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1、1.3算法案例算法案例(列为选学列为选学)学习目标学习目标1通过案例体会算法思想通过案例体会算法思想2了解案例中的算法用途了解案例中的算法用途 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练1.3算法算法案例案例(列为列为选学选学)课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基1在两个正数的所有公约数中最大的一个公在两个正数的所有公约数中最大的一个公约数为它们的约数为它们的_ 如如12和和18的最大的最大公约数为公约数为_,4和和20的最大公约数为的最大公约数为_.最大公约数最大公约数642当当x2时，多项式时，多项式f(x)x(x(x1)1)1的的值为值为_，加法与乘法共
2、有，加法与乘法共有_次运算次运算3在度、分、秒的互化中，其进制单位为在度、分、秒的互化中，其进制单位为_;在在“分米分米”与与“米米”的互化中，其进制单位为的互化中，其进制单位为 _.1556010知新益能知新益能1辗转相除法是用于求两个正整数的辗转相除法是用于求两个正整数的_的一种方法，这种算法由欧几里得在公的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前元前300年左右首先提出，因而又叫欧几里得年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法算法2所谓辗转相除法，就是对于给定的两个正所谓辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用整数，用_除以除以_若余数不为零若余数不为零,则将则将_构成新的一对数，继续上构成新的
3、一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时面的除法，直到大数被小数除尽，则这时_就是原来两个数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数最大公最大公约数约数较大数较大数较小数较小数较小数较小数余数和较小数余数和较小数3更相减损术是我国古代数学专著九章算更相减损术是我国古代数学专著九章算术中介绍的一种求两个正整数最大公约数的术中介绍的一种求两个正整数最大公约数的方法其基本过程是：对于给定的两个正整数，方法其基本过程是：对于给定的两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若约简；若不是，则用不是，则用_，接着把所得，接着把所得的的_与与_比较，并以大数减小
4、数，继续比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数这个操作，直到所得的数_为止为止,则这个数则这个数(等数等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数最大公约数较大数减去较小数较大数减去较小数差差较小数较小数相等相等4秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作数学九章中提出的一种用于计算的代表作数学九章中提出的一种用于计算一元一元n次多项式的值的方法次多项式的值的方法5进位制是人们为了计数和运算方便而约定进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统的记数系统“满满k(k是一个大于是一个大于1的整数的整数)进进
5、一一”就是就是_ ，k进制的基数是进制的基数是_.k进制进制k6将将k进制的数化为十进制数的方法是：先把进制的数化为十进制数的方法是：先把k进制数写成用各位上的数字与进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果结果7将十进制数化为将十进制数化为k进制数的方法是：进制数的方法是：_，即用，即用k连续去除十进制数或所得的商直连续去除十进制数或所得的商直到商为零为止，然后把各步得到的余数倒着写到商为零为止，然后把各步得到的余数倒着写出就是相应的出就是相应的k进制数进制数除除k取取余法余法问题探究问题探究1实际
6、应用更相减损术时要做的第一步工作是实际应用更相减损术时要做的第一步工作是什么？什么？提示：提示：先判断先判断a，b是否全为偶数，若是，则先是否全为偶数，若是，则先都除以都除以2再进行再进行2用秦九韶算法求用秦九韶算法求x2时时f(x)x33x2x1的值，第一个一次多项式的值为多少？的值，第一个一次多项式的值为多少？提示：提示：由秦九韶算法知由秦九韶算法知f(x)(x3)x1x1.由内到外第一个一次多项式的值为由内到外第一个一次多项式的值为235.课堂互动讲练课堂互动讲练求最大公约数求最大公约数考点一考点一考点突破考点突破用辗转相除法求最大公约数时，相除余数为零用辗转相除法求最大公约数时，相除余
7、数为零时得结果，用更相减损术求最大公约数时，当时得结果，用更相减损术求最大公约数时，当被减数与差相等时一般它就是最大公约数被减数与差相等时一般它就是最大公约数 用用辗辗转转相相除除法法求求80和和36的的最最大大公公约约数数，并用更相减损术检验所得结果并用更相减损术检验所得结果【思路点拨】【思路点拨】按定义一步步递推按定义一步步递推【解】辗转相除法：【解】辗转相除法：803628,36844,8420.故故80和和36的最大公约数是的最大公约数是4.用更相减损术检验：用更相减损术检验：例例例例1 1803644，44368，36828，28820，20812，1284，844，80和和36的最
8、大公约数是的最大公约数是4.【思维总结】【思维总结】辗转相除法的理论依据是：由辗转相除法的理论依据是：由mnqr可以看出可以看出m，n和和n，r有相同的公约有相同的公约数；更相减损术的理论依据为：由数；更相减损术的理论依据为：由mnr,得得mnr，可以看出，可以看出，m，n与与n，r有相同的公有相同的公约数，即二者的约数，即二者的“算理算理”相似相似设设Pn(x)anxnan1xn1a1xa0，将其，将其改写为改写为Pn(x)(anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2)xa1)xa0(anxan1)xan2)xa1)xa0.然后由内向外依次计算当多项式函数中出现然后由内向
9、外依次计算当多项式函数中出现空项时，要以系数为零的齐次项补充空项时，要以系数为零的齐次项补充秦九韶算法及应用秦九韶算法及应用考点二考点二考点二考点二 用秦九韶算法求多项式用秦九韶算法求多项式f(x)3x58x43x35x212x6当当x2时的值时的值例例例例2 2【解】根据秦九韶算法，把多项式改写成如【解】根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：下形式：f(x)(3x8)x3)x5)x12)x6，按照从，按照从内到外的顺序，依次计算当内到外的顺序，依次计算当x2时一次多项式时一次多项式的值的值v03，v1v02832814，v2v123142325，v3v225252555，v4v321255
10、212122，v5v42612226238.所以当所以当x2时，多项式的值为时，多项式的值为238.【思维总结】【思维总结】利用秦九韶算法计算多项式值利用秦九韶算法计算多项式值的关键是能准确地将多项式改写，然后由内向的关键是能准确地将多项式改写，然后由内向外逐次计算由于后项计算用到前项的结果，外逐次计算由于后项计算用到前项的结果，故应认真、细心，确保每项计算结果的准确性故应认真、细心，确保每项计算结果的准确性.变变式式训训练练1已已知知f(x)x5x3x2x1，求求f(3)的值的值解：原多项式可化为解：原多项式可化为f(x)(x0)x1)x1)x1)x1，按照从内到外的顺序，依次计，按照从内到
11、外的顺序，依次计算一次多项式当算一次多项式当x3时的值：时的值：v01，v11303，v233110，v3103131，v4313194，v59431283.所以，当所以，当x3时，时，f(3)283.进位制进位制考点三考点三十进制数与非十进制数之间可相互转化十进制数与非十进制数之间可相互转化 完成下列进位制之间的转化：完成下列进位制之间的转化：(1)将本例将本例(1)中的十进制数中的十进制数30转化为二进制数转化为二进制数;(2)将二进制数将二进制数101111011(2)转化为十进制数转化为十进制数例例例例3 3【思路点拨】【思路点拨】 (1)把一个十进制数转化为相把一个十进制数转化为相应
12、的二进制数，用应的二进制数，用2反复去除欲被转化的十进反复去除欲被转化的十进制数制数30，直到商为，直到商为0为止，将各步所得余数倒为止，将各步所得余数倒着写出就是该十进制数着写出就是该十进制数30的二进制表示的二进制表示(2)这类问题是从这个数的左边数字写起，写为这类问题是从这个数的左边数字写起，写为12m或或02m的形式之和的形式之和【解】【解】(1)30(10)11110(2)(2)101111011(2)128027126125124123022121120379.【思维总结】【思维总结】 (1)将将k进制转化为十进制的方进制转化为十进制的方法是：先将这个法是：先将这个k进制数写成各个
13、数位上的数进制数写成各个数位上的数字与字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果的运算规则计算出结果(2)十进制转化为十进制转化为k进进制，采用除制，采用除k取余法，也就是除基数，倒取余取余法，也就是除基数，倒取余.互互动动探探究究2将将本本例例(1)中中的的十十进进制制数数30转转化化为为八进制数八进制数解：解：30(10)36(8)方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1求两个正数的公约数，当两数差别较大时，求两个正数的公约数，当两数差别较大时，用辗转相除法，当两数差别不大时，用更相减用辗转相除法，当两数差别不大时，用更相减损术较快损术较快2两种非十进制的不同进制之间相互转化时，两种非十进制的不同进制之间相互转化时，可以把十进制作为转化的中间桥梁可以把十进制作为转化的中间桥梁失误防范失误防范1用更相减损术求两偶数的最大公约数时，用更相减损术求两偶数的最大公约数时，原先两数的最大公约数是两式相减所得公约数原先两数的最大公约数是两式相减所得公约数与约简的因数的乘积与约简的因数的乘积2在不同的进位制中，要在数的右下角标明在不同的进位制中，要在数的右下角标明基数，以示区分基数，以示区分(十进制数一般不标十进制数一般不标)
