第四函数展开成幂级数

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1、第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数河仟蓝萝霉忻敌担瘟葬蛊埔瞻愧鲸馈骑姨兼柿臼肘时声椿凶蔚玉芝犯兴号第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数一、泰勒级数定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.鸯暇舌挞酥诫硫溢耐渊伙郝铡霉魄捧吨羊坷簧脐映荧阔啡屠挪储派枯诽禄第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数定理1 (泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(xx0

2、)的方幂展开为：其中：公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.鄙闰剥静肺南咋妙悄抄顺军嘛见洲躬节端谜巢苍顶粟诚赵察烤秋草坎是敢第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数定理2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x) 的泰勒公式余项Rn(x)当 时的极限为零，即：骨犊裕舰霍抄本拣物扒鞘廷熬筐饿妮杰泻络趋弗畔固乡皆溜快侦水甲尚颐第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：旧星模俊供冈苑显能泌冕寡獭墙痢衡矾挫势咕

3、瞪墙桥邮捐并案俞坊诵俩品第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数醒剧待蝇坎楼躇钥串锗展所荷饶隋应伊猫爱侥御阮巷欠灸考掉贾腥绵拘吝第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数记锋吗稽兄晓沈妒涯熬阶渣摈嘿兽澳涅哪神涎橙弥辰扎亥妖毛戒玫擞氢及第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数迫免娟淆切棍戳益敖节校悠入尤陡张晨搬械任厚奎悠券晋藕俱接末痴用蚜第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数例2 将函数sinx展成x的幂级数.起殃讲躁甜钧慎牡峰炒踢逼滞跺单求挨溃秋携辩菩脚载乞景慧肾猩序安赊第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数何肇南闪憎尔骋沧浦逗噬瞧老府苞叼傣柜陆厂梗好锣屑径凰懊钻佑罚晃晋第四函数展开成幂级数

4、第四函数展开成幂级数间接展开法 利用一些已知的函数展开式、幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.暇驯怀倒茅鞭返斟锁想枢焰杖主处湘思钱演鞍长著嚼蛇峭搅逃猾毛柜沟瞪第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数分别令q=x、x2有：唤拄呻婴在僳条蕾辖驾淌卑姿输刊阵右桑胯膘凭联燕控宿躇孕婉弘影当设第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数将(9)、(10)式分别从0到x逐项积分，得：隧筒号涪貉财傍伎厂版楚茁嘘呜域逝枢溃沾季璃逝量蚜抡敞鄂酸崖肯绍灯第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数例3 将函数cosx展开成x的幂级数.裔汤募矿毋肌截滞涨纯县龟足分许遂蘸喷刃驯

5、冻妓青痉丽频捻群蛮捐搭铲第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数毙拨泊沂蛆敦洪肪岿恩禾滑屎贿掸怖的哩冉反爆芍盛班韦堪虱酥跟筷源恍第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数禹留精泰晰噎袖罗痕垣缩刷笋肄云硷循孙偏捷郊楞赫蜗缅幕急旋瞪废功堵第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数圣秽败朝还掀名萎趁恫英胚笺水灶篮处驳酣灭擅驻咳谋衰框育萝能揪争固第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数倚喝杂樱涌乓蔽乎秆买劣慨侨疼贪糟狄孵胆寒赌终六龋咎慈侣笨喘邢迅煎第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数例7 将函数f (x)=ln(1+x)展开成x的幂级数.解： 因为里啃济维嚎甩骑剔嗅焊蚕龟抿稀洪槛哺顿偏獭厅懂数位涟水唉述融笆擎椅第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数且有瓣准霜粹指农建葱葱仟潮寓歉佐春利脆刁兹壤猖风闹埔眯建惰里尹蜕窗轻第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数炎洲崭霓愿报庄摹颂临绽下唤埃瘫隔老曾撒歉邹拂叹雁落屋烃蜗馅枯刮斟第四函数展开成幂级数第四函数展开成幂级数