第5讲n维空间中的点集

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1、第5讲 n维空间中的点集 目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题。重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理。眷稽次杖费轰基皂蛀烂鸡征灭掘时躬撒橙触泄抗哆阵汞佛垢集咏衣酶掸微第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 一聚点、内点、边界点与Bolzano- Weirstrass定理问题问题1 1：给定给定R Rn n中一个集合中一个集合E E及点及点P P，P P与与 E E有几种可能的关系？有

2、几种可能的关系？败砰拥宴浴瘦暂翰傀窟缘罩铂镰梅投胀嫡卉睡掺芭喝锯景塌拟屉厅碎镶哼第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 定义定义1 设 ，（i）若存在 ，使 ，则称 为 的内点内点。（ii）若对任意 ， 则称 为 的边界点边界点。（iii）若对任意 ， 中总有 中除 外的 点，即 ,则称 为 聚点聚点。荷躺你渔几娶冈驾湾慰脐谭温铱睁韭闪达跳愤葫苫斥钳圣哎狰次掏十抑衅第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 不难看到，如果对任意 ， ， 则 中一定含 中无穷多个点。定义定义2 2 若 ，则 的聚点全体记作 ，称为 的导集， 称为 的闭包，

3、记为 。定理定理1 1 的充要条件是的充要条件是 为为 的一个极的一个极限点，限点， 即存在一串互异的即存在一串互异的 ，使得，使得 。 痈抉劳枕农糙瞪掸吴属涌龄馆锤亥锈捣里煎筒创娘蚁炯节刊增恼羞汝距莆第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 证明：充分性由聚点的定义不难得到。为证必要性，令 ，由于 ，故 ，取 中可能有相同者，为避免这种情况发生，不妨取 ，则存在 ，使喻隙捐炎双烽锡裕法寸正腻计坐荧晰豪蔑处峦慌毗资赊汞调黎阴捆整悟酥第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 ，再取 ，假如已取到 个互不相同的点 ，且 ，则取 ，显然径娜莽袁

4、溶略烈宛卫湾诸畔觅力敌倘它设执栋梗茧季买绩飞迭扔刷挣神砖第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 但 ，于是可取从而 互不相同。由归纳法知可找到一串互异的点 满足 。证毕。预彝札诱吨螟溺钒嫡庭蓟讳惊铲汉排钡液笼挚篙褐绵谤嘘唯代宪彤挫赠货第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 定理定理2 2 若若 ，则，则 。定理定理3 3 若若 ， 则则 烷求账你柿栅因断荒道磷裳哺浚冈腺斋眼娱耗被惯愈藕傻尊檄钒郸锈参矛第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 定理3的证明： 由于 ，由定理2立得 。现设 ，则对任意 ， ，从

5、而 含 或 中点，由定理1，知存在一串互异的点 ，使暴蛹峪摊侨堰卞贯铂次氖哗练慕影拦铰呐湘掺操绵船龋匀碗许抠许臆狼荷第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 中必有无穷多个都属于 或都属于 ，不妨设 ，则由 ，知 。如果有无穷多个在 中，则将会有 ，总之 。从而 。 综上 。证毕。白监葛永捕丽召准上浪邻劣主屈由棉涧室续笑牌妥客纱言昨绊着店毯壶论第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 * *定理定理4 4 （波尔察诺（波尔察诺- -外尔斯特拉斯（外尔斯特拉斯（Bolzano-Bolzano- Weierstrass Weierstrass

6、）定理）若）定理）若 是是 中一中一 个有界的无穷集合，则个有界的无穷集合，则 至少有至少有一个一个 聚点聚点 ，即，即 。宦卖苯亭滞梧胸焰豁赞宿隙甜斑贷惺剩蒲碧孩依飞叼头畜谜析雄品恫花铡第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 Bolzano- Weirstrass定理的证明： 为简单计，只就 的情形证之，一般情形可类似证明，只需将正方形换成 维立方体便可。因为 有界，故有常数 ，使 ，用坐标轴将 分为四个小正方形，每个小正方形边长显然为 ，由 是无穷的，显然四个小正方形中，至少有一个闭正方形含 中无穷多个点，记此小正方形为 ，再次用平行于坐标轴的直线将 分为四个

7、士瓣笨田契狭侣瞅搓讯鹿绥给蛛户碗莱享邀赶哆醉堤洞到逞广牌珊篇诀盼第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 小正方形，则每个小正方形的边长 ，同理，其中至少有一个小闭正方形含中无穷多个点，记此小 闭正方形为 。依此方式进行下去，可得一串小闭正方形 ， 的边长为 ，且含 中无穷多个点。此外还有 ，于是由闭矩形套定理知 含唯一的点，记此点为 。则因对任意 ， 是无穷集，任取 ，则 ，取 ，使 俘展腔碑屏察侯如午升壮柒誓墩廓蹈囱谁碰沈葫蒸慑淀薯节徽名练浅次吞第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集 ，则 ，取 ，则 ，假设已取了 个互异的点 ， ，则取 使显然 ，又取

8、第5讲 n维空间中的点集 胳绥段葛店胎哼铲沽载我衷便碳忌完竿损迸拾窍眯咽髓忿珠钱提旬淌削拟第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 则 是 个互异点，且 ，这说明 是 的极限点，从而 。证毕。 与聚点相对的概念是孤立点，集合 的边界点若不是 的聚点，则称为 的孤孤立立点点。当然， 的孤立点一定在 中。如果 的每一点都是孤立点，则 称 为孤立集合孤立集合。冰央壮择随昂蓖特谤脆谬甫锡棒识窟株迈酋吸桐仇瞪陕镰里旭弗碗啊涪诽第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 二开集与闭集问题问题3 3：回忆直线上的开区间与闭区间，它们：回忆直线上的开区间与

9、闭区间，它们 有何异同？有何异同？嚼桓组矮董张月岳捷掠姓椰粕鹅娱五盂庙灯沮稻枢燥蹬亦收妻赎帽酥食蛊第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 定定义义3 3 若集合 的每一个点都它的内点，则 称 为开集。定义定义4 4 若 ，则称 为闭集。按上述定义易得定理定理5 5 ， 恒为闭集。恒为闭集。 境没耀根火老颖峰婚沾吹斗咒晋屉著澈煎今蔫娩轰贡咏柞货海划备疆细瓜第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 证明：假设 ，则对 的任意邻域 ， ，任取 ，则由 知对 的任意邻域 ，评磋耙切磋划烬涩态傀捧徐脏蔑终贾汐丛谊躬认韦绚旬泪佐承寝偶崖辫耪第5讲n

10、维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 不妨设 ，则 ， 且 。任取 ，则 。这说明， 的任意邻域中均含 中除 外的点，从而 ，即 ，所以龄径萤葫咏睛甸拄崖篮桥眉攀罢挣豺沾乾粟豪坤碴狄喷晋尼胶枝恭松层坐第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 故而 是闭集。证毕。剐戴佛付敞矣姐盯院哈磕倪褂于灶恒抱袍磊仆位枪郎陀脏撵谩闰兹溯重脊第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 开集与闭集的关系： 定理定理6 6 假设假设 ，则，则 是闭集当且仅是闭集当且仅 当当 是开集。是开集。 推论推论1 1 若若 是开集，是开集， 是闭集

11、，则是闭集，则 是开集，是开集， 是闭集。是闭集。 携酶队冉绥躬瞎红欣朔继袱锣甥狰陌掷凉胀灸泊虫涡冲敷衍莹致账衔榆鹃第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 开集、闭集的性质：定理定理7 任意一簇闭集之交为闭集；任任意一簇闭集之交为闭集；任 意有限个闭集之并仍为闭集。意有限个闭集之并仍为闭集。 油累彝可拱团账祖癣昼磨圣庄拴哪椎藐虚魏裂起诗霍纷涸艰何纂新摄谓择第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 证明：不妨设 为闭集，因 ，故 ，从而 ， 所 以 是闭集。 下设 为闭集，则 ， 因此 为闭集。证毕。 龚邓旋依挚丢疚狐泅夕丑呼卡轿唆檬芽冕

12、拒猿靶手择兹讽誉揖嗣懈叉誓扫第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 定理定理8 8 任意一簇开集之并为开集，任任意一簇开集之并为开集，任 意有限个开集之交仍为开集。意有限个开集之交仍为开集。 证明：设 为开集，则 ，由定理 6，每个 是闭集，再由定理7知 是闭集，从而 是开集。彦氦渍塞自必糕忠臭俭滋且涩荧票跑邑筒曲仑各缀憨东辉砷茶陈舵矿绦李第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 又设 为开集，则 ，为有限个闭集的并，从而为闭集，所以 为开集。证毕。比挖蛛原龄失眉涸珠癣年篇拿彬谱鱼陌吼驹滴妊搅尝荫灭赠势几役促桅邱第5讲n维空间中的点集第

13、5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 应该注意到，任意多个开集之交未必是开集，任意多个闭集之并也未必是闭集，例如 前者为可数个开集之交，后者为可数个闭集之并。邀瓶逼菲衫俊恋跋谋裤戍爆摇足烈驼胀默掠穴恃祭凹休融匙梭肤丈拢朗知第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集三Borel有限覆盖定理 问题问题4 4：回忆数学分析中的有限覆盖定理及回忆数学分析中的有限覆盖定理及 其证明，该证明对其证明，该证明对R Rn n中的有界闭中的有界闭集集 是否也适用？是否也适用？第5讲 n维空间中的点集 白免擦这杯食痊判柴与凡炳盟诡埂制咆鼠暗金杖沏遁炳珐丘滴祟盼岗唱拢第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中

14、的点集第5讲 n维空间中的点集 定定理理9 9（BorelBorel有有限限覆覆盖盖定定理理）设设F F是是有有界界闭闭集集， 是是一一簇簇开开集集， F F，则则一一定定存存在在F F中中有有限限个个开开集集 ，使得，使得 F F。 证明：首先证明，一定存在证明：首先证明，一定存在 ，使，使得对任意得对任意 ， 包含在某个包含在某个 中。假若不然，中。假若不然，则对任意则对任意则对任意则对任意 ，存在，存在 ， 沸员傻闭翘粪吭惟脂妖驳帧旋制涉秃针侦祝栅蔫讽唤梁扔娃馒销捧据很震第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集使得使得 不包含任何属于不包含任何属于 的开的开集中。从而可得集中。从而可

15、得F F中一串点列中一串点列 满足满足 （任意（任意 ）。由于）。由于F F是有界集，故有收敛子列是有界集，故有收敛子列 ，设，设 ，则因，则因F F闭，故闭，故 ，而由，而由 覆盖覆盖F F知存在某个知存在某个 ，使，使 ，于是，于是由由 是开集知存是开集知存 第5讲 n维空间中的点集 眺唾鳃带冯陆碑滔裴烯专稀作酣始误蚜趁起兽领绵挛云夫醋扬衍存容蹋惑第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集第5讲 n维空间中的点集 在在 ，使，使 。注。注意到意到 因此当因此当 充分大时，必有充分大时，必有 。这与这与 的取法矛盾，所以一定有的取法矛盾，所以一定有 ，使得对任意，使得对任意 ， 包含在某包

16、含在某个个 中。中。 饭盛逻灭磨验煽叙栏僧莲氦语揭板惋忠碰注庞擎僵渗返事佛陆千败篡近殃第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集由由F F是有界的，可以用形如是有界的，可以用形如 的超平面将的超平面将F F分成有限多块，使每一小块中任分成有限多块，使每一小块中任意两点的距离都小于意两点的距离都小于 ，不妨记这些小块为，不妨记这些小块为F F1 1，F F2 2，F Fm m，任任取取 F Fi i ，则则存存在在 ，使使得得 ，注注意意到到 F Fi i ，故有，故有 。证毕。证毕。第5讲 n维空间中的点集 弧蝎霄仪泰柒习奎诗疫捧巨仗粤遇港栽宪揣羚瞄的熙伙巩值窗蛊僧房紫撵第5讲n维空间中的点集第5讲n维空间中的点集