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1、线性代数性代数（第五版）（第五版）在以往的学习中，我们接触过二在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组元、三元等简单的线性方程组. .但是，从许多实践或理论问题里但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等与方程的个数也不一定相等. .我们先讨论未知量的个数与方程我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形的个数相等的特殊情形. .在讨论这一类线性方程组时，我在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具们引入行列式这个计算工具. .3第一章第一章行列
2、式行列式内容提要内容提要1 二二阶与三与三阶行列式行列式2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数3 n 阶行列式的定行列式的定义4 对换5 行列式的性行列式的性质6 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开7 克拉默法克拉默法则行列式的概念行列式的概念. .行列式的性行列式的性质及及计算算. . 线性方程性方程组的求解的求解. . （选学内容）学内容） 行列式是线性代数行列式是线性代数的一种工具！的一种工具！学习行列式主要就学习行列式主要就是要能计算行列式是要能计算行列式的值的值. .41 二二阶与三与三阶行列式行列式我我们从最从最简单的二元的二元线性方程性方程组出出发，探，探求其求解公式，并求其
3、求解公式，并设法化法化简此公式此公式. .一、二元一、二元线性方程性方程组与二与二阶行列式行列式二元线性方程组二元线性方程组 由消元法，得由消元法，得当当时，该方程方程组有唯一解有唯一解 求解公式为求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.其求解公式为其求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”. .记号记号
4、 数表数表 表达式表达式称称为由由该数表所确定的数表所确定的二二阶行列式行列式，即，即其中，其中， 称为称为元素元素. .i 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原则：横行竖列原则：横行竖列二阶行列式的计算二阶行列式的计算 主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主即：主对角角线上两元素之上两元素之积副副对角角线上两元素之上两元素之积 对角角线法法则 二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 ( (方程方程组的系数行列式的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为例例1 求解
5、二元线性方程组求解二元线性方程组解解 因因为 所以所以 二、三二、三阶行列式行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列原则：横行竖列引引进记号号称称为三三阶行列式行列式. .主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角角线法法则 注意：注意：对角角线法法则只适用于二只适用于二阶与三与三阶行列式行列式. 实线上的三个元素的乘上的三个元素的乘积冠正号，冠正号， 虚虚线上的三个元素的乘上的三个元素的乘积冠冠负号号. .例例2 计算行列式算行列式解解按按对角角线法法则，有
6、，有方程左端方程左端解解由由 得得例例3 求解方程求解方程 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数问题问题 把把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义 把把 n 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元个元素的素的全排列全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示表示.显然显然 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n! 种不同的排法种不同的排法.所所有有6种种不不同同的的排排法法中中，只只有有一一种种排排法法（123）中中的的数数字字是是按按从从小小
7、到到大大的的自自然然顺顺序序排排列列的的，而而其其他他排排列列中中都都有有大大的的数排在小的数之前数排在小的数之前. .因因此此大大部部分分的的排排列列都都不不是是“顺顺序序”，而是而是“逆序逆序”. . 3个不同的元素一共有个不同的元素一共有3! =6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，321对于对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个
8、元素组成一个就称这两个元素组成一个逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.20定义定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.排列排列的逆序数通常的逆序数通常记为. .奇排列：奇排列：逆序数逆序数为奇数的排列奇数的排列. .偶排列：偶排列：逆序数逆序数为偶数的排列偶数的排列. .思考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：答：符合符合标准次序
9、的排列（例如：准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. .计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;例例1：求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数
10、.解：解：练习：求排列求排列 453162 的逆序数的逆序数.解：解：3 n 阶行列式的定行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入规律：律：1.1.三三阶行列式共有行列式共有6项，即，即3!项2.2.每一每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘都是位于不同行不同列的三个元素的乘积3.3.每一每一项可以写成可以写成（正（正负号除外），其中号除外），其中是是1、2、3的某个排列的某个排列. .1.1.当当是是偶排列偶排列时，对应的的项取取正号正号；2.2.当当是是奇排列奇排列时，对应的的项取取负号号. 所以，三所以，三阶行列式可以写成行列式可以写成 其中其中表示表示对1、2、3的所有排列求和的所有
11、排列求和. 二二阶行列式有行列式有类似似规律律.下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形. 二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义1. n 阶行列式共有行列式共有 n! 项2.2.每一每一项都是位于不同行不同列的都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘个元素的乘积3.3.每一每一项可以写成可以写成（正（正负号除外），其中号除外），其中是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列. .1.1.当当是是偶排列偶排列时，对应的的项取取正号正号；2.2.当当是是奇排列奇排列时，对应的的项取取负号号. 简记作作，其中其中为行列式行列式D的的( (i, j) )元元思考题：思考题： 成立成
12、立吗？吗？答：答：符号符号可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成若理解成绝对值，则；若理解成一若理解成一阶行列式，行列式，则. .注意：注意：当当n = 1时，一阶行列式时，一阶行列式|a| = a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . 例：例：写出四写出四阶行列式中含有因子行列式中含有因子的的项. 例：例：计算行列式算行列式解：解：和和解：解：其中其中 四个结论：四个结论：(1) 对角行列式角行列式 (2) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主（主对角角线下下侧元素都元素都为0 0）(4) 下三角形行列式下三角形行列式 （
13、主（主对角角线上上侧元素都元素都为0 0）思考题思考题已知已知 ，求，求 的系数的系数. 35故故 的系数为的系数为1.解解含含的的项有两有两项，即，即对应于对应于4 对换对换一、对换的定义一、对换的定义定定义 在排列中，将任意两个元素在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素，其余的元素不不动，这种作出新排列的手种作出新排列的手续叫做叫做对换将相将相邻两个元素两个元素对换，叫做，叫做相相邻对换例如例如 备注注1.1.相相邻对换是是对换的特殊情形的特殊情形. 2.2.一般的一般的对换可以通可以通过一系列的相一系列的相邻对换来来实现. 3.3.如果如果连续施行两次相同的施行两次相同的对换，那么排列
14、就，那么排列就还原了原了. m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 m 次相邻对换次相邻对换 m+1次相邻对换次相邻对换 二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系定理定理1 1对换改改变排列的奇偶性排列的奇偶性. 证明明先考先考虑相相邻对换的情形的情形注意到除注意到除外，其它元素的逆序数不改外，其它元素的逆序数不改变. .当当时，. 当当时，. 因此相因此相邻对换改改变排列的奇偶性排列的奇偶性. 既然相既然相邻对换改改变排列的奇偶性，那么排列的奇偶性，那么2m+1次相次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改，排列的奇偶
15、性改变. .推推论奇排列奇排列变成成标准排列的准排列的对换次数次数为奇数奇数， 偶排列偶排列变成成标准排列的准排列的对换次数次数为偶数偶数. . 由定理由定理1 1知，知，对换的次数就是排列奇偶性的的次数就是排列奇偶性的变化次数，化次数，而而标准排列是偶排列准排列是偶排列( (逆序数逆序数为零零) )，因此可知推，因此可知推论成立成立. .证明明 因因为数的乘法是可以交数的乘法是可以交换的，的，所以所以 n 个元素相乘的次个元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交每作一次交换，元素的行，元素的行标与列与列标所成的排列所成的排列与与都同都同时作一次作一次对换，即，即与与同同时
16、改改变奇偶性，但是奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性两个排列的逆序数之和的奇偶性不不变. 于是于是与与同同时为奇数或同奇数或同时为偶数偶数. 即即是偶数是偶数. 因因为对换改改变排列的奇偶性，排列的奇偶性，是奇数，是奇数，也是奇数也是奇数. 设对换前行前行标排列的逆序数排列的逆序数为 ，列，列标排列的逆序数排列的逆序数为 . 所以所以是偶数，是偶数， 因此，交因此，交换中任意两个元素的位置后，其中任意两个元素的位置后，其行行标排列与列排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不排列的逆序数之和的奇偶性不变. .设经过一次一次对换后行后行标排列的逆序数排列的逆序数为列列标排列的逆序数排列的逆序数
17、为经过一次一次对换是如此，是如此，经过多次多次对换还是如此是如此. 所以，在所以，在一系列一系列对换之后有之后有定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 例例1 试判断试判断和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项. 行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.例例2 用行列式的定义计算用行列式的定义计算 解解1. 对换改变排列奇偶性对换改变排列奇偶性2. 行列式的三种表示方法行列式的三
18、种表示方法三、小结三、小结5 行列式的性行列式的性质一、行列式的性一、行列式的性质行列式行列式称称为行列式行列式的的转置行列式置行列式. 若若记，则.记记性性质1 行列式与它的行列式与它的转置行列式相等置行列式相等, ,即即.性性质1 行列式与它的行列式与它的转置行列式相等置行列式相等. .证明明根据行列式的定根据行列式的定义，有，有若若记，则行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性行列式的性质凡是凡是对行行成立的成立的对列也同列也同样成立成立. .性性质2 互互换行列式的两行（列）行列式的两行（列）, ,行列式行列式变号号. .验证于是于是推推论如果行列式有两
19、行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式此行列式为零零. .证明明互互换相同的两行，有相同的两行，有，所以，所以. 备注：交注：交换第第 行（列）和第行（列）和第 行（列），行（列），记作作. .性性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数，等于用数，等于用数乘以此行列式乘以此行列式. .验证我我们以以三三阶行列式行列式为例例. 记 根据三根据三阶行列式的行列式的对角角线法法则，有，有备注：第注：第 行（列）乘以行（列）乘以，记作作. .推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中
20、所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面备注：第注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作作. .验证我我们以以4阶行列式行列式为例例. 性性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列此行列式式为零零性性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,例如：例如：则则验证我我们以以三三阶行列式行列式为例例. 性性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不的元素上
21、去，行列式不变则则验证我我们以以三三阶行列式行列式为例例. 记 备注：以数注：以数乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，行（列）上，记作作. .例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值解解例例2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得例例3 设设 证明证明 证明证明对作运算作运算，把，把化化为下三角形行列式下三角形行列式 设为设为对作运算作运算，把，把化化为下三角形行列式下三角形行列式 设为设为对对 D 的前的前
22、 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式故故 (行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, 凡是凡是对行成立的性行成立的性质对列也同列也同样成立成立). 计算行列式常用方法：算行列式常用方法：(1)利用定利用定义;(2)利用性利用性质把行列式化把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列上三角形行列式，从而算得行列式的式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6 6个性个性质6 行列式按行(列)展开对角角线法法则只适用于二只适用于二阶与三与三阶行列式行列式. .本本节主要考主要考虑如何用低如何用低阶行列式来表示高行
23、列式来表示高阶行列式行列式. .一、引言结论三三阶行列式可以用二行列式可以用二阶行列式表示行列式表示. .思考思考题任意一个行列式是否都可以用任意一个行列式是否都可以用较低低阶的行列式表示？的行列式表示？例如例如 把把称称为元素元素的的代数余子式代数余子式在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 . 结论因因为行行标和列和列标可唯一可唯一标识行列式的元素，所以行列行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式着一个
24、余子式和一个代数余子式. .引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘积，即积，即 例如例如 即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形下面再讨论一般情形.分析分析 当当位于第位于第1 1行第行第1 1列列时, ,（根据（根据P.14例例10的结论）的结论）我我们以以4阶行列式行列式为例例. 思考思考题：能否以能否以代替上述两次行代替上述两次行变换？思考思考题：能否以能否以代替上述两次行代替上述两次行变换？答：答：不能不能. . 被调换到第被调换到第1行，第
25、行，第1列列二、行列式按行（列）展开法则定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即同理可得同理可得例例（P.12例例7续）续） 证明明用数学用数学归纳法法例例证明范德蒙德明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式所以所以n=2时时(1)式成立式成立.假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有 n1阶范德蒙德行列式阶
26、范德蒙德行列式推推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘元素的代数余子式乘积之和等于零，即之和等于零，即分析分析我我们以以3阶行列式行列式为例例. 把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则 定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即推推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘元素的代数余子式乘积之和等于零，即之和等于零，即综上所述，有
27、上所述，有同理可得同理可得例例计算行列式算行列式解解例例设, 的的元的余子式和元的余子式和代数余子式依次代数余子式依次记作作和和，求，求分析分析利用利用及及解解7 克拉默法则二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 ( (方程方程组的系数行列式的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中是把系数行列式是把系数行列式中第中第列的元素用方程列的元素用方程组右端的常右端的常数数项代替后所得到的代替后所得到的阶行列式，即行列式，即那么那么线性方程性方程组(1)有解并且解
28、是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含着三个定理中包含着三个结论：方程方程组有解；有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式( (2) )给出出. .这三个三个结论是有是有联系的系的. 应该注意，注意，该定理所定理所讨论的只是系的只是系数行列式不数行列式不为零的方程零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并将在第三章的一般情形中一并讨论. .关于克拉默法则的等价命题定理定理4 如果如果线性方程性方程组( (1) )的系数行列式不等于零，的系数行列式
29、不等于零，则该线性方程性方程组一定有解一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . .定理定理4 如果如果线性方程性方程组无解或有两个不同的解，无解或有两个不同的解，则它的系它的系数行列式必数行列式必为零零. .设设例例解解线性方程性方程组解解线性方程性方程组常数常数项全全为零的零的线性方程性方程组称称为齐次次线性方程性方程组，否，否则称称为非非齐次次线性方程性方程组. .齐次次线性方程性方程组总是有解的，因是有解的，因为(0,0, 0)就是一个解，就是一个解，称称为零解零解. 因此，因此，齐次次线性方程性方程组一定有零解，但不一定一定有零解，但不一定有非零解有非零解. 我我们关心的关心的问
30、题是，是，齐次次线性方程性方程组除零解以外是否存除零解以外是否存在着非零解在着非零解. 齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理5 如果如果齐次次线性方程性方程组的系数行列式的系数行列式，则齐次次线性方程性方程组只有零解，没有非零解只有零解，没有非零解. .定理定理5 如果如果齐次次线性方程性方程组有非零解有非零解, ,则它的系数行列式必它的系数行列式必为零零. 备注注1.1.这两个两个结论说明系数行列式等于零是明系数行列式等于零是齐次次线性方程性方程组有非有非零解的必要条件零解的必要条件. 2.2.在第三章在第三章还将将证明明这个条件也是充分的个条件也是充分的. 即：即：齐次
31、次线性方程性方程组有非零解有非零解系数行列式等于零系数行列式等于零练习题：问取何取何值时，齐次方程次方程组有非零解？有非零解？解解如果如果齐次方程次方程组有非零解，有非零解，则必有必有. .所以所以时齐次方程次方程组有非零解有非零解. .思考题思考题当当线性方程性方程组的系数行列式的系数行列式为零零时，能否用克拉默法，能否用克拉默法则解方程解方程组？为什么？此什么？此时方程方程组的解的解为何？何？答：当答：当线性方程性方程组的系数行列式的系数行列式为零零时，不能用克拉默法，不能用克拉默法则解方程解方程组，因，因为此此时方程方程组的解的解为无解或有无无解或有无穷多解多解. .1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件用克拉默法则解线性方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数；方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系和已知的系数以及常数项之间的关系它主要适用于它主要适用于理论推导理论推导三、小结
