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1、第第 3 3 章章微积分问题的计算机求解微积分问题的计算机求解n n薛定宇、陈阳泉著高等应用数学问题的MATLAB求解，清华大学出版社2004n nCAI课件开发：刘莹莹、薛定宇7/21/20241高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院主要内容主要内容n n微积分问题的解析解微积分问题的解析解n n函数的级数展开与级数求和问题求解函数的级数展开与级数求和问题求解n n数值微分数值微分n n数值积分问题数值积分问题n n曲线积分与曲面积分的计算曲线积分与曲面积分的计算n n本章要点简介本章要点简介7/21/20242高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.1 3
2、.1 微积分问题的解析解微积分问题的解析解n3.1.1 极限问题的解析解n3.1.2 函数导数的解析解n3.1.3 积分问题的解析解7/21/20243高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.1.1 3.1.1 极限问题的解析解极限问题的解析解3.1.1.13.1.1.1单变量函数的极限单变量函数的极限7/21/20244高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-13-1】试求解极限问题7/21/20245高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-2】求解单边极限问题7/21/20246高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信
3、息学院3.1.1.2 3.1.1.2 多变量函数的极限多变量函数的极限7/21/20247高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-3】求出二元函数极限值7/21/20248高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.1.2 3.1.2 函数导数的解析解函数导数的解析解3.1.2.1 3.1.2.1 函数的导数和高阶导数函数的导数和高阶导数7/21/20249高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-4】 7/21/202410高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院n n想了解更多，请加QQ2552611 7/21/2024
4、11高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202412高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.1.2.2 3.1.2.2 多元函数的偏导多元函数的偏导7/21/202413高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-5】7/21/202414高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院三维曲面：三维曲面：三维曲面：三维曲面：引力线：引力线：引力线：引力线：7/21/202415高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-6】7/21/202416高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.1
5、.2.3 3.1.2.3 多元函数的多元函数的JacobiJacobi矩阵矩阵7/21/202417高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院X是自变量构成的向量，Y是由各个函数构成的向量。7/21/202418高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-7】试推导其 Jacobi 矩阵7/21/202419高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.1.2.4 3.1.2.4 隐函数的偏导数隐函数的偏导数7/21/202420高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-83-8】7/21/202421高等应用数学问题的 MATL
6、AB 求解东北大学信息学院3.1.2.5 参数方程的导数参数方程的导数n n已知参数方程已知参数方程 ，求，求 【例3-9】7/21/202422高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.1.3 3.1.3 积分问题的解析解积分问题的解析解3.1.3.1 3.1.3.1 不定积分的推导不定积分的推导7/21/202423高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-10】 用diff() 函数求其一阶导数，再积分，检验是否可以得出一致的结果。 7/21/202424高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院对原函数求4 阶导数，再对结果进行4 次积分
7、7/21/202425高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-11】证明7/21/202426高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-12】两个不可积问题 的积分问题求解。7/21/202427高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.1.3.2 3.1.3.2 定积分与无穷积分计算定积分与无穷积分计算7/21/202428高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-133-13】7/21/202429高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-143-14】7/21/202430高等应用数学问
8、题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-153-15】3.1.3.33.1.3.3多重积分多重积分问题的MATLAB求解7/21/202431高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202432高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202433高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-16】7/21/202434高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.2 3.2 函数的级数展开与函数的级数展开与 级数求和问题求解级数求和问题求解n3.2.1 Taylor 幂级数展开n3.2.2 Fourier 级
9、数展开n3.2.3 级数求和的计算7/21/202435高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.2.1 Taylor 3.2.1 Taylor 幂级数展开幂级数展开 3.2.1.1 3.2.1.1 单变量函数的单变量函数的 TaylorTaylor 幂级数展开幂级数展开7/21/202436高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202437高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-173-17】7/21/202438高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202439高等应用数学问题的 MATLAB 求解
10、东北大学信息学院3.2.1.2 3.2.1.2 多变量函数的多变量函数的TaylorTaylor 幂级数展开幂级数展开7/21/202440高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202441高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例3-18】7/21/202442高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202443高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202444高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.2.2 Fourier 3.2.2 Fourier 级数展开级数展开7/21/202
11、445高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202446高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202447高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-193-19】7/21/202448高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-203-20】7/21/202449高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202450高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.2.3 3.2.3 级数求和的计算级数求和的计算7/21/202451高等应用数学问题的 MATLAB 求解
12、东北大学信息学院【例例3-213-21】计算计算数值计算方法7/21/202452高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-223-22】试求解无穷级数的和试求解无穷级数的和7/21/202453高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-233-23】求解求解7/21/202454高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-243-24】求解求解7/21/202455高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.3 3.3 数值微分数值微分n3.3.1 数值微分算法n3.3.2 中心差分方法及其MATLAB实现n3.3
13、.3 二元函数的梯度计算7/21/202456高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.3.1 3.3.1 数值微分算法数值微分算法7/21/202457高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院两种中心差分：两种中心差分：7/21/202458高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202459高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202460高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.3.2 3.3.2 中心差分方法及其中心差分方法及其 MATLAB MATLAB 实现实现7/21/202461高等
14、应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202462高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-253-25】求导数的解析解,再用数值微分求取原函数的14 阶导数，并和解析解比较精度。7/21/202463高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202464高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.3.3 3.3.3 二元函数的梯度计算二元函数的梯度计算7/21/202465高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-263-26】计算梯度，绘制引力线图：7/21/202466高等应用数学问题的
15、 MATLAB 求解东北大学信息学院绘制误差曲面绘制误差曲面:7/21/202467高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院将网格加密一倍将网格加密一倍:7/21/202468高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202469高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.4 3.4 数值积分问题数值积分问题n3.4.1 由给定数据进行梯形求积n3.4.2 单变量数值积分问题求解n3.4.3 双重积分问题的数值解n3.4.4 三重定积分的数值求解7/21/202470高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.4.1 3.4.1
16、由给定数据进行梯形求积由给定数据进行梯形求积7/21/202471高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/202472高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-273-27】7/21/202473高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-283-28】画图：7/21/202474高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院求理论值：不同步距：7/21/202475高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.4.2 3.4.2 单变量数值积分问题求解单变量数值积分问题求解7/21/202476高等应用数学
17、问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-293-29】第三种：匿名函数(MATLAB 7.0)第二种：inline 函数第一种，一般函数方法7/21/202477高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院用用用用inlineinlineinlineinline函数定义函数定义函数定义函数定义: :7/21/202478高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-303-30】提高求解精度。7/21/202479高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-313-31】求解求解绘制函数:7/21/202480高等应用数学问题的 MA
18、TLAB 求解东北大学信息学院7/21/202481高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-323-32】采用默认精度人为给定精度限制7/21/202482高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.4.3 3.4.3 双重积分问题的数值解双重积分问题的数值解7/21/202483高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例例例3-333-333-333-33】求解求解求解求解7/21/202484高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院比较比较比较比较7/21/202485高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学
19、院7/21/202486高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-343-34】7/21/202487高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院解析解方法：解析解方法：解析解方法：解析解方法：高精度数值解7/21/202488高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院数值解求解积分问题变成7/21/202489高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.4.4 3.4.4 三重定积分的数值求解三重定积分的数值求解7/21/202490高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-353-35】7/21/202491高
20、等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.5 3.5 曲线积分与曲面积分的计算曲线积分与曲面积分的计算n3.5.1 曲线积分及MATLAB求解n3.5.2曲面积分与MATLAB语言求解7/21/202492高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.5.1 3.5.1 曲线积分及曲线积分及MATLABMATLAB求解求解3.5.1.1 3.5.1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分7/21/202493高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-363-36】7/21/202494高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-37
21、3-37】绘制曲线7/21/202495高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.5.1.2 3.5.1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分7/21/202496高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-383-38】7/21/202497高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-393-39】7/21/202498高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.5.23.5.2曲面积分与曲面积分与MATLABMATLAB语言求解语言求解3.5.2.1 3.5.2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分7/21/202499高等应用
22、数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-403-40】7/21/2024100高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院曲面积分7/21/2024101高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-413-41】7/21/2024102高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/2024103高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院3.5.2.2 3.5.2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分7/21/2024104高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/2024105高等应用数学问题的 MA
23、TLAB 求解东北大学信息学院7/21/2024106高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院【例例3-42】的上半部，且积分沿椭球面的上面。7/21/2024107高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院本章要点简介n n本章涉及的函数小结7/21/2024108高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院7/21/2024109高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院n nIssac Newton 和 Gattfried Wilhelm Leibnitz 创立的微积分学是很多科学科学的基础，借助 MATLAB 语言的符号运算工具箱可以直接
24、对微积分学中最常见的问题，如单变量与多变量微积分、极限、级数求和、Taylor幂级数展开、Fourier 级数展开等问题直接求解。n n如果只有实验数据而未知函数原型，则需要通过数值微分的方法求其各阶微分函数，本章介绍了中心差分算法及 MATLAB实现，经验证有很好的精度。7/21/2024110高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院n n本章还给出了各种数值积分算法，介绍并比较了一般定积分、重积分的数值算法及其 MATLAB 现成函数，可以很好地用数值方法求出所需积分的解。n n列出了两类曲线积分、两类曲面积分的公式，并通过例子演示了直接求解这些问题的方法，有了这些内容，读者可以容易地由计算机计算出这些积分问题。7/21/2024111高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院有关微积分问题在其他章节有关微积分问题在其他章节n n第 8 章通过三次分段样条插值技术介绍了给定数据的数值积分函数和数值微分函数，还介绍了改进精度的内容n n第 10 章介绍的分数阶微积分学是这里介绍的整数阶微积分学内容的直接扩展，目前在很多领域的理论研究中有其作用。7/21/2024112高等应用数学问题的 MATLAB 求解东北大学信息学院
