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1、1-2 1-2 圆周运动及其描述圆周运动及其描述圆周运动及其描述圆周运动及其描述1. 1. 1. 1. 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 在在一一般般圆圆周周运运动动中中，质质点点速速度度的的大大小小和和方方向向都都在在改改变变，即即存存在在加加速速度度。采采用用自自然然坐坐标标系系，可可以以更更好地理解加速度的物理意义。好地理解加速度的物理意义。 在在运运动动轨轨道道上上任任一一点点建建立立正正交交坐坐标标系系,其其一一根根坐坐标标轴轴沿沿轨轨道道切切线线方方向向,正正方方向向为为运运动动的的前前进进方方向向；一一根根沿沿轨轨道道法法线
2、线方方向向，正正方向指向轨道内凹的一侧。方向指向轨道内凹的一侧。切向单位矢量切向单位矢量法向单位矢量法向单位矢量显然，轨迹上各点处，显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方向不断变化。自然坐标轴的方向不断变化。1.1 1.1 自然坐标系自然坐标系AB 由由于于质质点点速速度度的的方方向向一一定定沿沿着着轨轨迹迹的的切切向向，因因此，自然坐标系中可将速度表示为：此，自然坐标系中可将速度表示为：由加速度的定义有由加速度的定义有切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度1.2 1.2 自然坐标系下的加速度自然坐标系下的加速度d dsPPd 切向加速度和法向加速
3、度切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度以以圆周运动圆周运动为例讨论上式中两个分项的为例讨论上式中两个分项的物理意义物理意义： 如如图图，质质点点在在dt 时时间间内内经经历历弧弧长长ds，对对应应于于角角位移位移d ，切线的方向改变，切线的方向改变d 角度。角度。作出作出dt始末时刻的始末时刻的切向单位矢切向单位矢量量，由矢量三角形法则可求出，由矢量三角形法则可求出极限情况极限情况下切向单位矢下切向单位矢量量的增的增量为量为即即 与与P点的切向正交。因此点的切向正交。因此P 于是前面的加速度表达式可写为：于是前面的加速度表达式可写为：即即圆圆周周运运动动的的加加速
4、速度度可可分分解解为为两两个正交分量：个正交分量：at称称切向加速度切向加速度，其大小表示质点，其大小表示质点速率变化速率变化的快慢；的快慢；an称称法向加速度法向加速度，其大小反映质点，其大小反映质点速度方向变化速度方向变化的的 快慢。快慢。切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 上述加速度表达式对上述加速度表达式对任何任何平面曲线运动都适用，平面曲线运动都适用，但但式中半径式中半径R 要用曲率半径要用曲率半径 代替代替。切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度由由的大小为的大小为圆周运动中加速
5、度的方向圆周运动中加速度的方向at 等于等于0, an等于等于0, 质点做什么运动？质点做什么运动？at 等于等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0, an等于等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0, an不等于不等于0 , 质点做什么运动？质点做什么运动？例题例题 讨论下列情况时，质点各作什么运动：讨论下列情况时，质点各作什么运动： 匀速直线运动匀速直线运动 匀速曲线运动匀速曲线运动 变速直线运动变速直线运动 变速曲线运动变速曲线运动2. 2. 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述o
6、xy 前前述述用用位位矢矢、速速度度、加加速速度度描描写写圆圆周周运运动动的的方方法法，称称线线量量描描述述法法；由由于于做做圆圆周周运运动动的的质质点点与与圆圆心心的的距距离离不不变变，因因此此可可用用一一个个角角度度来来确确定定其其位位置置，称称为为角角量量描描述法。述法。 A：tB：t+ t 设质点在设质点在oxy平面内绕平面内绕o点、沿半径为点、沿半径为R的轨道作的轨道作圆周运动，如图。以圆周运动，如图。以ox轴为参考方向轴为参考方向，则质点的，则质点的角位置为角位置为 角位移为角位移为 规定规定反时针为正反时针为正平均角速度为平均角速度为圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的
7、角量描述圆周运动的角量描述(瞬时瞬时)角速度为角速度为角加速度角加速度为为角角 速速 度度 的的 单位：单位： 弧度弧度/秒秒(rad s-1) ；角加速度的单位：角加速度的单位： 弧度弧度/平方秒平方秒(rad s-2) 。讨论讨论： (1) 角加速度角加速度 对对运动的影响：运动的影响： 等于零，质点作匀速等于零，质点作匀速率率圆周运动；圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。随时间变化，质点作一般的圆周运动。圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 (2) 质点作质点作匀
8、变速圆周运动匀变速圆周运动时时的角速度、角位移的角速度、角位移与角加速度的关系式为（与角加速度的关系式为（若为匀速圆周运动，则若为匀速圆周运动，则 0 0）与与匀变速直线运动匀变速直线运动的几个关系式的几个关系式比比较较知知：两两者者数数学学形形式式完完全全相相同同,说说明明用用角角量量描描述述,可可把把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述ROx3. 3. 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 圆圆周周运运动动既既可可以以用用
9、速速度度、加加速速度度描描述述，也也可可以以用用角速度角速度、角加速度角加速度描述，二者应有一定的对应关系。描述，二者应有一定的对应关系。 + 0 0+t+ tBtA 图示图示 一质点作圆周运动：一质点作圆周运动：在在 t 时时间间内内，质质点点的的角角位位移移为为 ，则则A、B间间的的有有向向线线段段与弧将满足下面的关系与弧将满足下面的关系两边同除以两边同除以 t，得到速度与角速度之间的关系：，得到速度与角速度之间的关系：线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系将将上上式式两两端端对对时时间间求求导导，得得到到切切向向加加速速度度与与角角加加速速度之间
10、的关系：度之间的关系：将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：得到法向加速度与角速度之间的关系：例例1例例2思考题思考题线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。例题例题1 1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：解：地球自转周期地球自转周期T=24 60 60 s，角速度大小为：，角速度大小为： 如图，地面上纬度为如图，地面上纬度为 的的P点，在与赤道平行的平面内点，在与赤道
11、平行的平面内作圆周运动作圆周运动, 线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系R 赤道赤道rp 其轨道的半径为其轨道的半径为P点速度的大小为点速度的大小为P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为点只有运动平面上的向心加速度，其大小为P点速度的方向与过点速度的方向与过P点运动平面上半径为点运动平面上半径为R的圆相切。的圆相切。线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系P点加速度的方向在运动平面上由点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。指向地轴。 例如例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别已知北京、上海和广州三地的纬度
12、分别是北纬是北纬39 57 、31 12 和和 23 00 ，则，则三地的三地的v 和和 an分别为：分别为：北京：北京：上海：上海：广州：广州：线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 例如例如:上海的纬度上海的纬度31 12 ，则其，则其v 和和 an分别为：分别为：上海：上海：Ro 在在t 时时刻刻，质质点点运运动动到到位位置置 s 处。处。s s解解：先先作作图图如如右右，t = 0 时时，质点位于质点位于s = 0 的的p点处。点处。线量与角量之间的关系线量与角量之
13、间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系P （1） t 时刻质点的总加速度的大小；时刻质点的总加速度的大小； （2） t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b ； （3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行时，质点沿圆周运行了多少圈。了多少圈。例题例题2 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v0、b都是正的常量。求：都是正的常量。求： （2）令）令a = b ，即，即Ros （1）t 时时刻刻切切向向加加速速度度、法法向向加加速速度度及及加加速速度度大大小小:线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关
14、系线量与角量之间的关系（3）当当a = b 时，时，t = v0/b ，由此可求得质点历经，由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为 它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Ros线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系得得判断下列说法的正、误：判断下列说法的正、误：a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。b. 平均速率等于平均速度的大小。平均速率等于平均速度的大小。d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。运动物体的速率不变时，速度可以变化。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。改变。c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成,其中其中 v1和和 v2 是初和末速度的大小。是初和末速度的大小。依据依据 平均速率平均速率 平均速度的大小平均速度的大小思考题思考题思考题思考题思考题思考题DD
