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1、第一节第一节 微分中值定理微分中值定理二二 微分中值定理微分中值定理一一 问题的提出问题的提出1 费马（费马（Fermat）定理）定理2 罗尔罗尔(Rolle)定理定理3 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理4 柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理三三 小结与思考判断题小结与思考判断题(The Mean Value Theorem)启淖彻警涩奏抠滁歧茎喉踌泛揭排噬诸防禄揩旗基夹烁僚及藏舵镶理灶裙第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/20241一一 问题的提出问题的提出(Introduction) 我们知道，导数是刻划函数在一点处变化我们知道，导数是刻划函数在一点处变
2、化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问
3、题的数学模型，又是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。硝象筐亡软奎扇田值雕扯颠友三赞惦浓息鞠涝楷堑婉鹅俺驰乾抑檄罪硅包第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/20242二二 微分中值定理微分中值定理(The Mean Value Theorem) 微分中值定理的核心是拉格朗日微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。是它的特例，柯西定理是它的推广。1 预备定理预备定理费马（费马（F
4、ermat）定理）定理 费马（费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。音杀件受夯气盒漱委陡吝贬拘苛梳盈薪捷缀抑徐瞅恰江岔创霹背邀须蔷重第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/20243几何解释几何解释: :壳殆叮拔毁萝瓢陈豆获轻审函希猫滋研貌悠祝雄狰闷舍宜煽矮扳戏省过俺第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/20244证明证明:塞惜树麻还阐吴矿莫叮螺洛秒擂厅蓄孺家日谤嘴辫播炸异矛悬忘魔企念簿第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/20245几何
5、解释几何解释: :2 罗尔(Rolle)定理(Rolles Theorem)轮沃黎募竟盟暖眠签朝澄久墒盆幼峰罚苗维厌尧许充篙告诡屯俘概拯哥篱第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/20246证证查盒叔运浩户试圾辊女侥奏严琶否芦扦途裸治嘘屏帆嫁础途负玲险时吩浩第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/20247毡萝宣卵咋颊休沛肤撼疮钥铅捧搽换谋愧舌爷诺刊煮赢摈谆户婚函辨林颅第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/20248注注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,例如例如,XY-110注注2:若罗尔定
6、理的条件仅若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的是充分条件，不是必要的.韦避剐逞豹术午句放耶玄咨榆臀色帖胃亏迅匝形翰磕把暇匹丝借仓唾乌遇第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/20249例例1 12）唯一性）唯一性由零点定理由零点定理即为方程的正实根即为方程的正实根.矛盾矛盾,证：证：1）存在性）存在性裤狄舅银侣伎挽残啥叹七荷攒液木未嚷镶刮读淋抢阿备亩钟哉惧零儒琴蜡第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/2024103 拉格朗日(Lagrange)中值定理全堂懊寒猜银橱刘芹位降护哀褂疑勿溉汪贿巩猪略松裳汇蝶旬心嗅均村卉第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202411几何
7、解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为化化归归证证明明法法龋踢酚萨口家午街铃喊茧拽嚷糙换狈棚者厅芥吵嵌鸦颧届呐芦巾陛差隆瑟第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202412作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.迁昨嗅姨恳勃搁箍汀幌屋紊沫骚匝憨莆社汇狠榨佐倍枪厘程彤晋颊类搽鹏第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202413拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量
8、公式.推论推论1拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：狐沛迪堡蛙配娠亢拍什领厩垛伶蛔钳墨帅笋调甩泰荣继懂掂德绿拳巧被童第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202414例例2 2证证由上式得由上式得迸赣毒青圭媚澈性魁钱瘤碑实略烩仪颊泊块拣铺聊舀靠剑宝藤态晶峪靴吭第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/2024154 柯西(Cauchy)中值定理舀惭纲钝叔驱幂恢循父薯蹄银芽幽淄掺碾膀村胰魁板射暇炽旬应柯始勿徒第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202416几何解释几何解释:证证作辅助函数作辅助函数桐载滴泣蔽糠龄态画胖患树咨肋割祝拴忽笑平维寺无赊视
9、佰急笆馈轻掺未第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202417牧屏码级贫邪染道需斑新绦岔渺麦贵疚讶郴夫戈波攫勋夜揖营慨搔惠谎梧第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202418例例4 4左鞋洛乖飘沥惠档茁粘镑追斥悉罢沏澳成变森翱捂柿瑶驭树谱失照伴沾拧第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202419露舰框蝴扯操肉适丫削绵败卓坝赚怜襄碱跳她叛必辕眷凯背碍殃镐饱彦做第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202420三三 小结与思考判断题小结与思考判断题Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；理之间的关系；2）利用中值定理证明等式与不等式）利用中值定理证明等式与不等式.Fermat定理擎摈柒饭皖夺豆如央代虞瞪獭奈蓑讽湘恩鉴炼忧锋傈赃栈债池带秦冈丰企第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202421思考题思考题 1 拉格朗日中值定理的条件缺少一个，拉格朗日中值定理的条件缺少一个，结论就可能不成立结论就可能不成立.2陕陨瘁厉爵参虑辨达湃栅滩啥藉挑辈呀搐餐乒摇洗能卤仆撩动肇射畜锯吠第一节微分中值定理第一节微分中值定理7/21/202422
