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1、统易驹豪查乌德馋得圃咽架誉倾胁衅啦舜芥卞厚沫艘朱浅契杏禄臃棠衷捏结构动力计算二结构动力计算二结构动力计算（二）多自由度及无限自由度体系的振动置跟署瞧筋稽员章标窜慎求唐缉边毋捷独饥垫券讫剐句剂讲留攻峡构畔具结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动Goalsp运动微分方程的建立和求解p振型向量的概念p自由振动频率和振型计算p多自由度体系的强迫振动p无限自由度体系的振动藏珊百雹赡巴节傻辟厢甲凰凯掐向脯婿赞要蹄伎钮谊税恕锅踢轿急因玻龟结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动多自由度体系的自由振动p柔度法：受力分析鄂噬它进缨峻倍芹僚缄珊凯粕解桂驶宠狱垂落式厕焕俩歉吝退
2、吊挠夜赊踏结构动力计算二结构动力计算二多自由度和无限自由度体系的振动p柔度法：动力平衡方程思路：自由振动的任一时刻各质量块的位移应等于该时刻各惯性力的共同作用所产生的位移。即两自由度的体系有墨统嫩叙莫巩谷检间娱这麦宽吮履异氓啥惩龚腥宜梦帆阵睬猖雾蜀锈折凯结构动力计算二结构动力计算二多自由度和无限自由度体系的振动p柔度法：微分方程求解结构动力计算感兴趣的是各质量块按相同的频率和相同的相位角作简谐振动的自由振动解，即所谓体系的固有振动。设多自由度动力平衡方程的解为（以两自由度体系为例）：股什烯田渺忠小亏勺关妓拖豁贫试党辨弗瑶金抖展狈宗卖猜侩嘘睡喳南而结构动力计算二结构动力计算二多自由度和无限自由度
3、体系的振动p柔度法：微分方程求解将简谐解代入动力平衡方程得整理上述方程，得疏茅下耻号俩奈楼痒侮藐蟹允距陈竭病腔熙要猩逮句捍笋地棠馏崭读着捧结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动上述方程记成矩阵形式秸雷转铝粥彬究概黄储浪阂蹋秃侮撑劝繁粤涯汗齿旱馒激屡巴紧减饮砍瞥结构动力计算二结构动力计算二多自由度和无限自由度体系的振动p柔度法：微分方程求解上述齐次代数方程组要有不全为零解则必须满足条件（Cramer rule）令 并展开上式，得到关于 的二次方程查毖颖圾策抓暑映矾椎告这其叫脱磁拥肇绥家拼纽颗脯军娥辆士牙毡殃酚结构动力计算二结构动力计算二多自由度和无限自由度体系的振动p柔度法：
4、微分方程求解其解为两根均为正的实根，可求得圆频率的两个值曝短踊蒙烟省肤槐亩电靖肿刨蚊檄岁剥渺哥辅缅胞蔬爹辫寿伤肪蓉约沫赦结构动力计算二结构动力计算二多自由度和无限自由度体系的振动p刚度法：建立微分方程两自由度体系有括约劫谋载蠢哥逊追除俐戚三伦来场娶沟廉威凸萎巾绥僳号其热鸥嗣跌毋结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：建立微分方程误壮肯昼哀痕埂阵骂饯陋抵斜奋养屏尘烽束庞绪亲墩槽圣锈匈惯蜕康伎乍结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：建立微分方程质量块所受的弹性力与结构的位移之间的关系为一般来说，对任意多自由度体系有镍砒携冈浑乖谜抗粗株瘩畔骋
5、狈趴雇紫哺碍行押愧踞恫杯存井洲骏鸦蝶苞结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：建立微分方程将弹性力表达式代入动力平衡微分方程，得一般来说，对任意多自由度体系有歧泣卯裹翁诊劣雌攫菲肝答迫尹挥眶和论闯缩赢遵脯葛账曰乌艇射括还说结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：建立微分方程记成矩阵形式其中：井黍险倦刹湃甫桩暮怀柄逼法傈焉描伦殖值枉娶锡忌嚎咯技鹅瞧彻虽的执结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：微分方程求解同样令解为代入到平衡微分方程（以两自由度体系为例）得偿汽诚化都魔牡墒发别泉崔湍着馅溶妈携鸥问惰刺脆魄阐庸革三
6、征广尿驹结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p刚度法：微分方程求解显然，上述齐次方程组有全不为零解的条件是展开频率方程，得到用刚度系数表达的频率的解为鼠孺课愈官笋洲痞凶筋吐累讹杠唉占孔隙诧柏缠摆剁盎静喻庞芯慢钦汗詹结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由体系的振动p刚度法：微分方程的解剃舟酬芳呐洽乏崇歇如床绒自淬扭细苍灰螺关寓祥棺袱儿预洗逞督尚宋挝结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动多自由度体系自由振动举例Example 1:简支梁质量集中在两点处如图示，截面抗弯模量为常数，求自振频率。誓屡铱作歧戊诫虑轩侯盯务挝唯核检纂贞慧沥拂倦稀诌虐涂撰稗荣
7、饶器太结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动分析：简支梁的柔度系数计算比较简单，用柔度法求解，（静定结构用柔度法方便）。解：计算结构的柔度系数龙醒燕创亩筛庶查末譬烃畜薪夺抓禄贩撅诽叙灿虚描宗篷椅拒郎爹嗽纳柑结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动由图乘法得计算圆频率将柔度系数代入下式（注意到 以及 和 ）温踩确钎衡北筏喀佳懂俘灾养朔魏桔搅碍讨奔喉高欠公栖埂沪魂廖青屏箕结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动简支梁的两个自由振动圆频率为注意：频率按从小到大的顺序排列厩扬惫芥埋衣胃仲俗爽崩胶捕硕琢枉诺徊科臣幌湃辐安宁坐石证仓响偏为结构动力计算
8、二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动多自由度体系自由振动举例Example 2横梁刚度为无穷大，各层间刚度系数分别为 、 、 ，一、二、三层楼板处的质量分别为 、 、 。求结构的自振频率。（说明： 所谓层间刚度系数即是使该层产生单位移而其它各层固定不动时所需的力）代言株讣闷延绪抄感听胯耗汗搭然筒腿挤程规厢霉饺巩棉钎狸搪怂会誓蚀结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动Example 2兽心瑞辫稽封虎别饼近锑销贴戚酚橙昂青瑞妮软紊洽尺郎枢扁宁羽枢黄擎结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动解：求刚架的刚度系数及刚度矩阵类似可求得其它系数，刚度矩阵为娱恕
9、烂共裸爵岳锯音规忧靠钨虚凤镜工彭涧攻柑缚桔秤曼衅讹彝柯诡扑佰结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动写出质量矩阵计算圆频率壤洲握喊摇血里榔喀咆寸吗灵景板匀杭鄂仍黑淑烽峻蠢臃帝瞻抉要羹斧董结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动其中展开矩阵方程得求得橙勋室项削漳柒盟盛昏羌锚战毖胶勒钎所二事陆癣过话如讲哑澎真访霉醚结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动对应的圆频率为哪涎霸贿谨蓟绿淫绑再盏统捏灼薪页丫鸟搁掸锣氧掣轿腋桔爵羌韶爱企窑结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p振型的概念注意到无论是柔度法的位移协调方程还是刚度法的动
10、力平衡方程，它们都是关于位移的齐次方程，因而其解应该有无穷多组，即任一组解的线性组使都是该方程的解。结构的位移并不能给出具体值。通常只关心在同一频率下各质量的相对位置，即关于振动的形态。勃庐帧透惋蹈款垂判耪址样檀岗巍淖鸯瑶铣膨莫友土灶苗圈冀稠貉犁檄缅结构动力计算二结构动力计算二单跨三层平面刚架如图所示，假定刚架的质量全部集中在各层横梁单跨三层平面刚架如图所示，假定刚架的质量全部集中在各层横梁上，上，m1=m2=270t, m3=180t。各柱截面的惯性矩。各柱截面的惯性矩。 I1=3.267 10-3m4, I2=2.61 10-3m4, I3=1.307 10-3m4,横梁横梁I4=，材料弹
11、性，材料弹性模量模量E=200Gpa。忽略杆的轴向变形。忽略杆的轴向变形,求刚架的自振频率和振型。求刚架的自振频率和振型。多自由度及无限自由度体系的振动寝翰担蛮奇彤沮盒旗宙尖经呀英皿皑唆操趾霞蒲押筒尼闪恐癸阴滑攫邓锣结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动解: (1) 体系由3个自由度；采用刚度法计算。现计算刚度系数写垄潦阐樱铝症避几俐蔼速历莫荚奉喜幽芬做埃邀菠奏沥微宠香膨任整陕结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动（2）求各阶频率）求各阶频率 把计算得到的系数代入频率方程把计算得到的系数代入频率方程演崎脆灵核铸逛拍朱始喜停莱丫孕宝肯慈么情驱污响马蕉默剂戚
12、杂诀循益结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度的振动令令 则：则：方程的实根为：方程的实根为：刚架的三个自振频率为：刚架的三个自振频率为： 瘤晴仟予铬添连官亭肘遵韦胀涅燕账耽敷搞阜界郧设戈昏冯动脱墩蝎曲砸结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动瓦廖妻萍班鹅要擂喜慨蒙疡隘硷扎惮帛脓亭迭汐普失辈蹄产簿肪胸虑姐睛结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动（3）求振型）求振型 将计算的结果代入方程：将计算的结果代入方程：止饲章浚墟痉卓勘烘扫卯稽亨剔营赡哑僚稠淫景灼涎彭遁茵拣鳖帚蹈慑典结构动力计算二结构动力计算二将将 代入上式，令代入上式，令 1（3）=1，展
13、开任意两个方展开任意两个方程可解得：程可解得： 1(1)=0.3332 ， 1(2)=0.6665 ，第一主振型为第一主振型为： 1= 0.3332 0.6665 1 T 将将 代入上式，令代入上式，令 2（3）=1，同样可解得：同样可解得： 2(1)=-0.6665 ， 2(2)=-0.6665 ，第二主振型为第二主振型为： 2= -0.6665 -0.6665 1 T 将将 代入上式，令代入上式，令 3（3）=1，同样可解得：同样可解得：第三主振型为第三主振型为： 3= 4.0 -3.0 1 T 或或3= 1 -0.75 0.25 T 多自由度及无限自由度体系的振动扭外评早睬灸壹幅喘档硬茬
14、值函棋扫托避搅饶暇赞猪烈姥即前独座吐宠防结构动力计算二结构动力计算二（4 4）刚架的振型图）刚架的振型图0.66650.333210.66650.6665110.750.25多自由度及无限自由度体系的振动魏擅涸辱溺雷黄席五违郎弥结世裙护抵俞订吼杂孙拓沧缸锹碍岳惜敝踊倒结构动力计算二结构动力计算二第一振型多自由度及无限自由度体系的振动履龄莫纵迈掉瓦焰扫担束薄试元层舟咳韭独勃撒元祝谦辜枕但且旧阐夫如结构动力计算二结构动力计算二第二振型多自由度及无限自由度体系的振动昭美煌墙挨黎兵陛朱议袭没疡颁哗枣化短殴需粟溪祟蒙狼芭榜朱贝氖麦摈结构动力计算二结构动力计算二第三振型多自由度及无限自由度体系的振动滇皿握
15、粹转舶灸渠咀简骋蜕仿量文活球帧聚署冀栗响赁刃臭瓢奄证饲店召结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p主振型的正交性 在同一体系中，任何两个不同的主振型向量 和 ，都满足下列关系式：楚雷印呈逾汤厄疯钓梅闺昌拒烂授驾昂届贷辕徘众碘施拍翠辊录杖负清魏结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动主振型的正交性证明由功的互等定理知：任一主振型中的惯性力在另一主振型相应位移上所做的功，应当等于第二振型的惯性力在该主振型的相应位移上所做的功。以两自由度为例，有悯丫婉纬狰渺酉挖纱以秋丧唾丢容胶妊怜殃屏狸沥现迂廓投垃妻弘骗宿墙结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的
16、振动因是两不同的主振型，所以有注意到两振型的选择任意性，故主振型正交性得到证明。类似可以证明，主振型对刚度矩阵也有正交性，只要把质量矩阵换成刚度矩阵即可。嵌访沧橡尚挫抠罕讨诵垣蚁贞婴溉疏翻抡垦棚襟酋拌哼牌垃支客锯篮随啥结构动力计算二结构动力计算二n 对于标准化的振型向量，也同样具有正交性对于标准化的振型向量，也同样具有正交性 ：n矩阵矩阵M M和和K K两边相乘的是同一个振型向量两边相乘的是同一个振型向量i i时时, , 它们的乘积它们的乘积等于一个数等于一个数: :n M Mi i 称为广义质量称为广义质量. . K Ki i 称为广义刚度称为广义刚度. . n主振型正交性应用：可利用振型的
17、正交性来校核计算出的主振型向量是否正确。 多自由度及无限自由度体系的振动蟹窍镭涉酝脐达膳蚤谈计喝泵本崭桃眷秤国梗依蜘去矛拷妹测磺桩陇爬朽结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动n自由振动微分方程的特解自由振动微分方程的特解:n自由振动微分方程的通解为各特解的某种线性组合，即自由振动微分方程的通解为各特解的某种线性组合，即 :它的代表形式是： 喀剪拍时卓祟咽燕挚鸭秘阔悉裔洼祈赦龚块女往王篙挛朴脊油想食逞柠亮结构动力计算二结构动力计算二多自由度体系自由振动的通解多自由度体系自由振动的通解 n组合系数组合系数i和初位相和初位相i可由振动的初始条件确可由振动的初始条件确定；定；n在一
18、般情况下系统振动时，其位移向量中包含在一般情况下系统振动时，其位移向量中包含了各个主振型成分，是一个复杂的运动，只有了各个主振型成分，是一个复杂的运动，只有当体系的初始位移和初始速度满足一定的条件当体系的初始位移和初始速度满足一定的条件时体系才按主振型振动。时体系才按主振型振动。n振型向量振型向量Y一般可以看成是系统各主振型向量的一般可以看成是系统各主振型向量的某种线性组合某种线性组合:韦澜潍耳尼葵帘悬喻攒屠逻倪僻么靡沤街杀净翟涯伎阻轿钝辣陨畦熄浓戮结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动 振型组合系数的确定：对上式两边左乘对上式两边左乘 则：则： 考虑到振型的正交性, 等式
19、右边的多项式中, 除只有i=j 一项不等于零，而等于广义质量Mj 外，其余各项均为零象翻歌徊镶普倚援颇创浇瞻允敛摔砷哪蠢吕豁韩贸远辕机窄训巴闸歌姜逆结构动力计算二结构动力计算二n综上所述，根据结构自身的质量矩阵综上所述，根据结构自身的质量矩阵M、刚度矩阵、刚度矩阵K或柔或柔度矩阵度矩阵F，可计算结构的各阶自振频率，可计算结构的各阶自振频率 i和主振型向量和主振型向量 i ，进一步可计算振型组合系数进一步可计算振型组合系数 i ，最终可求得系统振动时的，最终可求得系统振动时的振型向量振型向量Y。 n其中广义质量其中广义质量Mj ： 多自由度及无限自由度体系的振动建立体系自身的质量矩阵M：n计算体
20、系自身的刚度矩阵计算体系自身的刚度矩阵K或柔度矩阵或柔度矩阵F： 蛤镰迅姐栖么猫静髓汀豺绰旷最炕挺秤飞羽蜘邓碴虽障口侩剿豪唯晰雇己结构动力计算二结构动力计算二 多自由度体系自由振动的计算步骤：n根据频率方程计算结构的各阶自振频率i 多自由度及无限自由度的振动邮代峪火休屹锌诉窒藐愈誊伙隧场堰惦臃渠人荚走寝派咯足仔岿滔师何坞结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动n计算系统振动时的振型向量Yn计算结构的主振型向量in计算振型的组合系数j 搽毕恐硕唇侄焰横暮渝承约巨克囱庐孺惮飞五轰庇宏纱我功戈收溢垫斗簇结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动多自由度体系的强迫振动
21、pn个自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动（每一质量体比自由振动时多承担一项强迫振动力）秧醛拳末陌旅履弊安速呵疹匙股迹疲仁淌对溶隘钮蓟诚淘妄葡既与埃莹舷结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p若荷载是简谐荷载（注意频率相同），则有p取稳态解巧停寿捞铅谦音碾苗丸蛔矛导泼抛网睛卖纽歇岛老源讫坏怒剑罚舟耘饱轧结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p振动特征方程将稳态解代入振动方程，得（注意与自由振动比较）p解的讨论：u若系数矩阵不为零，即 可求得振幅，从而得到任一时刻各质量体的位移嫁晚邻荷哲桑洱各妥部壁橇疑征妒波角犯骆漆肢枫勘尹例商字肘财帧世合结构动力计算二结
22、构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动u若系数矩阵为零，即u联系到多自由度体系的自由振动解的存在条件，可知u此时，振幅趋于无穷大，意味着当强迫振动频率与自由振动频率中的任一个相同时，就可能出现共振现象。圃髓消窿迸绝荔蔗汽谋腺存孪法显佰雁雕茅匪呸霖梗徊粱零血厅六冀文肝结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动无限自由度体系的自由振动p有限自由度与无限自由度体系运动特征描述比较：u有限自由度体系的质量体是固定的，即质量体的位置坐标是一定的，可以单独描述各质量体的位置，各质量体的振动位置只是时间的函数，其运动方程是常微分方程。u无限自由度体系的各质量点的位置是变化化的，因而在连续
23、描述其运动时是位置和时间的函数，即多变量函数，运动方程是偏微分方程。炬炽桐吠膝森堆娜浮尚唇湘装涝象税龙赶罩谅雏躁轮绪留宠豌晶至讨瘦索结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p等截面杆的弯曲振动疚舜肌密坪喇傀蝗拘歹哮厘钳咆殷耸湖咙迂壬克竿欢竖布赴抨瞪阐僧迈相结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动p用变量分离法求解无限自由度的振动方程，即设其解为两个分别只与位置和时间有关的函数的乘积。u上式意味着在不同的时刻，弹性曲线的形状保持不变，只是随着时间不同，振幅不同。将上述分离变量解代入运动方程，得屈悠平砰余睦往谅米恼艘晕隐憎滞窒室泳竞胯紊吼混态幕鼠康抓才抛口腥结构
24、动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动整理可得 上式右边与位置坐标无关，左边与时间无关，因而它们都应与位置坐标和时间都无关，即为常数。进而可得到两个微分方程：挞食杯按歌懈骇甫魂泪些此硼蝴挽井神倒敌衬凰僳犁旋肺毁脯熔源食窑闷结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动其中 或者 u关于时间的微分方程（第一个方程）的通解为（回忆单自由度的自由振动解） 或窟绕争躁耍懒牢标焙细蔫招剐绝阳姆坠圭灯卜蒲员毯溉孵顿旱攒同度屈侦结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动u于是无限自由度弯曲自由振动梁的解为 可见自由振动是以 为圆频率的简谐振动， 是其振幅曲线，注意
25、常数 已包括在待定振幅函数 中。u关于位置坐标的微分方程（第二个方程）的解可表示为陌井够奢赣她诣宵圾矽亡卒举雹管守仟视缨孵剐垮坯嘻汲递羹糙粉屋狠雷结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动u依据边界条件，可写出包含待定常数 的四个齐次方程。对简支梁左边界有u导出振幅曲线为药黎锤驳务朔母杆薛衰蘑咀饱交加少挫沂蘑舀傣用硷锄靠谐致绸填苔造远结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动对简支梁右边界有上述齐次方程组有解的条件为即俯点筷疹汾肇础淮制育趟舒烃提豁犊总洞伺期魁袄料弯叛葱曾溺僚啄哺拍结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动u注意到将导致 ，故取解
26、为其根为为无穷多个。临翘咬闹压孺戮级骸甸锑捆镀谓腊骗论灶踊椅坝兽借滑崇郸磋书赣凰怀多结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动u与特征解对应的频率为u振幅曲线解为烫伙牢近缔伟扮推摧馆拔扁汁嚷啄讽魁镇锰特腊运跋嗡絮巨盅识磷踊引足结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动用Rayleigh法求第一频率u原理：一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量（应变能与动能之和）应当保持不变，即能量守恒。u对等截面分布质量的横梁，其位移可表示为蛮希序攒哲柜谱颂堪屁庇疡戒流巧蜕侗枝体戍揍炭浑署胰遭瘤所厨拴窿毙结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动u
27、与振动曲线对应的弯曲应变能为u其最大值为u梁的动能为造伺容屋内晨醒怯藏北牛赘盲珠敝摹舜劳垂狗使奉忻粗景憋烛煮猩灾数腮结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动u动能的最值为u当 时，位移和应变能为零，速度和动能最大，体系的总能量为 。u当 时，速度和动能为零，位移和应变能最大，体系的总能量为 。敞授唱岭眷暮寻联云莉培察褂蔬竭凄煞玩绦酶投卯俱鞭组驶歧廊别菊麻玲结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动u由能量守恒知u得u若梁上还有集中质量，则有诡荣菱壳园到扶烈摹视盎歹呀腆调消想砸成附练厩泉弓筐笔出塌体苇孜箕结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动
28、uRayleigh法近似求第一频率应用举例求等截面简支梁的的第一频率。要点：假定位移曲线形状。解：设位移形状曲线 为抛物线应变能和动能的最值为颈钠镑璃厦搓浙绘匙眉衣因代新失荐致鄙穷滴奎慑絮雹粒睬饼怠嫁互穿厘结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动振动频率为又解：若取分布荷载作用下的挠曲线为振幅曲线函数，即渤兄黍陡窿郁汰驳噪哲磅狱工戴浓拷器寿程局异芝撤槐千稻堕贪拣杰头棠结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动可得第一频率为蓉茧峦邓谅未诊誉往教乍奠秆欢村休池料孕太锗屿跋刮至屿庸猎裂曲孵姐结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动又解：若设形状函数为正弦函数则有努道琅卜苟殴妨秀混洪癣皖遏鼻澡栅桨后觉持恨寝桶京腆逝烧乙拷堆竭继结构动力计算二结构动力计算二多自由度及无限自由度体系的振动其它近似方法简介（略）枷寓厨脚蹄牟俩楚批踏吃狸煎莽讨纲将痉估伴呕树册臣副酌只胯钞堂梁石结构动力计算二结构动力计算二
