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1、31 31 产生算符和消灭算符产生算符和消灭算符31-1 31-1 定义定义讨论讨论B表象，以单粒子算符表象，以单粒子算符B的本征矢量的本征矢量|b为基础。为基础。 一、产生算符一、产生算符a+(b) 首首先先定定义义一一个个什什么么粒粒子子都都没没有有的的状状态态|0（真真空空态态），从从而而确确定定了了一一个个n=0的的一一维维空空间间R0。定定义义一一个个算算符符a+(b)，用用它它来来得得出出n=1,2,3,等等系系统统的的B表象的基矢：表象的基矢： 颐棉扇桶扦铅漠堤妥弧督刹菊否惺瞒捉松糊撇噶陇营纲廉馅靴恼图花贵警高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符1称称a+(b)为产
2、生算符。它的意义是：为产生算符。它的意义是：a+(b)作用在作用在一个一个n粒子粒子B值确定的状态上，所得状态是在原状值确定的状态上，所得状态是在原状态中增加一个态中增加一个B值为值为b的粒子。的粒子。承刻瓦铬诵头基芦蝗粮只皆撤最欺拇盔腹汤腻嘶报罐癣促核豫惦娥肯世涧高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符2注意：注意：对于于Bose子和子和Fermi子，子，a+(b)算符是不同的。算符是不同的。对于于Bose子，子，b与已有的与已有的相同；相同；但但对Fermi子，若子，若b与已有的与已有的之一相同，之一相同，则a+(b)对态作用的作用的结果果为零零。之一可以之一可以凄膊落风暴响奄
3、脊截肋黍锄鞋它送掷谆碌保垫眨晴轰汰祝洼骡免谦苛暗舱高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符3粒子数粒子数n任意的系统的基矢统一用真空态任意的系统的基矢统一用真空态|0和适和适当的产生算符表示出来：当的产生算符表示出来：在在R0空间空间 在在R1空间空间 在在R2空间空间 在在Rn空间空间 凳性旦缚拎梯焕拴勒纵途壹虚萨伸体症软影蚌星冯逐拦兰账鼓蓄朴吐禄兽高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符4产产生生算算符符作作用用的的次次序序对对于于Bose子子没没有有关关系系，对对Fermi子子则则不不然然。由由于于新新产产生生的的粒粒子子规规定定要要写写在在基基矢的最左端，所以矢
4、的最左端，所以对易关系对易关系:筑嘶腕贩屁铱川见久穆夜秘逢孤赁裂陀腰冬旁炽园南滔戈砖尉镶末锄娠恤高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符5二、消灭算符二、消灭算符a(b) 作为作为a+(b)的伴算符，的伴算符，a(b)是对左矢的产生算符：是对左矢的产生算符：对易关系对易关系 陕亲毫细邀喊揪斥茬缔肆腿苇篓敝怨英暖袁贵租喉槽匠芭郁睡讣劝熏逾负高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符6也可以写出也可以写出将将a(b)作用在右矢上作用在右矢上,炳豪削销暮戍厨粳瞎厕耍歧戏沛滑谆琵围尽廓趋旧煤膏秀桔稍洽裂庞睛逝高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符7与任一个右矢与任一
5、个右矢作内作内积，则由由30.9式有式有坝衣统历遭漆垢既例嘻茎祭腥绸闸猜拯炽贤击房糯檬坯劈翅悄铁挂平凑磅高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符8上式对一切左矢成立，于是上式对一切左矢成立，于是 可见：可见：1 1）a(b)把把n粒子基矢变成粒子基矢变成(n-1)粒子基矢，因此粒子基矢，因此a(b)是消灭算符；是消灭算符；2 2）若在若在则算符算符a(b)的作用正是的作用正是去掉去掉这个粒子得出其余个粒子得出其余(n-1)个粒子的个粒子的态，如，如没有粒子没有粒子处于于b态，则a(b)对此此态的的作用作用结果果为零零；态中有一个粒子态中有一个粒子处在处在b态态，好廓痘侮腰查十阂彬兆
6、夏庶犁神麦驮糊冬要囊赵芜渺净孩孟胆弱躺巳肾键高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符94 4）可以得到对易关系）可以得到对易关系3 3）若在若在(Bose子子系系统)，则a(b)的的作作用用是是将将处于于b态的的粒粒子子对称称地地（处于于b态的的粒粒子子地地位位相相同同，都都要要去去掉掉）去掉一个，仍得出去掉一个，仍得出(n-1)粒子的粒子的态。中有两个以上的粒子处于中有两个以上的粒子处于b态态寡泥赚戍厩煞取觅柯撬慷辣抗廊扩婴胳例会辑秸典谅汇蜘被俭洽忱诲谈藕高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符1031-2 31-2 占有数密度算符和总粒子数算符占有数密度算符和总粒子
7、数算符由产生算符和消灭算符可以造出两个算符：由产生算符和消灭算符可以造出两个算符：这两个算符对任意一基矢的作用是这两个算符对任意一基矢的作用是敛哮稍凳躬六联容敷踊钥沟辅暑诞兵劈菌粱纺裴奔为细眶锋渠荧种淘铱吉高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符11而而最后一步利用了最后一步利用了 傻秃坟腮孙希莫衣颖键张沃含煤札熊架枪毯旺经足轻连顺励梗址帘唉戳便高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符12可见：可见：1）每每一一个个n粒粒子子基基矢矢都都是是N的的本本征征矢矢量量，即即对对称称化化的的n粒粒子子空空间间Rn是是N的的本本征征子子空空间间，本本征征值是系统的总粒子数值是系
8、统的总粒子数n；2）每每一一个个基基矢矢也也是是N(b)的的本本征征矢矢量量，其其本本征征值值要要看看基基矢矢中中的的bbb等等不不等等于于b，若若没没有有等等于于b的的，本本征征值值为为零零，若若有有l个个等等于于b的的，则则本本征征值是值是l个个函数之和。函数之和。N是总粒子数算符，是总粒子数算符，N(b)是占有数密度算符。是占有数密度算符。爱挑呢寿谅褥浚种寺卿启考世幸横摇椿退滓签彭敏腊亚甘挎谓惮颓共苇界高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符13对易关系对易关系 将此二式积分，可得将此二式积分，可得N与它们的对易关系与它们的对易关系以上四个对易关系对以上四个对易关系对Bose
9、子和子和Fermi子都一样。子都一样。馁办窍尖蔡搭斥停咒戮操塘钙欲恐扩膀凤较此侠柜伍掌枪牺隙给余遣壤嘉高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符1431-3 31-3 位置表象和表象变换位置表象和表象变换一、位置表象一、位置表象如如果果取取单单粒粒子子力力学学量量B为为粒粒子子的的坐坐标标X（3D运运动动时时包包括括X1,X2,X3三三个个算算符符，它它们们是是一一组组算算符符完完备备组组），就就可可得得到到对对称称化化的的位位置置表表象象。这这一一表表象象中中的的对对称称化化基基矢矢为为|n;xxx，它它们们满满足足正正交交归归一一化化条条件件和和完完备性条件：备性条件：雹械悯送洽
10、陪掘巧挛经猩茧珊诌峪阉辨戌帚遭萍块诵脾嘲态职寿蹋贫眨沁高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符15由于由于历史的原因，史的原因，习惯上用上用表示表示产生算符生算符表示消表示消灭算符算符位置表象是连续表象，产生和消灭算符的作用是位置表象是连续表象，产生和消灭算符的作用是定塑诧妈青埔庇钞贴清镐抿泊冰掂驮体熔养止塌呕券瓢丈摹榴滤庆起弦肾高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符16对称化基矢可以写成由产生算符表示的形式：对称化基矢可以写成由产生算符表示的形式：产生算符和消灭算符的对易关系是产生算符和消灭算符的对易关系是占有数密度算符与总粒子数算符是占有数密度算符与总粒子数算符是
11、内态谎乾窝风啃酉们柬极弘第讨角记络侩落粹迅锥雌谭腻嗣幸疗觉邹校下高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符17二、表象变换二、表象变换讨论讨论B表象和表象和X表象之间的变换问题。表象之间的变换问题。设设X表表象象是是已已知知的的，现现用用X表表象象中中的的量量去去表表示示B表表象象中中的的量量。B表表象象的的对对称称化化基基矢矢是是（应应用用完完全全性性关系）关系） 铡芯胀缄捉肮洞瑚婶扳舵仇寒保精卤架举礁柑垫碍殉荒跑铬涅尾渣搽粱荔高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符18式中的式中的是由是由X表象变到表象变到B表象的变换矩阵。表象的变换矩阵。用用X表象产生和消灭算符去表
12、示表象产生和消灭算符去表示B表象中的产生和消表象中的产生和消灭算符：灭算符：疡沼肄瞧试迫厅哀肄面宰誓影寺啡梆籍积虹鹏膘耕究蛮贮针朽趾氛赦侄父高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符19利用内积定理利用内积定理 由于下式显然满足下列关系由于下式显然满足下列关系配持耍鞋醋拴踞罢绥赖梅陛盯镶筹疹赛赁辊壶鹅实罪孕农暗妖图仕苦公被高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符20故故上上式式右右边边各各项项分分别别出出现现一一个个Rn空空间间的的完完全全性性关关系系，将将这这些些完完全全性性关关系系去去掉掉，各各项项就就剩剩下下一一重重积积分了，于是有分了，于是有上式右边的上式右边的(
13、n+1)项积分是完全相同的，故得项积分是完全相同的，故得黍媚郝诫猛测祁始郴丁雁鬃汞祖淖衰吓片坑撼未搪咋甜溪躯症龙殷氮菊击高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符21两边取伴算符，得两边取伴算符，得这这就就是是X表表象象和和B表表象象之之间间产产生生算算符符和和消消灭灭算算符符的的关关系系，式式中中只只有有X和和B的的单单粒粒子子本本征征矢矢量量的的内内积，它是单粒子表象变换时的幺正矩阵元。积，它是单粒子表象变换时的幺正矩阵元。稀圆河哉丙痕踪吮廉啄揍宠遮剐刊殉侦区涤歉罚铡晤侄伏实企豫辕恨磺厄高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符22同样可以写出与上面相反的关系：同样可以
14、写出与上面相反的关系：显然，若显然，若B为动量为动量P，这时，这时则有则有这非常类似单粒子在这非常类似单粒子在x表象的态函数与表象的态函数与p表象的表象的态函数之间的关系态函数之间的关系Fourier变换。变换。烽狠氮遍慧枝耽叔犹操铁曲箭琳蜕宇论绷胆辞锁渤颇毫构狭殖筛房疆颂彬高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符2331-4 31-4 算符的二次量子化算符的二次量子化一、力学量一、力学量G的普遍形式的普遍形式系统的力学量系统的力学量G可以写成可以写成单体力学量，如动能、在外场中的势能等单体力学量，如动能、在外场中的势能等 双体力学量，如相互作用势能等双体力学量，如相互作用势能等
15、三体力学量，凝聚态物理和原子核物理三体力学量，凝聚态物理和原子核物理 郸瞬茬滨棋更熄转散既觅去右褒击株咬毅甸端砧署竖猴懂昂虫恳赁加庭容高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符24二、二、G的二次量子化形式的二次量子化形式写成对称化的写成对称化的b表象的形式，用完全性关系表象的形式，用完全性关系作用到作用到G的两边，利用上升算符的作用规律，得的两边，利用上升算符的作用规律，得紊村讣罪疡缅贞盔罕协遭爽肆何萝挑怠扯岩沈董练恨寝耗褐刮艇锡瘪跋赖高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符25上式积分中的矩阵元上式积分中的矩阵元中，单体算符项为中，单体算符项为顿蛆水虫批株菏遥乌辅经蔬
16、虎灭瞄疫檀侈曹脂挥盎涅薪储称焕尧征梳史宏高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符26双体项算符为双体项算符为首先，可以把首先，可以把完全消去完全消去。辰拨镜汁狮项茨道副吞怂磕晶摊坠楼悍反溢挣产痛扭灾慰孟碾齿这碳撵赌高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符27然后，（然后，（31.30）式中的）式中的n项单体算符项在积分后项单体算符项在积分后也是完全相同的，同样（也是完全相同的，同样（31.31）式中的）式中的n(n-1)/2项积分后也是完全相同的，依次类推。项积分后也是完全相同的，依次类推。 于是得于是得 孺企辐绿癸厘贪丫懂哭悬磐涤槐鞭抗厦琼茫撅尧哼棵砧遗得姥妻法瓦苫雷
17、高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符28在上式等号右边双体算符的积分中出现在上式等号右边双体算符的积分中出现 即双体算符在即双体算符在i处于处于 态，态，j处于处于 态及态及i的的 态和态和j的的 之间的矩阵元。之间的矩阵元。未经过对称化处理未经过对称化处理 不论不论i和和j取什么值，这一矩阵元是相同的。取什么值，这一矩阵元是相同的。 镰绽牵旬显想腆酬且嫁模押嚣惹笺纷轻腹蕾凤毗求剃站佐铂骤踩贿跑郎学高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符29计计算算(31.33)式式中中的的积积分分。先先讨讨论论单单粒粒子子项项：首首先先可可以以进进行行(n-1)重重积积分分，把把
18、函函数数积积掉掉。然然后后通通过过上上升升算算符符的的作作用用后后，就就会会看看到到式式中中出出现现了了一一个个(n-1)粒粒子子系系统统基基矢矢的的完完全全性性关关系系，去去掉掉这这个个完完全全性性关关系系（因因为为它它等等于于1）就就又又带带走走了了（n-1）重重积积分分，最最后后只剩下两重积分，即单粒子项为只剩下两重积分，即单粒子项为敬发薯峻轿从咙啤谆缆骚蕊呻昼苍莲堆男区什千衔恃捉匆瑟蔽良敲狂眼针高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符30其余各项也可类似处理，最后得算符其余各项也可类似处理，最后得算符G的表示式为的表示式为这是算符这是算符G的二次量子化形式。的二次量子化形式
19、。 童刃挚软据与优岿台酵捎腋诅鹅望投映虑舞决数拙火眷掌临嫡勾宦谋鹅才高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符31在对称化的位置表象中的形式：在对称化的位置表象中的形式： 炳盔隶困啥献滑帆休捎岳赤扯远澎禁谍赁单咬粗蚂甜巴泛背啄愉糟训党娘高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符3231-5 31-5 巨巨HilbertHilbert空间（空间（FockFock空间）空间）对对于于全全同同粒粒子子系系统统，已已经经有有了了对对称称化化的的Hilbert空空间间Rn，其其中中n是是粒粒子子数数，可可以以等等于于0,1,2,。但但是是产产生生算算符符和和消消灭灭算算符符并并不不是
20、是上上述述任任何何一一个个空空间间的的算算符符，它它作作用用于于一一个个空空间间中中的的矢矢量量上上，得得出出的的是是另另一一个个空空间间中中的的矢矢量量。产产生生算算符符作作用用到到Rn中中的的一一个个矢矢量量时时，得得出出的的是是(n+1)粒粒子子的的状状态态，即即Rn+1中中的的矢矢量量。同同样样，消消灭灭算算符符则则得得出出一一个个Rn-1中中的的矢矢量量。可可见见使使用用产产生生和和消消灭灭算算符符，就就要要同同Rn以以外外的的空空间间Rn+1和和Rn-1，甚甚至至Rn+2和和Rn-2打交道。打交道。禹两搜族握晾一址股被苇租冲蜕皋睁曹贼棱线换寥终臆挖走斗茶雁跟卧偏高量19产生算符和消
21、灭算符高量19产生算符和消灭算符33现现在在取取R0,R1,R2,等等所所有有粒粒子子数数不不同同的的空空间间的的直直和和，构构成成一一个个大大空空间间RG，称称为为巨巨Hilbert空空间间或或Fock空间空间 每每一一个个n粒粒子子空空间间都都是是巨巨Hilbert空空间间的的一一个个子子空空间间，每每个个子子空空间间都都是是总总粒粒子子数数算算符符N的的本本征征子子空空间间，本本征征值值就就是是n。这这是是简简并并度度极极高高的的本本征征子子空空间。间。 裳欢京岩擅姿陶斡蝇速史晚漂扁蔑隅叹纤很狠嗡搽贺不者厕邀僚瓮实碑膘高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符34设设 分别是在
22、各子空间分别是在各子空间 中的矢量，则巨中的矢量，则巨Hilbert空间中一般的矢量可以表为空间中一般的矢量可以表为粒子数不同的两个子空间粒子数不同的两个子空间Rn和和Rn中矢量是自动正交的，中矢量是自动正交的， 例如例如右右矢矢中中只只有有两两个个粒粒子子，故故作作用用后后肯肯定定等等于于零零。一一般般说说来来，凡凡在在真真空空左左矢矢当当中中存存在在数数目目不不同的产生算符和消灭算符的乘积，其结果必为零。同的产生算符和消灭算符的乘积，其结果必为零。赃余正耳躺演叛之谅伊女忱指辞撼宛在淋轴淫雇鱼拓赎滥挽珍谚浦提予搜高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符35由由于于产产生生算算符符
23、和和消消灭灭算算符符对对各各个个子子空空间间Rn都都适适用用，而而多多粒粒子子系系统统的的所所有有算算符符G都都可可以以表表为为这这两两种种算算符符的的组组合合形形式式而而又又不不明明显显出出现现粒粒子子数数n，所所以以所所有有的的算算符符都都是是在在整整个个巨巨Hilbert空空间间中中通通用的。用的。完全性关系是完全性关系是 如果如果n粒子系统在运动过程中粒子数不变，那粒子系统在运动过程中粒子数不变，那么么Rn空间的基矢空间的基矢 就是完全的，就是完全的，她网晨风螟处号悄强绑馒圆芜材植蔡厦扮益栓服肌请牟掷凑皖茬苍度红辖高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符36如果运动过程中粒子数可以发生变化，即矢量如果运动过程中粒子数可以发生变化，即矢量可以跑出可以跑出Rn之外，则这个关系就不能用了。代之外，则这个关系就不能用了。代替的是巨替的是巨Hilbert空间的完全性关系！空间的完全性关系！ 梅闻谓焊谣械氟泣宠惋畏隅移遂证溶栏饥堰妮款响刀疙葬椿看狈健拿韧活高量19产生算符和消灭算符高量19产生算符和消灭算符37
