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1、2.2.3待定系数法第二章2.2一次函数和二次函数学习目标1.了解待定系数法的概念,会用待定系数法求一元一次函数、一元二次函数及反比例函数解析式.2.掌握待定系数法的特征,会用待定系数法求解综合问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学问题导学思考1知识点待定系数法若一个正比例函数ykx(k0)过点(2,3).如何求这个函数解析式?答案答案答案函数ykx过点(2,3),思考2在思考1中,求解析式的方法有什么特点?答案答答案案先设出(给出)函数解析式的一般形式,再根据已知条件确定解析式中待确定的系数.1.待定系数法定义一般地,在求一个函数时,如果知道 ,先把所求函数写为 ,其中系数待定,然后
2、再根据 求出这些待定系数.这种通过求 来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.梳理梳理这个函数的一般形式一般形式题设条件待定系数2.几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是 .(2)一次函数的一般形式是.(3)反比例函数的一般形式是 .(4)二次函数有三种常见形式,求解析式时,要根据具体情况,设出适当的形式:一般式,这是二次函数的标准形式;顶点式,其中 是抛物线的顶点;知两根可设为ya(xx1)(xx2)(a0),其中x1、x2是方程ax2bxc0(a0)的两个实根,即抛物线与x轴两交点的横坐标.ykx(k0,k是常数)ykxb(k0,k,b是常数)y (k0,k是常数)yax2
3、bxc(a0)ya(xh)2k(a0)(h,k)题型探究题型探究命题角度命题角度1待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式例例1已知f(x)是一次函数,且有2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1,求这个函数的解析式.解答类型一待定系数法求解析式解解设所求的一次函数是f(x)kxb(k0),其中k,b待定. 解此方程组,得k3,b2.因此所求的函数是y3x2.在函数关系式中有几个独立的系数,需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.反思与感悟跟跟踪踪训训练练1已知函数f(x)是一次函数,且有ff(x)9x8,求此一次函数的解析式.解答解解设该一次函数是yaxb,由题意得ff(
4、x)a(axb)ba2xabb9x8.所以一次函数为f(x)3x2或f(x)3x4.命题角度命题角度2待定系数法求二次函数解析式待定系数法求二次函数解析式例例2二次函数的顶点坐标是(2,3),且经过点(3,1),求这个二次函数的解析式.解答引申探究引申探究若二次函数f(x)满足f(2)f(4)0,且过点(0,6),求这个二次函数的最值.解答解解设二次函数的两根式为ya(x2)(x4),6a(2)(4),二次函数常见的表达式有三种:一般式、顶点式、两根式,选择合适的表达式能起到事半功倍的效果.(1)一般地,若已知函数经过三点,常设函数的一般式;(2)若题目中出现顶点坐标、最大值、对称轴等信息时,
5、我们可考虑函数的顶点式;(3)若题目中给出函数与x轴的交点或二次方程ax2bxc0的两根,可设函数的两根式.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2求下列二次函数的解析式.(1)已知yf(x)是二次函数,且图象过点(2,20),(1,2),(3,0);解答解解设yax2bxc(a0),yx25x6.(2)已知二次函数的顶点为(1,2),且图象经过点(2,25);解答解解设ya(x1)22,25a322,a3,y3x26x1.(3)已知二次函数与x轴交点为(2,0),(3,0),且函数图象经过点(1,8).解答解解设ya(x2)(x3),a1(4)8,a2,y2x22x12.例例3如图,函数的图象由两条射线
6、及抛物线的一部分组成,求函数的解析式,并求该函数的值域.类型二待定系数法的综合应用解答由函数图象求函数的解析式,关键观察函数图象的形状,分析图象由哪几种函数组成,然后根据不同区间上的函数类型,利用待定系数法求出相应解析式.反思与感悟(1)f(x)的解析式;解答4x1x21,f(x2)f(x1)0,即f(x1)f(x2),证明当堂训练当堂训练1.已知一个正比例函数的图象过点(2,8),则这个函数的解析式为A.y4x B.y4xC.y D.y答案2233445511解析解析解析设ykx,则82k,k4,y4x.2.已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4),则这个函数的解析式为答案223344
7、5511解析3.已知二次函数yx2bxc的图象经过(1,0),(2,5)两点,则二次函数的解析式为A.yx22x3B.yx22x3C.yx22x3D.yx22x6答案2233445511解析由解得b2,c3.4.二次函数的图象过原点,且顶点为(1,2),那么二次函数的解析式为_.答案2233445511解析解析解析设ya(x1)22.ya(x1)22过原点,0a2,a2.y2x24x.y2x24x5.如图是二次函数yf(x)的图象,若x2,1,则函数f(x)的值域为_.答案解析解析解析依题意设函数f(x)a(x3)(x1),又函数f(x)的图象过点(0,3),代入得a1,f(x)x22x3.结合题中图形易知函数f(x)在2,1上的最大值为f(1)4.又f(2)3,f(1)0,函数f(x)在2,1上的最小值为0,当x2,1时,函数的值域为0,4.22334455110,4规律与方法1.求待定系数的方法列方程组(1)利用对应系数相等列方程(组);(2)由恒等的概念用数值代入法列方程(组);(3)利用定义本身的属性列方程(组).2.待定系数法的适用条件要判定一个问题是否能用待定系数法求解,主要看所求的数学问题是否具有确定的数学表达式.例如,求具体函数解析式时即可用待定系数法求解.本课结束