化工过程分析与模拟-I

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1、化工过程模拟培训化工过程模拟培训主要内容主要内容1. 过程系统工程简介过程系统工程简介2. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟3. 化工过程模拟的基本方法化工过程模拟的基本方法4. 化工流程动态模拟化工流程动态模拟5. 稳态模拟实例及化工流程模拟软件简介稳态模拟实例及化工流程模拟软件简介2过过程程系系统统工工程程：是是在在系系统统工工程程、化化学学工工程程、过过程程控控制制、计计算算数数学学、信信息息技技术术等等学学科科的的边边缘缘上上产产生生的的一一门门综综合合性性学学科科，它它以以处处理理物物料料能能量量信信息息流流的的过过程程系系统统为为研究对象。研究对象。系统工程

2、的形成与发展系统工程的形成与发展n系统工程学科，产生于系统工程学科，产生于20世纪的世纪的40年代，在年代，在60年代形成了体系。年代形成了体系。n1981年年，在在日日本本京京都都召召开开第第一一届届国国际际过过程程系系统统工工程程学学术术会会议议，标标志志这这一一学学科科的正式形成。的正式形成。n1991年，中国系统工程学会过程系统工程专业委员会正式成立。年，中国系统工程学会过程系统工程专业委员会正式成立。1. 过程系统工程简介过程系统工程简介3现代化工生产的发展要求系统工程方法的引入：现代化工生产的发展要求系统工程方法的引入：（1）过程工业向规模化、大型化、综合化方向发展。）过程工业向规

3、模化、大型化、综合化方向发展。（2）企业发展的综合化、多目标化。）企业发展的综合化、多目标化。（3）能源紧张、自然资源短缺。）能源紧张、自然资源短缺。（4）缩短开发到工业实践的时间。）缩短开发到工业实践的时间。（5）过程工业信息化的要求。）过程工业信息化的要求。1. 过程系统工程简介过程系统工程简介41. 过程系统工程简介过程系统工程简介企业信息化的发展进程企业信息化的发展进程5过程系统模拟过程系统模拟过程系统工程研究的基础和核心工具过程系统工程研究的基础和核心工具n过程系统分析（模拟）过程系统分析（模拟）：对于系统结构确定的现有过程系统进行分析，即建立系统的对于系统结构确定的现有过程系统进行

4、分析，即建立系统的数学模型，对整个系统进行数学模拟，预测在不同条件下系统的特性和行为，发现其数学模型，对整个系统进行数学模拟，预测在不同条件下系统的特性和行为，发现其薄弱环节予以改进。薄弱环节予以改进。n过程系统综合过程系统综合：按规定的系统特性，寻求所需的系统结构及其各子系统的性能，并使按规定的系统特性，寻求所需的系统结构及其各子系统的性能，并使系统按规定的目标进行优化组合。系统按规定的目标进行优化组合。n过程系统优化过程系统优化：参数优化和结构优化。参数优化是指，在一已确定的系统流程中对其参数优化和结构优化。参数优化是指，在一已确定的系统流程中对其中的操作参数进行优选，以满足某些指标达到最

5、优；如果改变过程系统中的设备类型中的操作参数进行优选，以满足某些指标达到最优；如果改变过程系统中的设备类型或相互间的联结，以优化过程系统，称为结构优化。或相互间的联结，以优化过程系统，称为结构优化。6过程模拟过程模拟设计设计操作操作管理管理计划与调度计划与调度要生产什么，要生产多少，何时要生产，分销何处？供应链最优化供应链最优化从原始原料采购到管理过程模型过程模型预测工厂如何表现先进过程控制先进过程控制多重过程与设备限制实时最优化实时最优化决定与改变工厂最佳操作状况操作训练操作训练发展标准化工厂操作技术过程信息管理过程信息管理监控工厂表现7过程模拟在节能中的应用过程模拟在节能中的应用n以节能为

6、目标的装置操作模拟优化以节能为目标的装置操作模拟优化装置（设备）模拟装置（设备）模拟n换热网络的模拟换热网络的模拟流程模拟流程模拟24681012141613579111315初初馏馏塔塔加加热热炉炉378渣油渣油IIII378减二中减二中I I316减二中减二中IIII316常四线常四线340常三中常三中I I323常三中常三中IIII323常三线常三线30512303/303219/227172029271819渣油渣油I I303/303232/22782. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟一、化工过程的数学模型一、化工过程的数学模型模型模型：用物理或数学方法对真

7、实过程中发生的现象进行描述。用物理或数学方法对真实过程中发生的现象进行描述。化化工工过过程程模模型型化化：在在现现有有理理论论、实实验验研研究究、工工程程实实践践的的基基础础上上，通通过过分分析析研研究究及及科科学学、合合理理简简化化，抽抽象象出出能能够够深深刻刻、正正确确反反映映过过程程系系统统本本质质的的数数学学描述，即数学方程组。描述，即数学方程组。建立数学模型建立数学模型：找到：找到尽可能简单尽可能简单的的数学描述数学描述方法，使之能方法，使之能足够精确足够精确地描述所研究的地描述所研究的过程特性过程特性。92. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟数学模型的分类：

8、数学模型的分类：稳态模型：描述过程的状态不随时间变化的模型，一般为稳态模型：描述过程的状态不随时间变化的模型，一般为代数方程组代数方程组。动动态态模模型型：描描述述过过程程的的状状态态为为时时间间的的函函数数，即即反反映映过过程程在在外外部部干干扰扰下下引引起起的的不不稳稳定定过过程程或或开开车车、停停车车过过程程，或或某某些些生生产产函函数数操操作作过过程程时时间间 t 是是主主要要的的自变量，一般为自变量，一般为常微分方程组常微分方程组。集集中中参参数数模模型型：描描述述过过程程的的参参数数不不随随空空间间位位置置变变化化，而而被被看看作作在在整整个个系系统统中中是是均均一一的的。模模型型

9、中中各各种种参参数数的的位位置置与与空空间间位位置置无无关关。一一般般为为代代数数或或常常微微分分方程组方程组。分分布布参参数数模模型型：描描述述过过程程的的状状态态常常数数随随空空间间位位置置变变化化，即即过过程程参参数数变变化化与与空空间位置有关。一般为间位置有关。一般为常微分或偏微分方程组常微分或偏微分方程组。102. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟机理模型：在对过程本质进行理论分析基础上得到的模型。概念清晰，物理意义机理模型：在对过程本质进行理论分析基础上得到的模型。概念清晰，物理意义明确，但往往很难做到。明确，但往往很难做到。经验模型（黑箱模型）：靠回归实验

10、或生产数据得到的模型。只反映输出与输入经验模型（黑箱模型）：靠回归实验或生产数据得到的模型。只反映输出与输入的关系，不能反映过程本质。适用范围有局限性。的关系，不能反映过程本质。适用范围有局限性。由大量数据中归纳出有用的经验模型的方法形成了一个新的热点分支，称为由大量数据中归纳出有用的经验模型的方法形成了一个新的热点分支，称为“数数据挖掘与知识获取（据挖掘与知识获取（data mining and knowledge discovery）”半经验半理论模型：介于以上二者之间，既有一定的理论基础（模型方程形式），半经验半理论模型：介于以上二者之间，既有一定的理论基础（模型方程形式），又有实验数据

11、支持（模型参数的取值）。是最具有实际意义，最常又有实验数据支持（模型参数的取值）。是最具有实际意义，最常用的模型。用的模型。112. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟化化工工过过程程的的数数学学模模型型：把把与与过过程程有有关关的的数数量量关关系系归归纳纳成成为为反反映映过过程程机机理与特性的数学方程组。理与特性的数学方程组。主要包括三个部分：主要包括三个部分： 单元模型单元模型：描述各种化工单元操作的模型；：描述各种化工单元操作的模型； 过程结构模型过程结构模型：表达各单元在系统中的排列结构；：表达各单元在系统中的排列结构； （单纯对系统工况进行模拟的模拟型问题）单纯

12、对系统工况进行模拟的模拟型问题） 表表述述设设计计要要求求部部分分：流流程程结结构构已已知知条条件件下下的的设设计计计计算算，求求取取某某些满足设计要求下的参数或变量。些满足设计要求下的参数或变量。 （流程结构已知的设计型问题）流程结构已知的设计型问题）122. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟数学模型的组成：数学模型的组成：常数数值已确定的量，在运算过程中一直保持不变。常数数值已确定的量，在运算过程中一直保持不变。参数常数的一种，但每次计算后可以改变数值，用于再次计算。参数常数的一种，但每次计算后可以改变数值，用于再次计算。变量变量外部变量系统输入变量，控制变量。外部

13、变量系统输入变量，控制变量。内部变量系统给定输入变量后出现的变量，不可控制变量。内部变量系统给定输入变量后出现的变量，不可控制变量。状态变量系统内部在某一时间状态变量系统内部在某一时间t t所处状态的一组变量。所处状态的一组变量。函函数数关关系系描描述述组组成成模模型型的的各各种种常常数数、参参数数、变变量量之之间间的的相相互互关关系系，通过函数关系可建立所需数学模型。通过函数关系可建立所需数学模型。132. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟数学模型的包含的内容：数学模型的包含的内容：n物物料料衡衡算算和和能能量量衡衡算算方方程程。考考虑虑物物流流运运动动的的流流型型，

14、表表示示物物流流的的温温度度、组组成以及有关的一些性质，例如密度、粘度、热容等的分布；成以及有关的一些性质，例如密度、粘度、热容等的分布；n物物流流局局部部微微元元的的“基基本本”过过程程方方程程，包包括括传传质质、传传热热过过程程和和化化学学反反应应过过程的描述；程的描述；n各各种种过过程程参参数数间间理理论论的的、半半经经验验的的或或纯纯经经验验的的关关联联式式，例例如如传传质质系系数数和和物流速度的关联式，物流的热容及其组成的关联式等；物流速度的关联式，物流的热容及其组成的关联式等；n对对过过程程参参数数的的约约束束。模模拟拟某某些些过过程程时时，必必需需注注意意客客观观存存在在的的对对

15、某某些些参参数数变化范围的约束。变化范围的约束。142. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟模型的简化：模型的简化：科学的简化科学的简化 能更深刻地反映事物的本质能更深刻地反映事物的本质 解决复杂过程与有限手段和方法的矛盾解决复杂过程与有限手段和方法的矛盾简化的要求：简化的要求：q 主要矛盾、重要变量得以反映主要矛盾、重要变量得以反映q 满足过程模拟的需要或其他目的满足过程模拟的需要或其他目的q 适应当前的实验条件和数学描述适应当前的实验条件和数学描述q 适应现有计算机的处理能力适应现有计算机的处理能力15二、稳态过程单元操作模型二、稳态过程单元操作模型稳态过程（单元操作

16、）稳态过程（单元操作）:进入单元进入单元的质量流量的质量流量=排出单元排出单元的质量流量的质量流量特征：特征：1 1、过程单元边界以内质量累积流量为零；、过程单元边界以内质量累积流量为零； 2 2、所有各物流质量流量都是恒定的。、所有各物流质量流量都是恒定的。16过程系统分析与模拟的主要研究对象：过程系统分析与模拟的主要研究对象：性能模型性能模型即：从已知输入变量计算输出变量即：从已知输入变量计算输出变量 X0 = G XI 表征输入输出的过渡状态的算子，表征输入输出的过渡状态的算子， 用适宜的函数来表达用适宜的函数来表达性能模型：性能模型：主要包括两大类物理器械模型主要包括两大类物理器械模型

17、 化学器械模型化学器械模型17181. 物流混合器（物流混合器（MIN）（绝热混合，不发生相变）绝热混合，不发生相变） 已知已知：FI，TI，XI；FJ，TJ，XJ求求：FK，TK，XK1) 总物料平衡式总物料平衡式 FK FIFJ2) 组分平衡式组分平衡式 FKxKiFIxIiFJxJi (i=1, 2, , c 表示混合物的各个组分表示混合物的各个组分) xKi(FIxIiFJxJi)/FK求求FK求求xKi (c-1个方程，个方程，c-1个变个变量量)193) 热量平衡方程热量平衡方程 两股物流温度不同两股物流温度不同 物流物流 I 吸热吸热（放热）（放热）QIQJ 物流物流 J 放热放

18、热（吸热）（吸热）不妨设不妨设 TJTI Cpi组分定压摩尔比热组分定压摩尔比热 T 绝对温度绝对温度求求TK（非线性方程）非线性方程）202. 流股分割器（流股分割器（SPL）将将一股物流分成一股物流分成组分完全相同组分完全相同的的N个分流个分流分流分流 i ，分割率（分割率（N-1个）个）已知已知：FI，TI，XI，分割率分割率求求：FJ，TJ，XJ ； FK，TK，XK21两股输出物流的流股分割器数学模型：两股输出物流的流股分割器数学模型：1) 总物料平衡式总物料平衡式 FJ FI FK（1 ） FI2) 组分平衡式组分平衡式 xJixIi xKixIi (i=1, 2, , c1)3)

19、 温度平衡式（热量平衡温度平衡式（热量平衡无吸热、散热，温度不变）无吸热、散热，温度不变） TJTI TKTI4) 压力平衡式（可以不考虑压力平衡式（可以不考虑） PJPI PKPI223. 等温闪蒸等温闪蒸闪蒸器：在闪蒸器：在一定压力一定压力和由热交换器维持的和由热交换器维持的一定温度一定温度下。下。已知已知：F，zi，P，T，Ki，求求： L，V，xi ，yi1) 总物料平衡式总物料平衡式： FLV2) 组分平衡式组分平衡式： FziLxiVyi (i1，C-1)3) 归一化方程归一化方程：4) 相平衡方程相平衡方程： yiKixi (i1，C)23整理与计算：整理与计算：通过整理上述通过

20、整理上述2C2个方程，可得：个方程，可得：其中：其中：V/F 为汽化率。为汽化率。采用采用Rachford-Rice建议，利用：建议，利用： 进行收敛计算进行收敛计算代入，得：代入，得： 单调函数，近似线性，没有极值，初值不影响收敛，单调函数，近似线性，没有极值，初值不影响收敛，V/F 在在0，1变化。变化。24迭代求解：迭代求解：迭代方法：迭代方法：牛顿拉尔森法牛顿拉尔森法，Wegstein法等法等25例：例：4组分混合物组分混合物26相态判断：相态判断：在在流程模拟中，当物流的温度、压力或组成发生变化时，需要判断物流流程模拟中，当物流的温度、压力或组成发生变化时，需要判断物流的相态的相态汽

21、相、液相、汽液两相。汽相、液相、汽液两相。 判断物流相态判断物流相态 作一次等温闪蒸计算作一次等温闪蒸计算 若若 f(0)0 且且 f(1)0 ，存在汽液两相存在汽液两相 若若 f(0)0，过热蒸汽过热蒸汽274. 绝热闪蒸（无换热）绝热闪蒸（无换热） 在在一一定定压压力力PF，温温度度TF下下的的流流体体，通通过过阀阀门门绝绝热热膨膨胀胀到到较较低低的的压压力力PVPLP，流流体体部部分分液液化（或汽化），在闪蒸器中发生分相作用。化（或汽化），在闪蒸器中发生分相作用。 由由于于热热量量未未得得到到补补充充，在在膨膨胀胀前前后后的的流流体体温温度（度（T）会）会发生变化。发生变化。已知已知：H

22、F，PF，F，zi，P(=PV=PL)，Ki，求求： L，V，xi ，yi，T28数学模型：数学模型：首先得到：首先得到：加上：加上：5) 热力学平衡方程热力学平衡方程整理得到：整理得到：29迭代计算：迭代计算：（1）如果进料中组分的沸点相差很小）如果进料中组分的沸点相差很小“窄沸点体系窄沸点体系”， 方程方程 f (V/F, T)=0，对，对K敏感。敏感。（2）如果进料中组分的沸点相差很大）如果进料中组分的沸点相差很大“宽沸点体系宽沸点体系”， Ki距离远，方程距离远，方程 f(V/F, T)=0，对，对V/F敏感。敏感。30五、换热（管壳式换热器模拟）五、换热（管壳式换热器模拟）单单管程，

23、单壳程，流体无相变，逆流换热管程，单壳程，流体无相变，逆流换热已知已知：Fa，Fb，T1，T2，总面积总面积A0，传热系数传热系数U，流体比热流体比热Ca，Cb求求：T3，T4假设：假设： 稳态（给定各点的条件不随时间而变）稳态（给定各点的条件不随时间而变） 均匀（任一横截面上每种流体的温度、速度是均匀的）均匀（任一横截面上每种流体的温度、速度是均匀的） 沿轴向忽略热传导沿轴向忽略热传导 忽略管壁温差，忽略周围热损失忽略管壁温差，忽略周围热损失31取取一个微元段一个微元段dz dz=dA/A0边界条件：边界条件：A0，z0；AA0，z1对微元作热平衡：对微元作热平衡：dQUdA(Ta-Tb)U

24、A0dz(Ta-Tb)微元段流体温度变化：微元段流体温度变化：dTadQ/FaCa，dTbdQ/FbCb边界条件：边界条件：z0，Q(0)0，Ta(0)T1；z1，Tb(1)T232继续：继续：设：传热单元数（无因次）设：传热单元数（无因次） NaUA0/FaCa，NbUA0/FbCb 流动热容比：流动热容比：rFaCa/FbCb整理得到：整理得到：解此方程组得到：解此方程组得到：33继续：继续：换热器内传递的换热器内传递的总热量总热量：QEIFaCa(T1T2)流体比热流体比热：Ca，Cb是是T的函数的函数 若：温度变化不大，若：温度变化不大，Ca，Cb可假设为常数可假设为常数 若：温度变化

25、比较大，则若：温度变化比较大，则 单组分比热：单组分比热：CpabTcT2dT3 多组分气体比热：多组分气体比热：多管程换热器：建立相应的数学模型求解，只是复杂一些。多管程换热器：建立相应的数学模型求解，只是复杂一些。346. 化学反应器数学模型化学反应器数学模型反应器：进行化学反应的过程单元，化工装置中最关键的设备。反应器：进行化学反应的过程单元，化工装置中最关键的设备。模拟条件模拟条件模拟条件模拟条件： 明确被模拟的对象反应器的明确被模拟的对象反应器的类型类型，并根据化学反应机理，建立可靠的数，并根据化学反应机理，建立可靠的数学模型。学模型。有模拟对象反应器的有模拟对象反应器的结构参数结构

26、参数：如反应器的结构尺寸；冷却单元的传热面积；有关催化剂的装置；床深度等有反应器的工业试验数据或生产运行有反应器的工业试验数据或生产运行数据数据（如操作工艺条件，温度、压力、组成等）以及模拟的工艺条件以及模拟的工艺条件允许范围允许范围（模拟弹性）（模拟弹性）有反应物流在反应过程中的有反应物流在反应过程中的热力学数据热力学数据：如反应平衡常数，反应热，粘度，导热系数，催化剂的热性系数等构成反应器数学模型的基础构成反应器数学模型的基础构成反应器数学模型的基础构成反应器数学模型的基础： 物料衡算；热量衡算；动量衡算；物料衡算；热量衡算；动量衡算；反应速率式反应速率式35非非均相固定床反应器模型均相固

27、定床反应器模型已知已知：FT0, FA0, xA0, T0, L, A0求求：xA, T沿反应器的分布沿反应器的分布（即：反应产物（某一组分）、温度（即：反应产物（某一组分）、温度 沿床层深度变化的规律）沿床层深度变化的规律）对对一个微体积作平衡计算：一个微体积作平衡计算：微元段进口：微元段进口： FT, FA, xA, T微元段出口：微元段出口： FT, FA+dFA, xA+dxA, T+dT36继续：继续：组分组分A的物料平衡：的物料平衡： FA(FA+dFA)rAdV0 热量平衡：热量平衡： FTCpTFTCp(T+dT)HdFAdQ0 FAFTxA dVA0dL初始条件：初始条件：

28、整理方程：整理方程：反应速率方程：反应速率方程：372. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟建模过程建模过程38化工开发放大中的试验与数学模拟关系化工开发放大中的试验与数学模拟关系39稳态流程模拟作为应用工具，也受一定能力的限制。稳态流程模拟作为应用工具，也受一定能力的限制。n 实测数据的获取与准确性实测数据的获取与准确性数学模型的有效性和准确性数学模型的有效性和准确性n 数学解算工具的局限性数学解算工具的局限性n应用经验模型时的危险性应用经验模型时的危险性402. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟二、化工系统的数学模拟二、化工系统的数学模拟模拟模

29、拟：就是在模型上做实验，以寻求原型中过程的规律性。：就是在模型上做实验，以寻求原型中过程的规律性。物理模拟物理模拟：在实验装置上进行模仿真实过程的实验。：在实验装置上进行模仿真实过程的实验。数数学学模模拟拟：应应用用已已建建立立的的过过程程系系统统的的数数学学模模型型在在计计算算机机上上求求解解，从从而而获得过程系统的特性和行为规律。获得过程系统的特性和行为规律。412. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟自由度的概念：自由度的概念：(Degrees of Freedom) 自由度自由度：描述一个系统的状态所需变量的数目与建立这些变量之间：描述一个系统的状态所需变量的数目

30、与建立这些变量之间数量关系的独立方程的数目之差。数量关系的独立方程的数目之差。化工系统模型中，化工系统模型中，Nvariable Nequation模型求解前，必须给模型求解前，必须给 ND 个变量赋值个变量赋值设计变量设计变量“自由自由”选择选择 ND 个变量个变量设计变量选取与赋值不同设计变量选取与赋值不同系统的设计方案不同系统的设计方案不同设计变量确定后，余下的设计变量确定后，余下的 Nequation个变量（个变量（状态变量状态变量）组成的）组成的 Nequation 个方程（个方程（状态方程状态方程），确定系统的一个状态。，确定系统的一个状态。422. 化工过程的数学模型与数学模拟化

31、工过程的数学模型与数学模拟例：苯甲苯混合器例：苯甲苯混合器 设计变量：设计变量：状态变量状态变量状态方程状态方程苯苯-甲苯混合器的数学模型：甲苯混合器的数学模型：43设计变量的选择设计变量的选择确定的确定的化工系统化工系统 确定的确定的自由度自由度常规精馏塔：常规精馏塔：一股进料一股进料塔顶、塔底二股出料塔顶、塔底二股出料没有中间再沸器、中间冷凝器没有中间再沸器、中间冷凝器设计变量：设计变量：进料变量（流率、组成、热焓）进料变量（流率、组成、热焓）+ 塔压塔压 + 4 个设计变量个设计变量模拟型问题模拟型问题：理论级数、进料位置、塔顶（或塔底）馏出量、回流比：理论级数、进料位置、塔顶（或塔底）

32、馏出量、回流比塔顶、塔底的产品组成塔顶、塔底的产品组成设计型问题设计型问题：轻关键组分的塔顶回收率、重关键组分的塔底回收率、进料：轻关键组分的塔顶回收率、重关键组分的塔底回收率、进料位置判据、回流比位置判据、回流比理论级数、进料位置、塔顶和塔底馏出量理论级数、进料位置、塔顶和塔底馏出量2. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟精精 馏馏 塔塔442. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟设计变量（自由度）的选择原则设计变量（自由度）的选择原则（1）所选择的设计变量必须真正独立）所选择的设计变量必须真正独立例：塔顶和塔底轻组分回收率不能同时为设计变量。例：

33、塔顶和塔底轻组分回收率不能同时为设计变量。因为：二者和为因为：二者和为1。（2）设计变量的选择应使问题求解尽量方便）设计变量的选择应使问题求解尽量方便例：理论上，可以选择例：理论上，可以选择4个理论级上的温度为设计变量，但是，由个理论级上的温度为设计变量，但是，由于求解困难，这样选择没有意义。于求解困难，这样选择没有意义。45设计变量的选择，会影响到模型的求解设计变量的选择，会影响到模型的求解例：例：选择设计变量：（选择设计变量：（ x3，x4 ）（x5，x6），），5个方程联立求解个方程联立求解（x1，x2），），无法求解无法求解2. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟

34、46典型单元设备的自由度典型单元设备的自由度2. 化工过程的数学模型与数学模拟化工过程的数学模型与数学模拟47氨合成系统的稳态过程数学建模氨合成系统的稳态过程数学建模 举例举例n氨合成系统氨合成系统n反应温度：反应温度： 400500，压力：，压力：300 kg/cm2n催化反应催化反应N2 + 3H2 2NH3平衡时，氨的合成转化率为平衡时，氨的合成转化率为12。n保持连续稳定操作的条件：新鲜原料气体的流量、组成恒定；反保持连续稳定操作的条件：新鲜原料气体的流量、组成恒定；反应器在恒温、恒压下操作；各分离器闪蒸温度、闪蒸压力恒定；应器在恒温、恒压下操作；各分离器闪蒸温度、闪蒸压力恒定；排空物

35、流的排空比率恒定。排空物流的排空比率恒定。 混合组分混合组分1N22H23NH34Ar5CH448n数学模型（数学模型（只考虑物料衡算只考虑物料衡算） 混合器混合器j = 1,2,5，表示表示5种混合组分种混合组分物流编号：物流编号：1，2，105个方程个方程49混合器混合器j = 1,2,5 5个方程个方程50反应器反应器 反应平衡方程：反应平衡方程： K：平衡常数，平衡常数，P：反应压力反应压力5个方程个方程51汽液平衡方程汽液平衡方程k1,k2,k5为为PD，TD下的组分平衡常下的组分平衡常数数 高压分离器高压分离器 10个方程个方程52低压分离器低压分离器 10个方程个方程汽液平衡方程

36、汽液平衡方程 k1,k2,k5为为PF，TF下的组分平衡下的组分平衡常数常数 53分流器分流器 10个方程个方程其中，其中，f为分割率为分割率 54分子分率约束式分子分率约束式10个方程个方程共计：共计：Ne 55 个方程个方程55（1）方程类型：方程类型：n物料平衡方程组：物料平衡方程组： 无反应无反应质量平衡（分子量平衡）质量平衡（分子量平衡） 有反应有反应原子数目平衡原子数目平衡n分子分率约束式：分子分率约束式：n设备约束式（描述流程结构）：设备参数（设备约束式（描述流程结构）：设备参数（12个）个）反应平衡常数反应平衡常数分割率分割率汽液平衡常数汽液平衡常数汽液平衡常数汽液平衡常数56

37、氨合成系统数学模型氨合成系统数学模型5个方程个方程5个方程个方程5个方程个方程10个方程个方程10个方程个方程10个方程个方程10个方程个方程混合器混合器1：混合器混合器2：反应器反应器3：分割器分割器5：分离器分离器4：分离器分离器6：分子分率：分子分率：方程数：方程数：Ne 5557（2）变量个数：）变量个数：变量总数：变量总数：Nv Ns （Nc1）NpNv 变量总数变量总数Nv 10 （51）12 72Nc 通过过程单元的各边界组分数通过过程单元的各边界组分数Nc 5Ns 通过过程单元的流股数通过过程单元的流股数Ns 10Np 设备参数个数设备参数个数Np 12（Nc1） 组分数流股的

38、流量变量组分数流股的流量变量 方程数：方程数：Ne 55； 变量数：变量数：Nv 72 设计变量设计变量 d 72 55 17 （个）（个） 可选设备参数可选设备参数 12 个个 可选进料物流变量：可选进料物流变量：F1，x11，x12，x14，x15为设计变量为设计变量583 化工过程模拟的基本方法化工过程模拟的基本方法化工过程系统的数学模型化工过程系统的数学模型 大型非线性方程组大型非线性方程组过程模拟过程模拟 求解求解 大型非线性方程组大型非线性方程组 描述过程系统的数学模型方程组的复杂性，决定了过程系统模拟描述过程系统的数学模型方程组的复杂性，决定了过程系统模拟计算难以用手工计算完成，

39、利用计算机计算的解算方法可归纳为三类：计算难以用手工计算完成，利用计算机计算的解算方法可归纳为三类：n序贯模块法（序贯模块法（Sequential Modular Method）n面向方程法（面向方程法（Equation Oriented Method）n联立模块法（联立模块法（Simultaneously Modular Method）593.1 序贯模块法序贯模块法（Sequential modular approach）n序贯模块法是通过序贯模块法是通过模块的依次序贯计算模块的依次序贯计算求解系统模型的一种求解系统模型的一种方法。方法。n系统的基本组成部分是模块（子程序），模块可以描述物

40、性、系统的基本组成部分是模块（子程序），模块可以描述物性、单元操作以及流程其他功能，并编成通用的子程序。单元操作以及流程其他功能，并编成通用的子程序。单元模单元模块对同一类设备具有通用性。块对同一类设备具有通用性。n过程系统模型中还包括流股联结方程，即描述系统中各单元过程系统模型中还包括流股联结方程，即描述系统中各单元之间联结情况的方程。之间联结情况的方程。60单元模块：单元模块：3.1 序贯模块法序贯模块法61氨合成系统信息流图氨合成系统信息流图n氨合成系统氨合成系统n反应温度：反应温度： 400500，压力：，压力：300 kg/cm2n催化反应催化反应N2 + 3H2 2NH3平衡时，氨

41、的合成转化率为平衡时，氨的合成转化率为12%虚拟设备虚拟设备无关设备无关设备62子系统识别子系统识别带有循环的子系统带有循环的子系统n 对氨合成系统，识别出对氨合成系统，识别出2个带有循环的子系统。个带有循环的子系统。流线流线2、3、4、5、7和单元和单元、组成的循环子组成的循环子系统系统63子系统识别子系统识别带有循环的子系统带有循环的子系统n 对氨合成系统，识别出对氨合成系统，识别出2个带有循环的子系统。个带有循环的子系统。流线流线3、4、8、10和单和单元元、组组成的循环子系统成的循环子系统64子系统切割子系统切割序贯求解序贯求解氨合成系统序贯求解流程图氨合成系统序贯求解流程图 65子系

42、统切割子系统切割序贯求解序贯求解氨合成系统序贯求解流程图氨合成系统序贯求解流程图 66带有循环回路的不可分割子系统带有循环回路的不可分割子系统子系统识别子系统识别 各种方法各种方法A、B、C、D是系统内可以是系统内可以独立求解的最小的子系统独立求解的最小的子系统，即不可，即不可分割子系统，四个子系统的分割子系统，四个子系统的求解顺序求解顺序为为ABCD。采用序贯模块法进行系统模拟，首先必须通过系统分析，识别出采用序贯模块法进行系统模拟，首先必须通过系统分析，识别出过程系统的过程系统的不可分割子系统不可分割子系统，及其序贯求解的顺序。，及其序贯求解的顺序。 67子系统识别子系统识别 1 基于信息

43、流图的单元串搜索法基于信息流图的单元串搜索法 在信息流图上，任选一节点单元，按其任一输出流线方向搜索单元串，在信息流图上，任选一节点单元，按其任一输出流线方向搜索单元串，直到出现下面两种情况之一：直到出现下面两种情况之一： 沿沿该该单单元元的的任任一一输输出出流流线线往往前前搜搜索索，前前面面再再无无单单元元节节点点，即即将将该该单元记录下来，并从流程中剔除；单元记录下来，并从流程中剔除； 被被搜搜索索的的单单元元串串中中的的某某一一单单元元又又重重新新出出现现，即即发发现现一一个个再再循循环环回回路。把该回路中含有的单元合并成一个路。把该回路中含有的单元合并成一个“虚拟单元虚拟单元”节点，继

44、续。节点，继续。 不断重复步骤不断重复步骤、，直至所有单元和虚拟单元均被记录下来。，直至所有单元和虚拟单元均被记录下来。68任选：从任选：从4开始。（开始。（1）456789，记下单元，记下单元9 （2）456786，回路，回路【6，7，8】 （3）45【6，7，8】5，回路，回路【5，6，7，8】 （4）4【5，6，7，8】，记下，记下【5，6，7，8】 （5）4，记下单元，记下单元4 从从2开始。（开始。（6）232，回路，回路【2，3】 （7）【2，3】，记下，记下【2，3】 从从1开始。（开始。（8）1，记下单元，记下单元1得到记录得到记录 1 【2，3】 4 【5，6，7，8】 9

45、求解顺序求解顺序 6，7，82，369子系统识别子系统识别 2 基于相邻矩阵的回路搜索法基于相邻矩阵的回路搜索法相邻矩阵：有相邻矩阵：有n个节点组成的系统的相邻矩阵是个节点组成的系统的相邻矩阵是nn方阵。方阵。相邻矩阵中的行和列的序号均代表节点的序号。相邻矩阵中的行和列的序号均代表节点的序号。行序号表示流线流出的节点；行序号表示流线流出的节点；列序号表示流线流入的节点；列序号表示流线流入的节点；矩阵元素的数值由节点之间的连接情况决定。矩阵元素的数值由节点之间的连接情况决定。70子系统识别子系统识别 2 基于相邻矩阵的回路搜索法基于相邻矩阵的回路搜索法相邻矩阵相邻矩阵71子系统识别子系统识别 2

46、 基于相邻矩阵的回路搜索法基于相邻矩阵的回路搜索法Steward提出的回路搜索法的步骤：提出的回路搜索法的步骤： 从相邻矩阵中，剔除全为从相邻矩阵中，剔除全为0的列及其对应的行，并记录下相应的节的列及其对应的行，并记录下相应的节点号，写在求解序列的前面。从相邻矩阵中，剔除全为点号，写在求解序列的前面。从相邻矩阵中，剔除全为0的行及其的行及其对应的列，并记录下相应的节点号，写在求解序列的后面。对应的列，并记录下相应的节点号，写在求解序列的后面。 由通路搜索法在相邻矩阵中找到回路，用虚拟节点代替组成回路的由通路搜索法在相邻矩阵中找到回路，用虚拟节点代替组成回路的节点，并构造新的相邻矩阵。其中，虚拟

47、节点在相邻矩阵中行、节点，并构造新的相邻矩阵。其中，虚拟节点在相邻矩阵中行、列的值，为其包含的所有节点行、列值的布尔加和。列的值，为其包含的所有节点行、列值的布尔加和。 重复步骤重复步骤，直至剔除并记录下所有节点。，直至剔除并记录下所有节点。72(A,B,C)L1(L1,D,E)L2HA,B,C,D,EF,GI73子系统切割子系统切割 各种方法各种方法子系统子系统C带有循环回路，可按照带有循环回路，可按照某一规则某一规则（如切割流线数最少、（如切割流线数最少、切割流线上变量数最少等）选择切割流线上变量数最少等）选择最佳最佳切割流线。本例中，可选择切割切割流线。本例中，可选择切割流线流线8，即在

48、流线，即在流线8上设置收敛模块。上设置收敛模块。选择选择切割切割回路上的循环流线，即给被选择的物流变量赋以假定值，回路上的循环流线，即给被选择的物流变量赋以假定值，实现循环回路中各单元的序贯求解。实现循环回路中各单元的序贯求解。74子系统切割子系统切割 切割判据切割判据不可分割子系统的切割问题是寻找不可分割子系统的切割问题是寻找最优切割集最优切割集的的优化问题优化问题。切割判据切割判据： 切割流线数量最少。切割流线数量最少。 切割流线的物流变量总数最少。切割流线的物流变量总数最少。 出于某种考虑，对各流线进行加权后，切割流线的加权和最小。出于某种考虑，对各流线进行加权后，切割流线的加权和最小。

49、权重的大小可以反映切割流线将引起的迭代收敛的困难程度。权重的大小可以反映切割流线将引起的迭代收敛的困难程度。 切割简单回路的总数最少。尽量避免一个简单回路多次被切割，切割简单回路的总数最少。尽量避免一个简单回路多次被切割，每个简单回路被切割一次最好。每个简单回路被切割一次最好。75子系统切割子系统切割 简单回路与回路矩阵简单回路与回路矩阵n在信息流图上，在信息流图上，简单回路简单回路指的是从某一节点出发，沿流线方向逐指的是从某一节点出发，沿流线方向逐次通过不同的节点和流线，再回到原出发节点所形成的单向环路。次通过不同的节点和流线，再回到原出发节点所形成的单向环路。回路矩阵回路矩阵 系统共包括系

50、统共包括m个简单回路，个简单回路，n条流线。条流线。 表示简单回路表示简单回路i中包含流线中包含流线j； 表示简单回路表示简单回路i中不包含流线中不包含流线j。 76子系统切割子系统切割 简单回路与回路矩阵简单回路与回路矩阵简单回路：简单回路：回路中任一单元只回路中任一单元只经过一次。经过一次。L1 = 1，2，5L2 = 1，2，3，4L3 = 3，6s1 = L1，L2s2 = L1，L2s3 = L2，L3s4 = L2s5 = L1s6 = L2回路矩阵回路矩阵77子系统切割子系统切割 1 回路切割法回路切割法1966年，年，W.Lee & D.F.Rudd原则原则：切割流线数最少：切

51、割流线数最少78（2）找出只含一个非）找出只含一个非0元素的行，把其非元素的行，把其非0元素对应的列确定元素对应的列确定为切割流线，并从矩阵中为切割流线，并从矩阵中删去删去该列，及其非该列，及其非0元素对应的行。元素对应的行。（3）重复（）重复（1）（）（2），直至零矩阵。），直至零矩阵。子系统切割子系统切割 1 回路切割法回路切割法（1 1）删去回路矩阵中不独立的列）删去回路矩阵中不独立的列若：若： ，则，则 不独立，不独立，删去删去最佳切割方案最佳切割方案最佳切割方案最佳切割方案（2 2 2 2，3 3 3 3）79对对于于回回路路i，至至少少存存在在一一项项aij与与xj同同时时为为1，

52、即即：回回路路i必然被断开。必然被断开。子系统切割子系统切割 2 基本切割法基本切割法1973年，年，T.K.Pho & L.Lapidus，把优化理论应用于切割集的选择，把优化理论应用于切割集的选择以以切割原则切割原则为判据为判据最小加权和判据最小加权和判据求取切割流线的加权和最小求取切割流线的加权和最小整数规划中的特殊问题整数规划中的特殊问题 “01规划规划”80切割流线的收敛切割流线的收敛 各种方法各种方法过程系统的数学模型是一组非线性方程组，切割流线变量的收敛问题可过程系统的数学模型是一组非线性方程组，切割流线变量的收敛问题可认为是一个迭代求解非线性方程组的问题。认为是一个迭代求解非线

53、性方程组的问题。当假设值当假设值 X 与计算值与计算值 Y 之差小于收敛容差之差小于收敛容差时：时：则则Y为切割流线变量的收敛解。为切割流线变量的收敛解。81切割流线的收敛切割流线的收敛 基本知识基本知识过程系统的数学模型是过程系统的数学模型是一组非线性方程组一组非线性方程组，切割流线变量的收敛问题，切割流线变量的收敛问题实际上是一个迭代求解非线性方程组的问题：实际上是一个迭代求解非线性方程组的问题：当假设值当假设值x与计算值与计算值y之差小于收敛容差之差小于收敛容差时：时：则则x为为切割流线变量的收敛解切割流线变量的收敛解。82收敛单元收敛单元：数值迭代求解非线性方程组的子程序。：数值迭代求

54、解非线性方程组的子程序。适用于收敛单元的适用于收敛单元的数值方法数值方法一般应一般应尽可能满足尽可能满足：（1）对初值的要求不高对初值的要求不高。切割变量的初值可根据流线的实际意义给。切割变量的初值可根据流线的实际意义给出，要求初值组数少的方法更实用。出，要求初值组数少的方法更实用。（2）数值稳定性好数值稳定性好。好的迭代方法应该对各种问题都能得到收敛的。好的迭代方法应该对各种问题都能得到收敛的解。解。（3）收敛速度快收敛速度快。三个主要影响因素：。三个主要影响因素：迭代次数；迭代次数；函数函数G(x)的的计算次数，即一次流程回路的模拟计算；计算次数，即一次流程回路的模拟计算；矩阵求逆的次数。

55、矩阵求逆的次数。（4）占用计算机存储空间少占用计算机存储空间少。流程模拟计算量大，数值计算的存储。流程模拟计算量大，数值计算的存储空间问题也需要考虑。空间问题也需要考虑。831、直接迭代法（、直接迭代法（Direct substitution method） （1）显式方程）显式方程（2）迭代公式：）迭代公式：（3）收敛特性：）收敛特性： n=1，线性收敛线性收敛切割流线的收敛切割流线的收敛 非线性代数方程的数值解法非线性代数方程的数值解法收敛收敛y=(x)xk xk+1(xk)(xk+1)y=x84直接迭代法迭代收敛性的几何解释直接迭代法迭代收敛性的几何解释发散发散振荡发散振荡发散(x)xk

56、 xk+1(x)x1 x2(x)振荡不稳定振荡不稳定85（1）显式形式）显式形式（2）迭代公式）迭代公式其中：其中： 松弛因子松弛因子 (relaxation factor) 当当 ，为直接迭代法，为直接迭代法（3）收敛特性）收敛特性 n=1，线性收敛线性收敛(x)xk xk+1 (xk) 2、部分迭代法（、部分迭代法（partial substitution method）对振荡不收敛的情况很有效对振荡不收敛的情况很有效适当改变适当改变 ，可能会改进收敛性，可能会改进收敛性86（1）显式形式显式形式（2）迭代公式迭代公式连接连接(k1)点、点、(k)点直线：点直线：与直线与直线yx的交点的交

57、点：3、韦格斯坦法、韦格斯坦法（Wegstein method）xk-1 xk xk+1(k-1)(k)(k+1)(x)yk-1=(xk-1)yk = (xk)87（1）隐式形式隐式形式（2）迭代公式）迭代公式基本思想：设法将非线性方程转化为某种线性方程近似求解基本思想：设法将非线性方程转化为某种线性方程近似求解f(x) 在在 xk 点一阶展开：点一阶展开： 得到：得到：xxkx*f(x)f(xk)xk+14、牛顿法（、牛顿法（Newton method）方向方向步长步长88单变量非线性方程数值解法比较单变量非线性方程数值解法比较89方程组的迭代求解方程组的迭代求解迭代通式：迭代通式：X(k+

58、1) = X(k) + X(k)收敛判据收敛判据绝对误差绝对误差:相对误差：相对误差：方程组的表达方式方程组的表达方式切割流线的收敛切割流线的收敛 非线性代数非线性代数方程组方程组的数值解法的数值解法901、直接迭代法与部分迭代法、直接迭代法与部分迭代法1）显式表达：）显式表达：X = (X)2）迭代公式）迭代公式: X(k+1) =X(k) + ( (X(k) - X(k) 即：即： xi(k+1) =xi(k) + ( i(X(k) - xi(k) (i=1,n)当当 1时，转化为直接迭代公式：时，转化为直接迭代公式： X(k+1) = (X(k) 即：即： xi(k+1) = i(X(k

59、) (i=1,n)一个参数一个参数“一个方程迭代一个变量一个方程迭代一个变量”912、韦格斯坦法（、韦格斯坦法（Wegstein method）1）显式形式：）显式形式：X = (X)2）迭代公式：）迭代公式：也可以表示为：也可以表示为：3）收敛性：）收敛性：1 n 30000维维联立方程法的联立方程法的核心问题核心问题：求解超大型稀疏非线性方程组。：求解超大型稀疏非线性方程组。104求解求解 超大型超大型 稀疏稀疏 非线性非线性 方程组方程组思路思路求解稀疏方程组的求解稀疏方程组的特殊的解算方法特殊的解算方法：n只对非零元素进行运算，以提高运算速度；只对非零元素进行运算，以提高运算速度；n压

60、缩贮存系数矩阵的非零元素，减少存储空间；压缩贮存系数矩阵的非零元素，减少存储空间；n 求解方法大致可分为两类：求解方法大致可分为两类：降维求解法降维求解法和和线性联立求解法线性联立求解法。 1052. 大型稀疏非线性方程组的降维解法大型稀疏非线性方程组的降维解法 n对大型稀疏非线性方程组降维的方法：对大型稀疏非线性方程组降维的方法： 针对全流程的模型方程组的直接降维针对全流程的模型方程组的直接降维n建立独立的物性估算模块建立独立的物性估算模块n取消单元间的联结方程取消单元间的联结方程 利用处理大系统的利用处理大系统的“化整为零化整为零”的求解思路的求解思路n方程组的分解方程组的分解1061)

61、建立独立的物性估算模块建立独立的物性估算模块过程系统的数学模型中一半以上的方程是物性估算方程，约有过程系统的数学模型中一半以上的方程是物性估算方程，约有7080的模拟机时消耗在物性计算上。的模拟机时消耗在物性计算上。两类处理物性估算的方法两类处理物性估算的方法：(1) 从系统模型中将物性估算方程独立出来从系统模型中将物性估算方程独立出来 单独构成物性估算模块单独构成物性估算模块，不参与方程组的联立求解不参与方程组的联立求解在在求解联立方程组迭代更新变量时求解联立方程组迭代更新变量时 调调用物性估算模块，可以大大减少必须联立求解的方程数。用物性估算模块，可以大大减少必须联立求解的方程数。(2)

62、考虑到物流的焓值、平衡常数的计算十分频繁，利用简化线性模型考虑到物流的焓值、平衡常数的计算十分频繁，利用简化线性模型将焓值和平衡常数的计算加入方程组的联立求解中将焓值和平衡常数的计算加入方程组的联立求解中，只将，只将其余的物其余的物性估算仍然保持在物性模块中性估算仍然保持在物性模块中。 此法将加快计算速度与减小方程此法将加快计算速度与减小方程组规模的两目标进行折衷的方法。组规模的两目标进行折衷的方法。1072) 取消单元间的联结方程取消单元间的联结方程 联结方程是用来描述过程系统中各个单元间的拓扑关系的方程。联结方程是用来描述过程系统中各个单元间的拓扑关系的方程。 取消联结方程后，不仅描述系统

63、的中间物流变量减少了一半，而且模型取消联结方程后，不仅描述系统的中间物流变量减少了一半，而且模型方程组的阶数也相应减少了。方程组的阶数也相应减少了。取消方程取消方程Y1X2用用 X2 代替代替 Y11083) 方程组的分解方程组的分解n方程组分解：对大型的稀疏方程组，可以利用适当的方法分解成方程组分解：对大型的稀疏方程组，可以利用适当的方法分解成若干个若干个较小的、非稀疏的方程组较小的、非稀疏的方程组。依次求解这一系列较小的方程组实现对原方。依次求解这一系列较小的方程组实现对原方程组的求解，进而达到降阶和增大稀疏比的目的。程组的求解，进而达到降阶和增大稀疏比的目的。n方程组分解的对象：数学模型

64、（方程组）的结构方程组分解的对象：数学模型（方程组）的结构n方程组分块的结果：必须联立求解的不可再分子方程块方程组分块的结果：必须联立求解的不可再分子方程块 联立求解联立求解 序贯求解序贯求解n方程组切断的对象：不可再分子方程块中的变量方程组切断的对象：不可再分子方程块中的变量109n实现方程组分解的方法可以实现方程组分解的方法可以借鉴子系统分割的方法借鉴子系统分割的方法。将方程组的基本结构用信息流图、相邻矩阵等形式表示出来，可利将方程组的基本结构用信息流图、相邻矩阵等形式表示出来，可利用不可分割子系统识别的方法进行方程组的分解。用不可分割子系统识别的方法进行方程组的分解。n方程组分解方程组分

65、解联立方程法简化计算的手段之一，联立方程法简化计算的手段之一，可选可选n子系统分解子系统分解序贯模块法进行计算的手段之一，序贯模块法进行计算的手段之一，必备必备整个方程组整个方程组求解求解一系列独立、较小的方一系列独立、较小的方程组求解程组求解前提：前提：可分块方程可分块方程组必须是组必须是稀稀疏方程组疏方程组。110不相关子方程组的识别不相关子方程组的识别子方程组子方程组：方程组内由一部分方程所组成的局部。：方程组内由一部分方程所组成的局部。不不相相关关子子方方程程组组：子子方方程程组组中中只只含含有有特特有有的的某某些些变变量量，这这些些变变量量不不出出现现在其他子方程组中。在其他子方程组

66、中。不相关子方程组可以独立求解，而不影响其他子方程组。不相关子方程组可以独立求解，而不影响其他子方程组。识识别别不不相相关关子子方方程程组组：通通过过事事件件矩矩阵阵的的行行、列列调调换换顺顺序序，得得到到“分分块块对对角矩阵（角矩阵（block diagonal matrix）”，识别出不相关子方程组。识别出不相关子方程组。111事件矩阵的行、列调换，识别出不相关子方程组事件矩阵的行、列调换，识别出不相关子方程组事件矩阵事件矩阵112不相关子方程组识别方法不相关子方程组识别方法步骤：步骤： 挑挑选选关关联联矩矩阵阵中中含含非非0元元素素最最多多的的一一列列，求求取取该该列列非非0元元素素所所

67、在在行行的的并并，形形成成新新行行，取取代代原原来来的的几行。几行。 重重复复，直直至至每每列列只只含含一一个非个非0元素。元素。113（继续）（继续）通过简化合并后的关联矩阵：通过简化合并后的关联矩阵：每一行每一行 表示一个子方程组表示一个子方程组这这个个不不相相关关子子方方程程组组是是由由最最初初矩矩阵阵中中的的几几行行（几几个个方方程程）合并组成的合并组成的114 对于对于n阶稀疏方程组，常常可以找到一个包含有阶稀疏方程组，常常可以找到一个包含有k1（k1n）个变量的）个变量的k1阶子方程组。这个阶子方程组。这个k1阶子方程组可以单独求解。阶子方程组可以单独求解。 k1个变量被求解后，其

68、余个变量被求解后，其余的的n-k1个方程中还可以再找出包含有个方程中还可以再找出包含有k2（k2n-k1） 个变量的个变量的k2阶子方程组，阶子方程组，k2阶子方程组也可以单独求解阶子方程组也可以单独求解重复这一过程，最终把原方程分解成重复这一过程，最终把原方程分解成一一系列可顺序求解的子方程组系列可顺序求解的子方程组。 例：例： 事事件件矩矩阵阵不可分解子方程组的识别不可分解子方程组的识别115n对事件矩阵的行、列进行重新排序，可以对事件矩阵的行、列进行重新排序，可以得到一个分块的下三角矩阵。得到一个分块的下三角矩阵。 不可分解子方程组的识别不可分解子方程组的识别分分块块下下三三角角矩矩阵阵

69、(block lower triangular matrix) ：主主对对角角线线方方向向上上，各各分分块块以以上上的上三角部分中元素均为的上三角部分中元素均为0。116方程组的输出变量集方程组的输出变量集输出变量输出变量：可以通过其所存在的方程中的其它变量求解的变量。：可以通过其所存在的方程中的其它变量求解的变量。n方程组中，每一个方程有一个输出变量，每个变量只能被某一个方方程组中，每一个方程有一个输出变量，每个变量只能被某一个方程指定一次。变量与方程的不同的匹配关系，就构成方程组不同的程指定一次。变量与方程的不同的匹配关系，就构成方程组不同的输出变量集。输出变量集。n一个方程组的输出变量集

70、一般是多解的。一个方程组的输出变量集一般是多解的。117（a）预分配）预分配 挑挑选选非非0元元素素最最少少的的一一列列中中非非0元元素素最最少少的的一一行行，作作为为预预选选的的输输出出变变量量标标记记出出来来；删删除除此此行行此此列列。重重复复预预分分配配过过程程。最最后后，如如果果剩剩余余的的唯唯一一行行、列列相相交交点点为为非非0元元素素，表表明明预预分分配配成成功功，即即已已经经得得到到方方程程组组的的输输出出变变量量集集；如如果果剩剩余余的唯一行、列相交点为的唯一行、列相交点为0元素，表明预分配不成功，转入再分配步骤。元素，表明预分配不成功，转入再分配步骤。（b）再分配（斯图尔特通

71、路，）再分配（斯图尔特通路，Steward path） 从从剩剩余余行行的的任任一一非非0元元素素出出发发，重重复复采采用用下下图图所所示示规规则则，直直至至找找出出一一条条到到达剩余列的任一非达剩余列的任一非0元素的通路。这时，带有标记的元素即为一个输出变量集。元素的通路。这时，带有标记的元素即为一个输出变量集。确定方程组输出变量集的斯图尔特通路法确定方程组输出变量集的斯图尔特通路法118信息流图的构成信息流图的构成用用信息流图信息流图表示方程组：表示方程组：节点节点方程方程有向线有向线方程间传递的输出变量信息方程间传递的输出变量信息119单元串搜索法单元串搜索法：f1，f4f3f2，f5对

72、上图进行整理，可以得到如下的信息流图对上图进行整理，可以得到如下的信息流图不同的输出变量集不同的输出变量集不同的信息流图，可以得到同样的方程组分不同的信息流图，可以得到同样的方程组分块的结果块的结果120形成相邻矩阵形成相邻矩阵把把代代表表输输出出变变量量的的非非0 0元元素素调调整整到主对角线上到主对角线上剔剔除除主主对对角角线线上上元元素素，得得到到一一个相邻矩阵个相邻矩阵转转置置后后，得得到到习习惯惯上上的的相相邻邻矩矩阵阵，此此时时可可用用回回路路搜搜索索法法、可可及及矩矩阵阵法法进行方程组分块进行方程组分块1213. 联立线性方程组法解大型稀疏非线性方程组联立线性方程组法解大型稀疏非

73、线性方程组 1) 线性化方法线性化方法将将非非线线性性方方程程组组线线性性化化，联联立立求求解解线线性性方方程程组组。由由于于线线性性化化引引入入了了误误差，所以要借助迭代使线性化方程组的解，逐渐逼进非线性方程组的解。差，所以要借助迭代使线性化方程组的解，逐渐逼进非线性方程组的解。n维非线性方程组在数学上可以表达为：维非线性方程组在数学上可以表达为：用用n维线性方程组逼近，可表达为：维线性方程组逼近，可表达为： 该线性方程组的解为：该线性方程组的解为：将将 作一阶展开可得到牛顿型的迭代公式：作一阶展开可得到牛顿型的迭代公式：其中，其中，J为为Jacobian矩阵，即一阶偏导数矩阵矩阵，即一阶偏

74、导数矩阵122令令 AJ ，可得：，可得：这时，近似线性方程的解等于牛顿型解，且具有二阶收敛性。这时，近似线性方程的解等于牛顿型解，且具有二阶收敛性。线性化得到的迭代公式和参数值为：线性化得到的迭代公式和参数值为：如果方程组如果方程组F(X)0的第的第j个方程为非线性方程：个方程为非线性方程：fj(X)0，则其线性化形，则其线性化形式为：式为：1232) 稀疏线性方程组的解法稀疏线性方程组的解法 减少求解的计算时间和存储空间，通常有两方面的技术：减少求解的计算时间和存储空间，通常有两方面的技术：n只存储非零元素的压缩存储技术只存储非零元素的压缩存储技术n只对非零元素进行计算的技术只对非零元素进

75、行计算的技术 （1 1）稀疏矩阵的压缩存储）稀疏矩阵的压缩存储 用一个实型数组存储非零元素，用两个整型数组分别标识对应用一个实型数组存储非零元素，用两个整型数组分别标识对应非零元素所在的行号和列号。非零元素所在的行号和列号。 标识数组结束标识数组结束124（2）填充量）填充量消去第一列对角线下非零元素消去第一列对角线下非零元素 进行行列变换进行行列变换 新出现的非零元新出现的非零元素被称作素被称作填充量填充量。填充量与消元成零填充量与消元成零的非零元素之差称的非零元素之差称作作填充增量填充增量。填充。填充量与主元选取的次量与主元选取的次序有关。序有关。 125（3）主元容限）主元容限n减少填充

76、与提高数值稳定性和计算精度往往是矛盾的。减少填充与提高数值稳定性和计算精度往往是矛盾的。n人为地规定了一个界限人为地规定了一个界限 （0），当矩阵元素的绝对值大于），当矩阵元素的绝对值大于，该元素就具备了作为主元的资格，若引入的填充量也不是很，该元素就具备了作为主元的资格，若引入的填充量也不是很大，就可定为主元。这个界限称为大，就可定为主元。这个界限称为主元容限主元容限。 n 值可以经验给定，但它应该满足提高计算精度和减少填充量值可以经验给定，但它应该满足提高计算精度和减少填充量的统一要求。的统一要求。 1264. 结构化联立方程建模结构化联立方程建模n当代化学工业着眼于过程，层次分明，流程清

77、晰，系统庞大。当代化学工业着眼于过程，层次分明，流程清晰，系统庞大。n联立方程法的组成元素仅是变量和方程，即一个复杂的大规模稀疏方联立方程法的组成元素仅是变量和方程，即一个复杂的大规模稀疏方程组。程组。n联立方程模型中，大量变量和方程平板式叠放，损失了流程工业中的联立方程模型中，大量变量和方程平板式叠放，损失了流程工业中的模块性能。模块性能。大量的变量大量的变量和方程和方程结构化的结构化的组织组织使模型的建立、维使模型的建立、维护效率达到最优护效率达到最优1271. 结构化的建模思想结构化的建模思想流程系统是一个具有多层结构的复杂系统。流程系统是一个具有多层结构的复杂系统。对流程系统按功能需求

78、分解为局部子模块，再对局部子模块进行分解得到更对流程系统按功能需求分解为局部子模块，再对局部子模块进行分解得到更简单、易于描述的局部对象，层层深入，最终完成一结构化对象树，用以描述简单、易于描述的局部对象，层层深入，最终完成一结构化对象树，用以描述流程系统。流程系统。2. 面向对象的建模技术面向对象的建模技术联立方程模型的重用性差，可借助面向对象思想弥补这一不足。联立方程模型的重用性差，可借助面向对象思想弥补这一不足。面向对象建模技术强调运用客观的逻辑思维对现实对象进行抽象与封装，并面向对象建模技术强调运用客观的逻辑思维对现实对象进行抽象与封装，并通过继承、聚合使对象具有很强的现实描述性和重用

79、性。通过继承、聚合使对象具有很强的现实描述性和重用性。将模型及模型的操作抽象成类，是一种代码级重用的有效途径。将模型及模型的操作抽象成类，是一种代码级重用的有效途径。1285. 联立方程法的潜在优势联立方程法的潜在优势n联立方程法直接联立求解描述系统的非线性方程组，无需多层嵌套迭代，联立方程法直接联立求解描述系统的非线性方程组，无需多层嵌套迭代，特别适用于那些具有多嵌套循环的过程系统。特别适用于那些具有多嵌套循环的过程系统。n用空间和复杂的应用数学技术换取理想的收敛速度（时间）。用空间和复杂的应用数学技术换取理想的收敛速度（时间）。联立方程法较序贯模块法需要占用大得多的存储及运算空间、更为复杂

80、、精巧的数值运算方法以及编程技巧，但可解决一些序贯模块法难于收敛甚至根本不能收敛的问题。n因各方程、变量对于数学模型的地位相对平等，因此对流程修改、系统因各方程、变量对于数学模型的地位相对平等，因此对流程修改、系统结构改变的适应性较强，可灵活解决模拟问题、设计型问题。结构改变的适应性较强，可灵活解决模拟问题、设计型问题。n自动初始化设定初值算法的逐步完善，使选择变量的初值比较容易，不自动初始化设定初值算法的逐步完善，使选择变量的初值比较容易，不至于因初值偏离解太远而引起计算失败。至于因初值偏离解太远而引起计算失败。n对大型系统，通过适当地选择决策变量，将整个过程系统分解成若干子对大型系统，通过

81、适当地选择决策变量，将整个过程系统分解成若干子系统，便于分块求解，加快计算周期。系统，便于分块求解，加快计算周期。n代表软件：代表软件： ASCEND-IV，SPEEDUP129n模型方程的系数矩阵模型方程的系数矩阵维数很高（方程数和变量数很大）的稀疏维数很高（方程数和变量数很大）的稀疏矩阵。矩阵。n计算时间随方程维数计算时间随方程维数 n 的增大而急剧增大。的增大而急剧增大。n关键问题：保证收敛的稳定性，确定合适的决策变量初值。关键问题：保证收敛的稳定性，确定合适的决策变量初值。n近年来，过程系统的增大，循环回路的增多，非线性化特征的增强近年来，过程系统的增大，循环回路的增多，非线性化特征的

82、增强联立方程法联立方程法的模拟系统发展较快的模拟系统发展较快lASCEND（美国（美国Carnegie-Mellon大学）、大学）、SPEEDUP（英国理工学院（英国理工学院与与ICI公司，后为公司，后为Aspentech收购改为收购改为Customer Modeler）、）、Star公司公司的的NOVA等。等。l新版的新版的Aspen Plus 带有联立方程解法。带有联立方程解法。面向方程法面向方程法的模拟系统的模拟系统1303.3 联立模块法联立模块法联立模块法最早是由联立模块法最早是由Rosen提出的，它利用简化的近似模型代替提出的，它利用简化的近似模型代替各单元过程的严格模型，并将联立

83、计算过程系统的近似模型方程组各单元过程的严格模型，并将联立计算过程系统的近似模型方程组与序贯计算单元过程的严格模型交替进行。联立模块法兼有序贯模与序贯计算单元过程的严格模型交替进行。联立模块法兼有序贯模块法和面向方程法的优点，既能继承序贯模块法积累的大量模块，块法和面向方程法的优点，既能继承序贯模块法积累的大量模块，又能通过近似模型的联立计算，提高对带有循环、设计和优化问题又能通过近似模型的联立计算，提高对带有循环、设计和优化问题的求解速度。的求解速度。131序贯模块法序贯模块法 与与 联立（面向）方程法的比较联立（面向）方程法的比较序序贯贯模模块块法法联联立方程法立方程法占用存占用存储储空空

84、间间小小大大对对初初值值要求要求低低高高计计算算错误诊错误诊断断易易难难修改流程修改流程较较易易较难较难通用通用软软件的开件的开发发较较易易较难较难指定指定设计变设计变量量不灵活不灵活灵活灵活计计算效率算效率低低高高求解求解设计优设计优化化问问题题较难较难较较易易1321. 联立模块法的基本原理联立模块法的基本原理联立模块法：联立模块法： 利用严格模块产生相应的简化利用严格模块产生相应的简化模型方程的系数，然后将流程各模型方程的系数，然后将流程各单元简化模型与物流联结方程联单元简化模型与物流联结方程联立求解，得到系统的一组状态变立求解，得到系统的一组状态变量。量。 由于简化模型是严格模型的近由

85、于简化模型是严格模型的近似，所得状态变量往往不满足各似，所得状态变量往往不满足各单元的严格模型，必须用严格模单元的严格模型，必须用严格模块再次修正简化模型的系数。块再次修正简化模型的系数。 重复这一过程，直至收敛。重复这一过程，直至收敛。1332. 联立模块法的特点联立模块法的特点（1）用简化模型组成的方程组的联解，代替序贯模块法的回路迭代计算，计算）用简化模型组成的方程组的联解，代替序贯模块法的回路迭代计算，计算效率较高。效率较高。尤其处理带有多重再循环物流或有设计规定要求的问题时，具有较好的收敛行为。（2）简化模型方程组的维数比联立方程组中严格模型方程组的维数小很多，是）简化模型方程组的维

86、数比联立方程组中严格模型方程组的维数小很多，是线性方程组，易于联立求解。线性方程组，易于联立求解。简化模型的方程组只涉及单元的输入、输出变量，不涉及单元内部变量。（3）可以利用丰富的序贯模块资源，且基于模块的计算过程使模拟出现错误时，）可以利用丰富的序贯模块资源，且基于模块的计算过程使模拟出现错误时，更容易进行错误诊断。更容易进行错误诊断。 联立模块法的计算效率主要依赖于简化模型的形式。联立模块法的计算效率主要依赖于简化模型的形式。 简化模型是严格模块的近似，同时具有容易建立、求解方便的特点。简化模型是严格模块的近似，同时具有容易建立、求解方便的特点。134n联立模块技术：联立模块技术：196

87、2年，年，Rosen提出，采用线性分率模型提出，采用线性分率模型nRosen的线性分率模型的质量不高，与原非线性方程的等效性的线性分率模型的质量不高，与原非线性方程的等效性较差，因此应用并不成功。较差，因此应用并不成功。n但这一解决问题的思路为联立模块法奠定了基础。但这一解决问题的思路为联立模块法奠定了基础。nMahalec et al.(1971)、Umeda & Nisho(1972)吸收了吸收了Rosen的思想，的思想，采用微分分率模型或差商近似采用微分分率模型或差商近似Jacobian矩阵代替线性分率模型，矩阵代替线性分率模型，提高了近似线性模型的精度，使联立模块法实用化。提高了近似线

88、性模型的精度，使联立模块法实用化。135联联立立模模块块法法框框图图1363. 摄动法求简化模型系数矩阵摄动法求简化模型系数矩阵n联立模块法的计算工作量联立模块法的计算工作量n通过摄动严格模型求取通过摄动严格模型求取Jacobian矩阵，即线性化所花费的计算时间矩阵，即线性化所花费的计算时间n解不同切断方式产生的规模大小不同的近似线性方程组所用的时间解不同切断方式产生的规模大小不同的近似线性方程组所用的时间模块级线性化模块级线性化流程级联立解线性方程组流程级联立解线性方程组n总计算时间取决于：总计算时间取决于：n由摄动所产生的由摄动所产生的Jacobian矩阵的质量的高低矩阵的质量的高低n线性

89、化本身的耗时多少线性化本身的耗时多少n联立解线性模型算法的优劣联立解线性模型算法的优劣137（1）解析法求子）解析法求子Jacobian矩阵矩阵单元模块的严格模型：单元模块的严格模型：其中其中模块的解析偏导数矩阵：模块的解析偏导数矩阵：解析偏导数矩阵是计算效率最高的线性化方法，每次更新只需代入新的解析偏导数矩阵是计算效率最高的线性化方法，每次更新只需代入新的修正点的变量值即可。修正点的变量值即可。138（2）模块摄动求近似）模块摄动求近似Jacobian矩阵矩阵用差商法求出各单元模块的近似子用差商法求出各单元模块的近似子Jacobian矩阵，然后组合成描述整个不矩阵，然后组合成描述整个不可再分

90、块的线性方程组。可再分块的线性方程组。对单元模块的输入变量对单元模块的输入变量逐个加一小的扰动逐个加一小的扰动，用严格模型计算出其输出，用严格模型计算出其输出，按下式计算该模块的子按下式计算该模块的子Jacobian矩阵。矩阵。摄动步长：摄动步长：每次摄动可以求取每次摄动可以求取 中的一列。包括基点的一次函数计算中的一列。包括基点的一次函数计算 ，总共需要总共需要（m11）次）次模块严格模型的计算。模块严格模型的计算。nC 单元间连接流线总数单元间连接流线总数ci 各物流的组分数各物流的组分数nu 设计规定方程数设计规定方程数1394. 联立模块三层法联立模块三层法140联立模块法与序贯模块法

91、的比较联立模块法与序贯模块法的比较比较项目比较项目模拟四单元闪蒸（模拟四单元闪蒸（Cavett）实验）实验模拟问题模拟问题设计问题设计问题123456切断位置切断位置Z1，R3全切断全切断全切断全切断Z1，R3Z1，R3Z1，R3方法方法联立模块法联立模块法 联立模块法联立模块法 联立模块法联立模块法 序贯模块法序贯模块法 联立模块法联立模块法 序贯模块法序贯模块法线性化方法线性化方法“组合单元组合单元”摄动摄动模块摄动模块摄动对角块摄动对角块摄动直接迭代直接迭代“组合单元组合单元”摄动摄动直接迭代直接迭代方程数方程数3671871840Jacobian矩阵计算耗时矩阵计算耗时10041135

92、2收敛算法耗时收敛算法耗时100105157迭代次数迭代次数4430(未收敛未收敛)序贯模块法等价次数序贯模块法等价次数45252630185总耗时总耗时10056104120100141n就模拟方法而言，从就模拟方法而言，从序贯模块法序贯模块法的直接迭代、部分迭代、的直接迭代、部分迭代、Wegstein法、牛顿法、牛顿法，到法，到联立模块法联立模块法的回路切割方式、流股变量半切割方式、流股变量全切割的回路切割方式、流股变量半切割方式、流股变量全切割方式，再到方式，再到联立方程法联立方程法的方程组分解降阶、全系统全变量联立求解的方法，的方程组分解降阶、全系统全变量联立求解的方法，是一个逐步渐变

93、的过程，可以看作是一系列不同的加速收敛的方法。是一个逐步渐变的过程，可以看作是一系列不同的加速收敛的方法。n将系统模拟的方法分成截然不同的三大类：序贯模块法、联立模块法、联立将系统模拟的方法分成截然不同的三大类：序贯模块法、联立模块法、联立方程法，只是一种经典的划分方法。方程法，只是一种经典的划分方法。n随着三种模拟方法的各自发展、改进、互为融合、取长补短，它们之间已无随着三种模拟方法的各自发展、改进、互为融合、取长补短，它们之间已无明显的鸿沟，只是迭代变量由少变多、不同的加速收敛算法的应用的演变过明显的鸿沟，只是迭代变量由少变多、不同的加速收敛算法的应用的演变过程。故一部分业内专家建议将系统模拟的方法通称为不同的加速收敛方法。程。故一部分业内专家建议将系统模拟的方法通称为不同的加速收敛方法。142