可以延伸多大距离。设砖块是均是均质的，的，长度与重量均度与重量均 为1，其，其 重重心在中点心在中点1/2砖长处，现用用归纳法推法推导。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：受到的两个力的
15、力矩相等，有：1/2-Zn= (n1) Zn故故Zn =1/(2n)，从而上面，从而上面 n块砖向右推出的向右推出的总距离距离为，故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至 任意远任意远任意远任意远 ，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。 9、砖块延伸、砖块延伸返回 飞机失事机失事时，黑匣子会自，黑匣子会自动打开，打开，发射出某种射出某种射射线。为了搞清失事原因，人了搞清失事原因，人们必必须尽快找回匣子。尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，确定其所在的方向
16、和距离，试设计一些一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用数，至少要用仪器器检测两次，除非你事先知道黑匣两次，除非你事先知道黑匣子子发射射射射线的的强度。度。10、寻找黑匣子、寻找黑匣子方法一方法一点光源点光源发出的射出的射线在各点在各点处的照度与其到点光源的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即的距离的平方成反比，即 黑匣子所在黑匣子所在 方向很容易确定，关方向很容易确定，关键在于确定在于确定距离距离 。设在同一方向不同位置在同一方向不同位置检测了两次，了两次，测得得的照度分的照度分别为I1和和I2，两，两测量点量点间的距离的距离为 a，则有有方法二
17、方法二在方法一中，两在方法一中，两检测点与黑匣子点与黑匣子位于一直位于一直线上，上，这一点比一点比较容易容易做到，主要缺点是做到，主要缺点是结果果对照度照度测量的精度要求量的精度要求较高，很少的高，很少的误差会造成差会造成结果的很果的很大大变化，即敏感性很化，即敏感性很强，现提出另一方法，在提出另一方法，在A点点测得黑匣子方向后得黑匣子方向后 ，到，到B点再点再测方向方向 ，AB 距距离离为a ，BAC=，ABC=，利用正弦定理得出，利用正弦定理得出 d = asin/sin (+) 。需要指出的是，当黑匣子。需要指出的是，当黑匣子位于位于较远处而而 又又较小小时，+可能非常接近可能非常接近（
18、ACB接近于接近于0），而），而sin（+）又恰好位于）又恰好位于分母上，因而分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，果的精确性影响也会很大，为了使了使结果果较好，好，应使使a也相也相对较大。大。BACa返回 1111、 舰舰艇的会合艇的会合某航空母某航空母舰派其派其护卫舰去搜去搜寻其跳其跳伞的的飞 行行员，护卫舰找到找到飞行行员后，航母通知它尽快返回与其后，航母通知它尽快返回与其汇合并通合并通报了航母当前的航速与方向，了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎怎样航行，才能与航母航行，才能与航母汇合。合。令：令：则上式可简记成则上式可简记成 ：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母
19、护卫舰护卫舰 1 2 即：即：可化为：可化为：记记v2/ v1=a通常通常a1 则则汇合点汇合点 p必位于此圆上。必位于此圆上。 （护卫舰的路线方程）（护卫舰的路线方程）（航母的路线方程（航母的路线方程 ）即可求出即可求出P点的坐标和点的坐标和2 的值。的值。本模型虽简单，但分析本模型虽简单，但分析极清晰且易于实际应用极清晰且易于实际应用 返回12、价格竞争、价格竞争 问题：两个加油站位于同一条公路旁，：两个加油站位于同一条公路旁，为在公路上在公路上行行驶的汽的汽车提供同提供同样的汽油，彼此的汽油，彼此竞争激烈一天，甲争激烈一天，甲加油站推出加油站推出“降价降价销售售”吸引吸引顾客客结果造成乙
20、加油站果造成乙加油站的的顾客被拉走，影响了乙站的客被拉走，影响了乙站的赢利利利利润是受是受销价和价和销售量的影响和控制他售量的影响和控制他们为了挽回了挽回损失采取失采取对策，决定策，决定也降低也降低销售价以争取售价以争取顾客乙加油站如何决定汽油的价客乙加油站如何决定汽油的价格，既可以同甲站格，既可以同甲站竞争，又可以争，又可以获取尽可能高的利取尽可能高的利润分析：分析：在在这场“价格价格战”中，我中，我们将站在乙加油站的立将站在乙加油站的立场上上为其制定价格其制定价格对策因此需要策因此需要组建一个模型来描述建一个模型来描述甲站汽油价格下甲站汽油价格下调后乙加油站后乙加油站销售量的售量的变化情况
21、化情况为描述价格和汽油描述价格和汽油销售量之售量之间的关系，我的关系，我们引入如引入如下一些指下一些指标： 影响乙加油站汽油影响乙加油站汽油销售量的因素售量的因素(1)甲加油站汽油降价的幅度；甲加油站汽油降价的幅度；(2)乙加油站汽油降价的幅度；乙加油站汽油降价的幅度；(3)两站之两站之间汽油汽油销售价格之差售价格之差 在在这场“价格价格战”中，我中，我们假假设汽油的正常汽油的正常销售价格售价格保持定常不保持定常不变，并且假定，并且假定以上各因素以上各因素以上各因素以上各因素对对乙加油站汽油乙加油站汽油乙加油站汽油乙加油站汽油销销售量的影响是售量的影响是售量的影响是售量的影响是线线性的性的性的
22、性的于是乙加油站的汽油于是乙加油站的汽油销售量售量可以由下式可以由下式给出出返回1313、遗传模型、遗传模型 1问题分析分析所所谓常染色体常染色体遗传，是指后代从每个，是指后代从每个亲体的基因中体的基因中各各继承一个基因从而形成自己的基因型承一个基因从而形成自己的基因型.如果所考如果所考虑的的遗传特征是由两个基因特征是由两个基因A和和B控制的，控制的，那么就有三种可能的基因型：那么就有三种可能的基因型：AA，AB和和BB. 例如，金例如，金鱼草是由两个草是由两个遗传基因决定它开花的基因决定它开花的颜色，色，AA型开型开红红花，花，AB型的开型的开粉粉粉粉花，而花，而BB型的开型的开白白白白花花
23、.这里的里的AA型和型和AB型表示了同一外部特征型表示了同一外部特征(红色色)，则人人们认为基因基因A支配基因支配基因B，也，也说成基因成基因B对于于A是是隐性的性的.当一个当一个亲体的基因型体的基因型为AB，另一个，另一个亲体的基因型体的基因型为BB，那么后代便可从，那么后代便可从BB型中得到基因型中得到基因B，从，从AB型型中得到中得到A或或B，且是等可能性地得到，且是等可能性地得到.问题问题：某植物园中一种植物的基因型：某植物园中一种植物的基因型为AA，AB和和BB.现计划采用划采用AAAA型植物型植物型植物型植物与与每种基因型植物每种基因型植物每种基因型植物每种基因型植物相相结合的合的
24、方案培育植物后代。方案培育植物后代。试预测，若干年后，若干年后，这种植物的任一代的三种基种植物的任一代的三种基因型分布情况因型分布情况. 2模型假模型假设（1）按）按问题分析，后代从上一代分析，后代从上一代亲体中体中继承基因承基因A或或B是等可能的是等可能的,即有双即有双亲基因型的所有可能基因型的所有可能结合使其后代形合使其后代形成每种基因型的概率分布情况如表成每种基因型的概率分布情况如表 下一代下一代基因型基因型（n代）代）上一代父上一代父-母基因型（母基因型（n-1代）代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0
25、001/41/21 3模型建立模型建立 注意到原注意到原问题是采用是采用AA型与每种基因型相型与每种基因型相结合，因合，因此此这里只考里只考虑遗传分布表的前三列分布表的前三列. 下一代下一代基因型基因型（n n代）代）上一代父上一代父- -母基因型（母基因型（n n-1-1代）代）AA-AAAA-AAAA-ABAA-ABAA-BBAA-BBAB-ABAB-ABAB-BBAB-BBBB-BBBB-BBAAAA1 11/21/20 01/41/40 00 0ABAB0 01/21/21 11/21/21/21/20 0BBBB0 00 00 01/41/41/21/21 1首先考首先考虑第第n代中
26、的代中的AA型型 即第即第n-1代的代的AA与与AA型型结合全部合全部进入第入第n代的代的AA型，型，第第n-1代的代的AB型与型与AA型型结合只有一半合只有一半进入第入第n代代AA型，型，第第n-1代的代的BB型与型与AA型型结合没有一个成合没有一个成为AA型而型而进入第入第n代代AA型型 下一代下一代基因型基因型（n代）代）上一代父上一代父-母基因型（母基因型（n-1代）代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21按上表所按上表所给数据，第数据，第n代代AA型所占百分率型所占百分率为故有故有同理
27、，第同理，第n代的代的AB型和型和BB型所占有比率分型所占有比率分别为 将三式将三式联立，并用矩立，并用矩阵形式表示，得到形式表示，得到 其中其中 进行行递推，便可推，便可获得第得第n代基因型分布的数学模型代基因型分布的数学模型 4模型求解模型求解 分分别为 故有故有 即得即得 于是于是 或写或写为 5模型分析模型分析（1）完全）完全类似地，可以似地，可以选用用AB型和型和BB型植物与每一型植物与每一个其它基因型植物相个其它基因型植物相结合从而合从而给出出类似的似的结果果.特特别是将是将具有相同基因植物相具有相同基因植物相结合，并利用前表的第合，并利用前表的第1、4、6列数列数据使用据使用类似模型及解法而得到以下似模型及解法而得到以下结果：果： 这就是就是说，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情形下，后代情形下，后代仅具有基因具有基因AA与与BB，而，而AB消失了消失了. （2）本例巧妙地利用了矩）本例巧妙地利用了矩阵来表示概率分布，从而充来表示概率分布，从而充分利用特征分利用特征值与特征向量，通与特征向量，通过对角化方法解决了矩角化方法解决了矩阵n次次幂的的计算算问题，可算得上高等代数方法，可算得上高等代数方法应用于解决用于解决实际的一个范例的一个范例. 返回
