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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 第一型曲线积分 本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分.此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.二、第一型曲线积分的计算 一、第一型曲线积分的定义 返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一 第一型曲线积分的定义 上的上的连续函函 是定是定义在在 设某物体的密度函数某物体的密度函数 数当数当 是直线段时是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体应用定积分就能计算得该物体 的质量的质量.现在研究当现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线是平面或空间中某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题
2、段时物体的质量的计算问题. (2) 近似求和：在近似求和：在每一个每一个 上任取一点上任取一点 由于由于 (1) 分割：把分割：把 分成分成 个可求个可求长度的小曲度的小曲线段段 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 上的上的连续函数函数, 故当故当 的弧的弧长都很小都很小时, 每一小段每一小段 的的质量可近似地等于量可近似地等于 其中其中 为小曲线段为小曲线段 的长度的长度. 于是在整个于是在整个 上的质量就近似地等于和式上的质量就近似地等于和式 (3) 当当对的分割越来越的分割越来越细密密(即即 ) 时时, 上述和式的极限就应是该物体的质量上述和式的极限就应是该物体的质量.由上
3、面看到由上面看到, 求物质曲线段的质量求物质曲线段的质量, 与求直线段的质与求直线段的质 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页量一样量一样, 也是通过也是通过“分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限”来得来得到的到的. 下面给出这类积分的定义下面给出这类积分的定义. 个可求个可求长度的小曲度的小曲线段段 的弧的弧长长,它把它把 定定义在在 上的函数上的函数. 对曲曲线 做分割做分割 分成分成记为 分割分割 的的细度度为 在在 上任上任取取 一点一点 若有极限若有极限 为平面上可求平面上可求长度的曲度的曲线段段, 定定义1 设 为为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前
4、页且且 的的值与分割与分割 的取法无关的取法无关, 则称此称此 极极限为限为上的上的第一型曲线积分第一型曲线积分, 记作记作为空空间可求可求长曲曲线段段 , 若若 为定定义在在 上上 的函数的函数, 则可可类似地定似地定义 在空在空间曲曲线 上上 的第一型曲线积分的第一型曲线积分, 并且记作并且记作 于是前面于是前面讲到的到的质量分布在曲量分布在曲线段段 上的物体的上的物体的质 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页量可由第一型曲线积分量可由第一型曲线积分 (1) 或或 (2) 求得求得. 1. 若若在在 为 常数常数, , 则则也存在也存在, 且且2. 若曲若曲线段段 由曲由曲线
5、首尾相接而首尾相接而成成, 都存在都存在, 则则 也存在也存在, 且且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3 都存在都存在, 且在且在 则则4也存在也存在, 且且 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页5存在存在, 的弧的弧长为则存在常数存在常数 使得使得6. 第一型曲线积分的几何意义第一型曲线积分的几何意义 为L若若 为坐坐标平面平面 上的分段光滑曲上的分段光滑曲线, 上定义的连续非负函数上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义由第一型曲线的定义, 易见易见 以以 为准准线, 母母线平行于平行于 轴的柱面上截取的柱面上截取 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页
6、前页的部分的面的部分的面积就是就是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二 第一型曲线积分的计算定理定理20.1 设有光滑曲线设有光滑曲线 为定义在为定义在 上的连续函数上的连续函数, 则则 证证 由弧长公式知道由弧长公式知道, 上由上由 的弧长的弧长 的连续性与积分中值定理的连续性与积分中值定理, 有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 这里这里 则有则有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页令令现在证明现在证明 因因为复合函数复合函数 连续, 所以在所以在闭区区 间 上有界上有界, 即存在常数即存在常数 使使对一切一切 都有都有 返回返回返回
7、返回后页后页后页后页前页前页前页前页再由再由 上上连续, 所以它在所以它在 上一致连续上一致连续, 即对任给的即对任给的 使当使当 时时, 从而从而 所以所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此当在因此当在(4)式两边取极限后式两边取极限后, 即得所要证的即得所要证的(3)式式. 上有连续的导函数时上有连续的导函数时, (3)式成为式成为 再由定积分定义再由定积分定义 当曲线当曲线 由方程由方程 表示表示, 且且 在在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上有连续导函数时上有连续导函数时, (3)式成为式成为 例例1 设设 是半圆周是半圆周 试计算第一型曲线积分试
8、计算第一型曲线积分 解解 当曲线当曲线 L由方程由方程表示表示, 且且 在在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 一段一段(图20-2), 试计算第一型曲算第一型曲线积分分 解解 由参由参 仿照定理仿照定理20.1, 对于空于空间曲曲线积分分(2), 当曲当曲线 量方程量方程 表示表示时, 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其计算公式为其计算公式为: 例例3 计算算 其中其中 为球面球面 被平面被平面 所截得的圆周所截得的圆周.解解 由对称性知由对称性知 所以所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*例例4 计算计算 其中其中 为内摆线为内摆线
9、解解 由对称性知由对称性知 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中 *例例5 求求圆柱面圆柱面 被圆柱面被圆柱面 所所 而内摆线的参数方程为而内摆线的参数方程为 因此因此 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页包围部分的面积包围部分的面积 A. 解解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分, 它的面积为它的面积为 把把 平面上的平面上的 位于第一象限的四分之一圆周记为位于第一象限的四分之一圆周记为, 则被围柱面则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于为准线母线平行于 z 积分的几何意义
10、可知它的面积为积分的几何意义可知它的面积为 的那部分柱面的那部分柱面. 由第一型曲面由第一型曲面 轴的轴的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页L 的参数方程为的参数方程为:因此因此, 定定义, 线密度密度为 的的 曲线状物体对于曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为轴的转动惯量分别为 注注 由第一型曲线积分的由第一型曲线积分的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 求线密度为求线密度为 的曲线段的曲线段 对于对于 y 轴的转动惯量轴的转动惯量. 解解 和和返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1.若若 在光滑曲在光滑曲线上上连续, , 是否一定存在是否一定存在 使得使得其中其中 s 是曲线是曲线 L 的弧长的弧长.2. 设设在光滑曲线在光滑曲线 L 上连续上连续, , L满足条件满足条件:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若若满足条件满足条件: 是否有是否有 若若满足条件满足条件: 是否有是否有 其中其中3. 证明以下第一型曲面的轮换对称性证明以下第一型曲面的轮换对称性:设设在光滑曲线在光滑曲线 L上连续上连续, L 满足条件满足条件:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 若若 满足条件满足条件: 则则
