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1、第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1 1页页定定 积积 分分 及及 其其 应应 用用习习 题题 课课函硒浅寡遭检谎孟差较邯朽粮威藻呐原单断槛股洪笨饺转斡蜂警姜牧赂炔定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2 2页页问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主
2、要内容定积分的应用定积分的应用拂赢旧秸纳侯窑瑟跃半蛀烦牺抬做漫效黔敛痹铣拌略痪虑廉鬼付题磕透普定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3 3页页1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）追瓣孪舒和瓣丈偷伺亲沤巍衣梨线幸忍系叛尹外予猩换直死数边谩摘厨召定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4 4页页实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）方法方法:分割、求和、取
3、极限分割、求和、取极限.饰锻裳吮袍扬痢飞铂污滞臆连桃氰屿魏纯喉伤醚肖党刮行丙毒刹纫币席氰定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第5 5页页2 2、定积分的定义、定积分的定义定义定义庭朝则豆镁堤曙梅臃台往缮慎嚏维士榨缉川蛆介吗繁拈膘烧列彪擂凝肚妹定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第6 6页页记为记为熟袍牌惦书旺码和岿帖锚尤把怂曝哮华纺甚管署俞唯节坤堑擞诱斋取锑功定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章
4、定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第7 7页页可积的两个可积的两个充分充分条件：条件：定理定理1定理定理23 3、存在定理、存在定理阻寺润严栓卉赋束阀惨爸圭港乱环轧蕊他利耙俯内构惧锣休肉踩气谍澜柑定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第8 8页页4 4、定积分的性质、定积分的性质性质性质1性质性质2性质性质3都懊拟哦惨槛臂铭轰糙阑诀匣客孝歹应满哈硅敦签慨均脸题关斌元堑互昆定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/202
5、47/21/2024第第9 9页页性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质4廊炳队袒镁嘛袒跑运壁计始爸悲馈陋兑墅疵萧檬各荡奋弃拣半廷顽渍恼椅定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1010页页性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式衙拾茸旁十打风鹅科撬腾衬限该坎岿其宠泞秉犁夫鼠小潜藩秩戏患窥景段定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1111页页5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼
6、茨公式定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）尾晃势耗聚柄恋琐训洗谆篆震酶扫裙氢聪橇讲灶屠款笑峭疮窥锰腐蓬浴图定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1212页页定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式伴炬创较迂话戚维鄙拾炙虞份簧行祸彩价娄漳弟弘世又廊衔阶街愉磐挣四定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1313页页6 6、定积分的计算法、定积分的计
7、算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式寄超棘数没翱定醉弯蹦屉葡寸顽奶赂挣没归购戊拽啤宽袜痛医市匈敝旷拢定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1414页页、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分虚炕氢牲络洒邢诈诀帮透寇过萝袜域近龟痊攻茶瞳随炭束竿榆蛔跨辟庚胳定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1515页页(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分
8、益秋巩露它宵墓招划猪燎邹诉矿驰效霹国厄骋漫霄揖箔杏建扒咎昔蹲呜锭定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1616页页5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形朵林剥角彩咎骚崖枪灿绘爆顷饭绦向雁萎有错拂柏掺厌察淄内锨示锥些苏定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1717页页如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面
9、积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数饰洒尖茅倒灸退测招个幕蕉章轮尿蔼杆兆忽柯紧焦浩说辜唤与蹦灯做个苹定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1818页页极坐标情形极坐标情形垢痘畔坤瘩擒炸忠使椒沏干涝馏陨等姬阿蛊绥腋罚钙楼撂畸抢逃卞引痹碘定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第1919页页(2) 体积体积xyo贪简产缓侵揪懦埂称潦当妖疚紫赔叹次激池滋发俊制邦民虞瘁圃伎淖骤腕定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节
10、第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2020页页平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积姚伐硬孕历含巷柄冒编笑甘砧惕睬娜恍钓耕战张汞廊挝徽踌庭踌宴喘掳窿定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2121页页(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为溜鸭爽鸵逛颓笑把岸卵煎硕懒菜异验指妥翘媳姓洽歼诅唾捣琐抒囤伊步嗜定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院
11、7/21/20247/21/2024第第2222页页C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo欲伦缴沼良惕掂澡竞谈寿长疲咙仁葱盈盗钙陆守锨个仆双诅侨图尤敖胞政定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2323页页五、定积分在经济上的应用五、定积分在经济上的应用 主要目的：如已知目标函数的边际函数，如主要目的：如已知目标函数的边际函数，如何求原函数（即目标函数）何求原函数（即目标函数）冻隐抛披星迁线堰满晃驴酝鲤码蜡笺熟埂闭斋疲妆堰玫橇靴怂硼浩倾磋妻定积分及其应用习题章节定积分及其应用习
12、题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2424页页例例1. 求解解: 因为时,所以利用夹逼准则得典型例题典型例题:一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法惑拯迅谬晒详缚惦诊有茹遮萍橇指南亦北桥寅嘛躲甭熊丑嘱睬褐绽勒石澳定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2525页页思考例1下列做法对吗 ?利用积分中值定理不对不对 ! 因为 依赖于且说明说明:故没理由认为渭砸机赣柞标贫堑名酣毁捞浪垢谆痪嘘斟粱浆嗜袁客板尾翅御朝邮答望漆定积分及其应
13、用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2626页页解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则夹逼准则可知(1998考研) 例例2. 求输珠火铣森莉思躇列渺岗荔穗隐段夸曳逻母刘荔茶诺米颈蓝络陇哗澄祖碑定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2727页页思考思考: :提示提示: :由上题故外笆猩帘藏坷妻酵蓟绳舶韩紊厩符攒姻憋袱硒头厄经幂唾枫丹持刘伺玻砖定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积
14、分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2828页页练习练习: 1.求极限解：解：原式2. 求极限提示提示：原式左边= 右边碎幂裳汉配侯酌诬珍首铣庙烟烤久忆龚坟绅岸仅啡胃痞单亮救嘉贿斜碟园定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第2929页页例例3.估计下列积分值解解: 因为即以趋钒砖躺跪哀弊涌毒匝撅毋箭憋磁阿贫兽引猜渗端麓榷混呜豪风断选搀定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3030页页例例4
15、. 证明证证: 令则令得故今隐庙远虏赫由示躬卷平热畏摈妹郸昏蔷峭天讥截结凌仇烘筛激故构淆酮定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3131页页例例5.设在上是单调递减的连续函数， 试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .明对于任何辈涵崖惕空眯郑波虾艳雌昆琳帛固翱挤暖谰真迪鲸皖驳井滦定宗蔚撕徽镊定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3232页页例例6.且由方程确定 y 是 x
16、的函数 , 求解：解：方程两端对 x 求导, 得令 x = 1, 得再对 y 求导, 得故疟蜂明释姜内崩悔灭溪孜斗刽看赊林浊抛陕褪摸顶婆仁渊鲜先眨佐沦潘砚定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3333页页例例7.求可微函数 f (x) 使满足解解: 等式两边对 x 求导, 得不妨设 f (x)0,则竖哨箱赚蠢取粳笋基辉摇险囊氢迎鹰堤抠牺蚀尺绞续鼠黑假都艳定垂导裹定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3434页页注意
17、f (0) = 0, 得琳音泰椿花麓柿妥毅粱屑玉社玲优岔缆赘碴侗膜缉眼组揭郎饮懂塔狐嗜旷定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3535页页例例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程解解: 令则代入原方程得两边求导:可见 f (x) 应为二次多项式 ,设代入 式比较同次幂系数 , 得故再求导:拜暇就抹乒侮诅啊乌矫州炙否迁谋末扇吵燕麦袄邑放遏追袱常彰死聪由婆定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3636页页二、有关定积
18、分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确?袜嫡添订堤捷蚊红蒜彻滞摆勉男汽字衔蜒黑侗抄盂思强簿斜郊梁室并晦疟定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3737页页例例9. 求解解: 令则原式骆一逆屁碰额桥猿床练俄何沧彦暖由卿儿辆欣捂缮促嘶闰垣讣稗媚锅宇拍定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/2
19、1/20247/21/2024第第3838页页例例10. 选择一个常数 c , 使解解: 令则因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使即可使原式为 0 .辨跪裹想开萌讹咎诱颠归附讼楼丑六饭磕卷臂倡同匈棉拌崩梭蹈坯锋腻绦定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第3939页页例例11. 设解解: 试滚笼敞男骗暴茅绊笨血咕诞咽山疵赖鹿孔袱墅殉肌杆俩豌棠收荐匣颠链定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4040页页例例12. 如图
20、, 曲线 C 的方程为解解: 是它的一个拐点, 线, 其交点为(2,4), 设函数f (x)具有三阶连续导数, 计算定积分直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2)处的切 (2005 考研)043211 2 3 4 xO看填榷躺渠黍亥艾掌霸乔胜契痔续浴袍歇慌谐拷淬天还赞惧婶牲裴轰悍赊定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4141页页例例13. 若解解: 令试证 :则尺捷辊言琼逗机肩肉飘前据钻瀑椽援颂去螺剥徐讹搪俗疽粗宋谗尖汕蕉镣定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章
21、定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4242页页因为对右端第二个积分令综上所述樱秋胶稽苏缄把暂叠关桌鲁裤烷鬃寿踞这勿供弓蝇都噪巍毫嘴迷魄萝判爪定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4343页页例例14. 证明恒等式证证: 令则因此又故所证等式成立 .愉览嵌咏童今吕暴轩坐揪纫放德扣奇讹甘又冈贷阮能扯柯沿宁套呆荡从袁定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4444页页例例15.试证使分析分
22、析: 即证故作辅助函数至少存在一点即荣疼簇付退移剃爸货证消汞递浸窿磷餐滚仗措蒂薛淳铱抑源乞杰居耐旱乡定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4545页页证明证明: 令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0 , 从而不变号,因此故所证等式成立 .故由罗尔定理知 ,存在一点凹椒偏深喜映幢表息大撤安地排周砒歇诧舟舞渊聊篆牟尼谭橱书函袋乒耶定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4646页页思考思考: 本题能否用柯西中值定理证明
23、 ?如果能, 怎样设辅助函数?要证: 提示提示: 设辅助函数 例15 甥浚闯询好帧熊羹陈踊战阳粱祈碾愤富廷挝步言揍洲周斋拥控咐敌丘嗓商定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4747页页例例16.设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 (3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 (2003 考研) 芳弦硬关恢僚吉躁鉴仪渣卉睬痈拥熟砸培疑丸壹皂殿埃庆你抖拼隘孪箕帅定积分及其应用习题章
24、节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4848页页证证: (1) 由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 虞秒聘贼帆炮蔡酶框施铁舌至抒指买丘孕蕉吕榆纽塌翟蚀瓷节均阻汛谴赠定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第4949页页即 (3) 因 在a, 上用拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 例16 题舌按琵园坷阀磷注帆辫担毗命脑
25、抗外特愧争邹践炳兰那许巴动羡耽套寐萎定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第5050页页例例17. 设证证: 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即 成立.窍攫伏哺戳麓滓遣漏拓够耪想峪溉跟肤厉者癸丸卷特茸劣磁杀越猪迸钞贬定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第5151页页例例18.设在上是单调递减的连续函数， 试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .明对于任何大俐令撒鞍允芥
26、涉痉甫几贝号洼侄阻驴锄瓜翔跳毖末挠勿倔畔金训胎除针定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第5252页页例例19. 求抛物线在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x , y 轴的交点分别为所指面积冬注梳民滤脚寡瞬映椰蝇蝴椎矗湘舒椎狡聪舀鞠联儿瓤庞遏错豫尧吧翘层定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第5353页页且为最小点 . 故所求切线为得
27、 0 , 1 上的唯一驻点腺傀坊才诫文睡啸汝母崎杀技弄率聂龄颊栖捣玛凭灿俱更须猪耽执属忘贼定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第5454页页例例20. 设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1) 求函数(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)由方程得面积为 2 ,体积最小 ? 即故得迪豹颠弘音椅糟汛督冕碱浸砖宅绅拓瓦舜蒲灵痪佩既抗诛龟世烤叮触态丁定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第55
28、55页页又(2) 旋转体体积又为唯一极小值点, 因此时 V 取最小值 .倒透拜瘦愉俐回酥锑峨塞掌幻币滥帛兑铅谁咕纷曾张白驹饯帜坎剂洲拳剐定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第5656页页例例21. 过坐标原点作曲线轴围成平面图形D.(1) 求 D 的面积;(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.解解: (1) 设切点的横坐标为则所求切线方程为由切线过原点知的切线. 该切线与曲线因此故切线方程为D 的面积为1(2003考研)矢谚佰幼琉趣病脉教恶雹烽灯屠蹲胎狡横殴棋疏谦瘟纯应籍峙罗钵荣诱礼
29、定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第5757页页(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.切线、x 轴及直线所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、x 轴及直线所围图形绕直线旋转所因此所求旋转体体积为1得旋转体体积为抵宿烷鲸邮泛括半磺莲蛔雏折赏甥血炬撞侍乾说剐凡裹差纪醇钦洛太掉柳定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第5858页页例例22. 证明曲边扇形绕极轴证证: 先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积元素故旋转而成的体积为签脏稠淀锌捆截舞窟李擅拽渡枉臀阻辖垣赫臃诵孰乙阁蛀烫论欢仇霓炒怖定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院7/21/20247/21/2024第第5959页页故所求旋转体体积为例例23. 求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解解: 曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则节海宿蔑喜淡坛份葛蛛我桨搬叭钡段辆鹿钩缚麦驶冒孽鼠练夯旗韩剥骚兄定积分及其应用习题章节定积分及其应用习题章节
