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1、第三节导数的应用第三节导数的应用2 2) 基础梳理基础梳理1. 函数的最大值与最小值(1)概念:如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的xI,总有f(x)f(x0)或f(x)f(x0),则称f(x0)为函数在定义域上的最大值(或最小值)(2)求f(x)在区间a,b上的最大值与最小值可以分为两步:第一步,求f(x)在区间(a,b)上的极值;第二步,将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得f(x)在区间a,b上的最大值与最小值2. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题导数在这一类问题中有着重要的应用,它是求函数最大(小)值的强有力的工具3. 导数常
2、常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来,应注意导数在这两方面的应用 基础达标基础达标1. 已知f(x)=x2f(2)-3x,则f(3)=_.2. 若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是_3. (选修2-2P32第3(1)题改编)函数f(x)=2x2-x4(x-2,2)的值域为_4. 设函数f(x)=x3- -2x+5,若对任意x-1,2,都有f(x)m,则实数m的取值范围是_5. 有一边长分别为8与5的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为_ 答案:1. 3解析:f(x)=2f(2)x-3,
3、将x=2代入得f(2)=4f(2)-3,解得f(2)=1,故f(x)=2x-3,将x=3代入得f(3)=23-3=3.2. (-2,2)解析:f(x)=3x2-3,令f(x)=0解得x=1或x=-1.结合图象分析可 解得-2a2.3. -8,1解析:f(x)=4x-4x3=4x(1+x)(1-x)0,解得x-1或0x1,即-2,-1)、(0,1)为函数的增区间,(-1,0)、(1,2为函数的减区间,而f(-2)=f(2)=-8,f(0)=0,f(-1)=f(1)=1,所以函数的最小值为-8,函数的最大值为1.4. 解析:由f(x)=3x2-x-2=0,得x1=1,x2=- .易知当x 和x1,
4、2时,f(x)0,当x 时,f(x)0,x=1是极小值点,x=- 是极大值点,f(1)= ,又f(-1)= ,f(2)=7,f(x)min=f(1)= ,m .5. 18解析:设正方形边长为x,则V=(8-2x)(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x) ,V=4(3x2-13x+10) ,由V=0得x=1,或x= (舍去)当0x1时,V0,当1x 时,V0,所以当x=1时,V有最大值,即当x=1时,容积V取最大值为18.经典例题经典例题题型一函数的最值与导数【例1】(2019陕西改编)已知函数f(x)= ,g(x)=aln x,aR.设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小
5、值时,求其最小值F(a)的解析式解:由条件知h(x)= -aln x(x0),所以h(x)= - = .当a0时,令h(x)=0,解得x=4a2,所以当0x4a2时,h(x)0,h(x)在(0,4a2)上递减,当x4a2时,h(x)0,所以x=4a2是h(x)在(0,+)上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点所以F(a)=h(4a2)=2a(1-ln 2a)当a0时,h(x)= 0,h(x)在(0,+)递增,无最小值故h(x)的最小值F(a)=2a(1-ln 2a)(a0)变式1-1已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a)若f(-1)=0,求函数y=f(x)在 上的
6、最大值和最小值. 解:f(x)=3x2+2ax+1.f(-1)=0,3-2a+1=0,即a=2,f(x)=3x2+4x+1=3 (x+1)由f(x)0,得x-1或x- ;由f(x)0,得-1x- .因而,函数f(x)的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 ,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2,在x=- 处取得极小值f = .又f = ,f(1)=6,且 f(x)在 上的最大值为f(1)=6,最小值为f = .题型二导数的实际应用【例2】一种变压器的铁芯的截面为正十字形,如图,为保证所需的磁通量,要求十字型具有4 cm2的面积,问应如何设计正十字形的宽x cm及长y cm,才能使其外接
7、圆的周长最短,这样使绕在铁芯上的漆包线最省?解:设外接圆的半径为R cm,那么 .由x2+4* x=4 ,得y= .要使外接圆的周长最小,需要R取最小值,也即R2取最小值设f(x)=R2= = x2+ + (0x2R),则f(x)= x- .令f(x)= x- =0,解得x=2或x=-2(舍去)当0x2时,f(x)0;当x2时,f(x)0.因此当x=2时,y=1+ ,此时R2最小,即R最小,则周长最小为2R= (cm)变式2-1统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y= x3- x+8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米(
8、1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?解:(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了 =2.5(小时),要耗油 *2.5=17.5(升)答:当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升(2)当速度为 x千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)= = x2+ - (0x120),h(x)= - = (0x120)令h(x)=0,得x=80,当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是减函数;当x(80,120)时,h(x)0,h(x)是增函
9、数当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25.h(x)在(0,120上只有一个极值,它是最小值答:当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升题型三导数与其他知识的综合应用【例3】已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax,g(x)=3a2ln x+b,其中a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同(1)用a表示b,并求b的最大值; (2)求证:f(x)g(x)(x0) 解:(1)设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同f(x)=x+2a,g(x)= ,由题意知f(x0)=g(x0)
10、,f(x0)=g(x0),即由x0+2a= ,得x0=a,或x0=-3a(舍去),即有b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a.令h(t)= t2-3t2ln t(t0),则h(t)=2t(1-3ln t)当t(1-3ln t)0,即0t 时,h(t)0; 当t(1-3ln t)0,即t 时,h(t)0.故h(t)在(0, )上为增函数,在( ,+)上为减函数,于是h(t)在(0,+)上的最大值为h( )= ,即b的最大值为 .(2)证明:设F(x)=f(x)-g(x)= x2+2ax-3a2ln x-b(x0),则F(x)=x+2a- = (x0)故F(x)在(0,a)上为
11、减函数,在(a,+)上为增函数于是F(x)在(0,+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故当x0时,有f(x)-g(x)0,即当x0时,f(x)g(x)链接高考链接高考1. (2019山东改编)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件知识准备:1. 要知道年利润的最大值就是函数y的最大值2. 已知函数最高次数为3次,必须用导数来求最值 答案:9解析:令导数y=-x2+810,解得0x9;令导数y=-x2+810,解得 x9,所以函数y=- x3+81x-23
12、4在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,+)上是减函数,所以在x=9处取极大值,也是最大值 2. (2019湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值知识准备:1. 根据题意,要知道不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,即当x=0时,C=8.2. 总费用的最小值可通过建立f(x)与x的关系式来求 解:(1)设隔热层厚度为x cm,由题设,每年能源消耗费用为C(x)= ,再由C(0)=8,解得k=40,故C(x)= ,而建造费用为C1(x)=6x,隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20* +6x= +6x(0x10)(2)f(x)=6- ,令f(x)=0,解得x=5或x=- (舍去)当0x5时,f(x)0,当5x10时,f(x)0,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为f(5)=30+ =70.当隔热层修建5 cm厚时,总费用达到最小值70万元