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1、本节要点本节要点 本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定本节主要讨论在微分学中起着重要作用的几个中值定一、费马引理一、费马引理二、罗尔定理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理四、柯西中值定理理理:一、费马引理一、费马引理 首先首先, 让我们来观察这样一个几何事实让我们来观察这样一个几何事实. 如图所示如图所示: 我们看到在曲线弧的最高点我们看到在曲线弧的最高点 或最低点处或最低点处的横坐标为的横坐标为 则有则有连续曲线弧连续曲线弧 是函数是函数 的图形的图形, 如果如果曲线有水平切线曲线有水平切线. 若记点若记点 进一步观察进一步观察, 当当 时时, 又
2、看到在曲线弧又看到在曲线弧 上上, 至少有一点至少有一点 弧弧 在该点处的切线在该点处的切线 平行于弦平行于弦 由此启发我们考虑这样一个由此启发我们考虑这样一个又切线又切线 的斜率是的斜率是 以以 记记 的横坐的横坐标标, 则有则有理论上的问题理论上的问题: 设设是否存在是否存在使等式使等式成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论成立？下面我们从理论上对这个问题进行讨论. 为讨论为讨论方便方便, 先引入费马引理先引入费马引理, 该引理本身在微分学中也很重该引理本身在微分学中也很重要要.则则:或或证证: 不妨设不妨设 时时, 有有引理（费马引理）引理（费马引理） 设函数设函数 在点在点 的某邻域
3、的某邻域内有定义并在内有定义并在 处可导处可导, 若对任意的若对任意的 有有故当故当有有当当 时时,当当 时时,由函数由函数 在点在点 处的可导性及极限的保号性处的可导性及极限的保号性, 得得由此得到由此得到 注注 通常称导数为零的点为函数的通常称导数为零的点为函数的驻点驻点. 该引理说明该引理说明: 可导函数的极值点为驻点可导函数的极值点为驻点.二、罗尔定理二、罗尔定理罗尔定理罗尔定理 设函数设函数 且且证证 因因 故故 必在必在 上取到最大值上取到最大值 与与最小值最小值 若若 有有若若 那么那么 与与 中至少有一个不等于中至少有一个不等于 不妨设不妨设 则存在则存在 使得使得注注1 罗尔
4、定理的几何意义罗尔定理的几何意义 因因 故故 由此存在由此存在注注2 罗尔定理的简单表达式罗尔定理的简单表达式使得使得 因因 存在存在, 由费马引理由费马引理得得例例1 对函数对函数 在区间在区间 上验证罗上验证罗 尔定理的正确性尔定理的正确性.证证 在区间在区间 上上, 函数函数 为初等函为初等函数因而连续数因而连续, 可导可导. 又又条件满足条件满足. 因因故定理的结论成立故定理的结论成立.故定理故定理从而对函数从而对函数 及区间及区间 罗尔定理是正确的罗尔定理是正确的.例例2 设实数设实数 满足方程满足方程证明方程证明方程在区间在区间 中可解中可解.证证 令令则则 且且所以由罗尔定理所以
5、由罗尔定理, 在区间在区间 中存在中存在 使得使得又又:故方程在所给区间中可解故方程在所给区间中可解.三、拉格朗日中值定理三、拉格朗日中值定理证证 为引用罗尔定理为引用罗尔定理, 构造函数构造函数拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 设函数设函数 那么至少存在一点那么至少存在一点 使得使得则则或或即即且函数且函数 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件, 由此存在由此存在 使得使得注注1 拉格朗日中值定理的几何描述拉格朗日中值定理的几何描述公式公式称为称为微分中值公式微分中值公式.注注2 当当 时时, 上式仍然成立上式仍然成立, 即即 3.若若 在区间在区间 中点点可导中点点可导, 当当 因而此式更
6、好的给出了因变量的增量的近似刻画因而此式更好的给出了因变量的增量的近似刻画.时时, 有有例例3 设函数设函数形形, 在同一平面上作出过点在同一平面上作出过点 的割线的割线, 并作并作割线的斜率为割线的斜率为:为求切点的为求切点的 坐标坐标, 求解方程求解方程:所以所以, 割线方程割线方程:即即:相应的切线相应的切线. 画出曲线在画出曲线在 中的图中的图得得由此得相应切点坐标由此得相应切点坐标故而切线方程为故而切线方程为:切线切线割线割线切点切点注意注意 微分中值定理给出的是微分中值定理给出的是“ ”的存在性的存在性, 而并没有而并没有指出它究竟取哪一个值指出它究竟取哪一个值. 对不同的函数对不
7、同的函数, 对不同的区间对不同的区间,“ ”的取值可能是完全不同的的取值可能是完全不同的. 这一点这一点, 在讨论问题时特在讨论问题时特别要注意别要注意. 我们知道我们知道, 若函数为常数若函数为常数, 则其导数为零则其导数为零; 作为该定理作为该定理在在 内是一个常数内是一个常数.定理定理 如果函数如果函数 在区间在区间 内的导数恒为零内的导数恒为零, 那么那么 的应用的应用, 我们导出如下事实我们导出如下事实: 若函数的导数恒为零若函数的导数恒为零, 则该则该函数必为常数函数必为常数.证证 在区间在区间 内任取两点内任取两点 （不妨设（不妨设 ）, 则由则由公式公式:由条件知由条件知意性意
8、性, 得得 为常数为常数.由由 的任的任因因因此因此例例4 证明证明: 当当 时时, 有有证证 取取 , 则在区间则在区间 中中, 满满足定理的条件足定理的条件, 因而有因而有因而上式为因而上式为代入上式代入上式, 便得便得即有即有 例例5 证明证明: 当当 时时, 证证 因因 , 故在区间故在区间 ( )上对上对函数函数 使用拉格朗日中值定理使用拉格朗日中值定理 使得使得例例6 设函数设函数 的导函数在的导函数在 内恒为常数内恒为常数, 则则 证证 设在区间设在区间 内内 , 令令 则则由此得到：由此得到： ，令其为，令其为 . 即有即有 为线性函数为线性函数.四、柯西中值定理四、柯西中值定
9、理证证 由于由于 定理定理 如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续, 在开区间在开区间 内可导内可导, 并且在开区间并且在开区间 内内那么至少存在一点那么至少存在一点 使得使得 左边的分式有意义左边的分式有意义. 为使用拉格朗日中值定理为使用拉格朗日中值定理, 构造辅构造辅助函数助函数:因而上式因而上式由此得到公式由此得到公式.则则, 易证函数易证函数 满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件, 从而从而至少存在一至少存在一点点 使得使得 即即注注1 柯西中值定理可简单地表示为柯西中值定理可简单地表示为注注2 容易看出容易看出, 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当拉格朗日中值定理是柯西中值
10、定理当 的特殊情况的特殊情况.例例7 对函数对函数 上验证柯西中值定理的正确性上验证柯西中值定理的正确性.证证 函数函数 在区间在区间 上连续上连续, 可导可导, 且且即满足定理的条即满足定理的条件件, 现求现求 使得使得在区间在区间因因又由于又由于 令令得得所以所以,从而从而成立成立, 故对故对 上的函数上的函数 柯西中值定理柯西中值定理是正确的是正确的.例例8 在在 上分别就拉格朗日中上分别就拉格朗日中值定理值定理, 柯西中值定理柯西中值定理, 计算相应的计算相应的解解 先考虑先考虑 就拉格朗日中值定理计算相应的就拉格朗日中值定理计算相应的 由由得得再考虑再考虑 求相应的求相应的同样得到同
11、样得到最后对函数最后对函数 就柯西中值定理来求相应的就柯西中值定理来求相应的即即:得得由关系式由关系式 本例说明若函数满足中值定理的条件本例说明若函数满足中值定理的条件, 则适合中值定则适合中值定理结论中的理结论中的 是存在的是存在的, 但对不同的函数或同一函数在但对不同的函数或同一函数在不同的区间不同的区间, 所得到的所得到的 可能是不同的可能是不同的. 所以对柯西中所以对柯西中值定理中的中值等式值定理中的中值等式 使得使得不能错误地误解为两个拉格朗日中值等式的商不能错误地误解为两个拉格朗日中值等式的商.例例9 设函数设函数 在区间在区间 内有二阶导数内有二阶导数.且且其中其中, 点点 使得使得证证 由条件所设知函数由条件所设知函数 在区间在区间 满满证明证明: 在在 至少存在一至少存在一足罗尔定理的条件足罗尔定理的条件, 故在区间故在区间 分别存在分别存在使得使得 又又 二阶可导二阶可导, 故故 连续，在区间连续，在区间 上再上再一次使用罗尔定理一次使用罗尔定理, 知存在知存在 使得使得例例10 设设 都是可导函数都是可导函数, 且且证证 由条件得由条件得 故故 由由再由条件再由条件时有时有,证明当证明当柯西中值定理有柯西中值定理有得得再由拉格朗日中值定理再由拉格朗日中值定理, 有有由于由于 故故从而有从而有 更多精品资请访问更多精品资请访问 更多品资源请访问更多品资源请访问
