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1、12.3.2 等边三角形（等边三角形（2）含含30角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质在在RtABC中，中，C=90若RtA= 30，AB=a,BC=? ACB复习回顾复习回顾1、等边三角形的概念：、等边三角形的概念：2、等边三角形的性质：、等边三角形的性质：3、等边三角形的判定：、等边三角形的判定：等边三形的三个内角都相等等边三形的三个内角都相等,并且每一个角都等于并且每一个角都等于600.（1）定义法；）定义法；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是有一个角是600的的等腰三角形等腰三角形是等边三角形是等边三角形；ABC三边都相等的三
2、角形。三边都相等的三角形。 用刻度尺测量含30角的直角三角形的斜边和短直角边，比较他们之间的数量关系。请将做好的三角形纸片沿一边上的高对折，如图所示：沿沿 AC 对折对折BACD将两个含有将两个含有30的三角尺如图摆放在的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形一起你能借助这个图形,找到找到RtABC的直的直 角边角边BC与斜边与斜边AB之间的数量关系吗？并证明之间的数量关系吗？并证明 结论结论 在在直角三角形直角三角形中，如果一个锐角等于中，如果一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于斜边的一半。那么它所对的直角边等于斜边的一半。 若若 ACBC ，A= 3030 则则BC= ABACB温馨
3、提示 在解有关直角三角形的边的关系的问题中，在解有关直角三角形的边的关系的问题中，常常会用到这条性质，这是一种常用的方法。常常会用到这条性质，这是一种常用的方法。直角三角形的性质定理：直角三角形的性质定理：证明：由拼图可知：ABC与ADC关于AC轴对称，ABAD，又 B=60 ABD是等边三角形又ACBDBCDC AB你还能用其他方法证明吗?BACD证法证法1：已知：如图，在已知：如图，在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，BAC=30BAC=30求证：求证：BC= ABBC= AB由拼图可知： ABCADC， AB=AD RtABC中， ABC=60 BAD=60，ABD是等边三角
4、形又ACBDBCDC AB证明：BACD证法证法2： 分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD 证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30，则B=60 延长BC至D，使CD=BC，连接AD ACB=60， ACD=90 AC=AC，ABCADC（SAS） AB=AD（全等三角形的对应边相等） ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰 三角形是等边三角形） BC= BD= AB 证法3：例例1 ：如图，是屋架设计图的一部分，点如图，是屋架设计图的一部分，点D D是斜梁是斜梁ABAB的中点，立柱的中点，立柱BCBC、DEDE垂直于横梁垂直于横梁ACAC，AB=7.
5、4 mAB=7.4 m，A= 3030, ,立柱立柱BCBC、DEDE要多要多长？长？AEDCB解:DEAC, BCAC, A30 可得 2BCAB, 2DEAD BC 7.43.7m 又 AD AB DE AD 3.71.85m答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是 1.85m.121212121、如图，在、如图，在RtABC中，中， B=2 A，AB=6cm，则，则BC=_.2、如图，、如图， RtABC中，中， A= 3030，AB+BC=12cm，则，则AB= _.ACB3cm8cm3、如图，、如图， RtABC中，中， A= 30，BD平分平分ABC，且，且BD=16cm，则，则AC
6、= .D24cm思考：思考： AD=2CD成立成立吗？吗？4、如图，在如图，在ABC中，中， ACB= 90， B= 15，AB的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交BC、AB于于D、E。求证：。求证：DB=2ACBEDAC经过本节课的学习，经过本节课的学习，你有哪些收获？你有哪些收获？在在RtABC中，若中，若 则则A为几度？为几度？ BC= ABACBD 1、58页14题 2、 64页7题 3、补充练习1、如图，、如图， ABC是是等边三角形，等边三角形， ADBC，DEAB，垂足分别垂足分别是是D、E，如果如果AB=8cm，则则BD=_, BDE= ，BE=_.AEDCB4cm2cm302
7、、如图，在、如图，在ABC中，中， ACB= 9090，BA的的垂直平分线交边垂直平分线交边CB于于D。若。若AB=10，AC=5，则图中等于，则图中等于 3030的角的个数为（的角的个数为（ ）A.2 B.3C.4 D.5AEDCBB3、如图，在、如图，在ABC中，中， AB=AC，BAC= 120120，AC的的垂直平分线垂直平分线EF交交AC于点于点E，交，交BC于点于点F。求证：求证：BF=2CF。 AFECB4、如图，、如图， AOB= 3030，P P是角是角平分线上平分线上的点，的点，PMOB于于M，PN/OB交交OA于于N，若若PM=1cm，则，则PN=_.2cmANMPBOE
8、解解: :过过C C作作BABA延长线的垂线延长线的垂线CD,CD,垂足为垂足为D DB=ACB=15B=ACB=150 0( (已知已知),),DAC=B+ACB= 15DAC=B+ACB= 150 0+15+150 0=30=300 0( (三角形的一个外角三角形的一个外角, ,等于和不相邻的两内角的和等于和不相邻的两内角的和).).CD= AC= CD= AC= 2a=a2a=a( (在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么它那么它所所对的直角边等于斜边的一半对的直角边等于斜边的一半).).ACBD150150例例2.2.已知已知:
9、 :等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为15150 0, ,腰长为腰长为2a.2a.求求: :腰上的高腰上的高. .2a例例3.3.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB,ACB90900 0,A=30,A=300 0,CDAB,CDAB于于D.D.求证求证:BD= AB.:BD= AB.你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?ACBD比一比：看比一比：看 谁谁 算算 的的 快快1.如图：在如图：在RtABC中中A=300,AB+BC=12cm 则则AB=_cm2.如图如图:ABC是等边三角形，是等边三角形，ADBC,DEAB,若若AB=8cm,BD=，BE=_AC
10、EBD3、如图，在、如图，在ABC中，中， ACB= 90，BA的的 垂直平分线交边垂直平分线交边CB于于D。若。若AB=10，AC=5，则图中等于则图中等于 30的角的个数为（的角的个数为（ ）A.2 B.3 C.4 D.5AEDCBB4、 如图，上午如图，上午9时，一条渔船从时，一条渔船从A出发，出发，以以12海里海里/时的速度向正北航行，时的速度向正北航行，11时到达时到达B处，从处，从A、B两处望小岛两处望小岛C，测得，测得NAC=150， NBC=300，若小岛周围，若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁的危险？航行有无触礁的危
11、险？NABCD4、如图，在、如图，在ABC中，中， AB=AC，BAC= 120120，AC的的垂直平分线垂直平分线EF交交AC于点于点E，交，交BC于点于点F。求证：求证：BF=2CF。AFECB5、 如图，在如图，在ABC中，中， ACB= 9090， B= 1515，AB的的垂直平分线分别交垂直平分线分别交BC、AB于于D、E。求证：求证：DB=2ACBEDAC回味无穷等边三角形的判定等边三角形的判定:定义定义: :有三边相等的三角形是等边三角形有三边相等的三角形是等边三角形. .定理定理: :有一个角是有一个角是600的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. .定理定理: :
12、三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形. .特殊的直角三角形的性质:定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半. .定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一条直角边等于斜如果一条直角边等于斜边的一半边的一半, ,那么它所对的锐角等于那么它所对的锐角等于30300 0. .小结 拓展等边三角形的性质等边三角形的性质: 三边相等三边相等,三个角都是三个角都是600,”三线合一三线合一”,三条三条对称轴对称轴.逆定理逆定理 在在直角
13、三角形直角三角形中，如果一条直角边是斜边的中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对一半，那么这条直角边所对 的锐角是的锐角是3030。ACB BC= AB A= 3030 ACBC ，直角三角形的性质定理：直角三角形的性质定理： 在在直角三角形直角三角形中，如果一个锐角等于中，如果一个锐角等于3030，那么它所对的直角边等于斜边的一半。那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ACBC ，A= 3030 BC= ABACB 在解有关直角三角形的边的关系的问题中，在解有关直角三角形的边的关系的问题中，常常会用到这条性质，这是一种常用的方法。常常会用到这条性质，这是一种常用的方法。证明：作证明：作AC的垂直平分线的垂直平分线MN，连接，连接MC 则则AM=MC，A= 1 又又A+ B=900 1+ 2=900 所以所以B= 2 所以所以MB=MC=AM 所以所以MB=MC= AB 又又BC= AB 所以所以B=600 从而从而A=300ACBMN12结论：结论： A=
