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1、 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论），我们除了讨论X与与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和和Y之间之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数第三节 协方差及相关系数教学内容 协方差及相关系数教学重点 协方差及相关系数的计算 量量E X-E(X)Y-E(Y) 称为随机变量称为随机变量X和和Y的协方差的协方差,记为记为Cov(X,Y) ，即即 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) +
2、 Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)一、协方差一、协方差2.简单性质简单性质 Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数是常数Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) 1.定义定义 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，可见，若若X 与与 Y 独立独立， Cov(X,Y)= 0 .3. 计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E
3、(X)E(Y)即即D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)4. 随机变量随机变量和的方差与协方差的关系和的方差与协方差的关系特别地特别地 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间相互间的关系，但它还受的关系，但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响. 例例如：如：Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了了相关系数相关系数 .二、相关系数二、相关系数为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的相关系数的相关系数 .定义定义: 设设D(X)0,
4、D(Y)0,称称在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .考虑以考虑以X的线性函数的线性函数a+bX来近似表示来近似表示Y，以均方误差以均方误差e =EY-(a+bX)2来衡量以来衡量以 a +b X 近似表示近似表示Y 的好坏程度的好坏程度 :e 值越小表示值越小表示 a +b X 与与 Y 的近似程度越好的近似程度越好. 用微积分中求极值的方法，求出使用微积分中求极值的方法，求出使e 达到最小时的达到最小时的 a,b相关系数刻划了相关系数刻划了X和和Y间间“线性相关线性相关”的紧密程度的量的紧密程度的量. =E(Y2)+b2E(X2)+a2- 2bE(XY)+2abE(X) - 2a
5、E(Y)e =EY-(a+bX)2 解得解得这样求出的这样求出的最佳逼近为最佳逼近为L(X)=a0+b0X 这样求出的最佳逼近为这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是这一逼近的剩余是若若0| |1,| | 的值越接近于的值越接近于1, Y 与与 X 的线性相关程度越高的线性相关程度越高;| | 的值越接近于的值越接近于0, Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱.E(Y-L(X)2= D(Y)(1- )方差的方差的非负性非负性Y与与X有严格线性关系有严格线性关系;若若可见可见,，Cov(X,|Y)=0，事实上，事实上，X的密度函数的密度函数例例1 设设X服从服从(-1
6、/2, 1/2)内的均匀分布内的均匀分布 , 而而Y=cos X,不难求得不难求得3 若若 =0， Y 与与 X 无线性关系无线性关系;X与与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。即即X和和Y不相关不相关 .但但Y与与X有严格的函数关系有严格的函数关系.3 不相关与独立性不相关与独立性若若 X 与与 Y 独立，则独立，则X与与Y不相关，不相关，但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.但对下述情形，独立与不相关等价但对下述情形，独立与不相关等价若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关X，Y独立独立 =0X，Y不相关。不相关。X与Y以概率1存在线性关系四、小结四、小结 这一节我们介绍了协方差、相关系数、这一节我们介绍了协方差、相关系数、相关系数是刻划两个变量间相关系数是刻划两个变量间线性相关程度线性相关程度的一个重要的一个重要的数字特征的数字特征.注意独立与不相关并不是等价的注意独立与不相关并不是等价的.当当(X,Y) 服从二维正态分布时，有服从二维正态分布时，有X 与与 Y 独立独立X 与与 Y 不相关不相关
