第六章理想流体动力学

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1、第六章第六章 理想流体动力学理想流体动力学v当流体粘度很小且流体质点间的相对运动速度又不大时，当流体粘度很小且流体质点间的相对运动速度又不大时，粘性切应力是很小的，即可看成理想流体。理想流体中一粘性切应力是很小的，即可看成理想流体。理想流体中一般不存在热传导和扩散效应。般不存在热传导和扩散效应。v论论述述势势流流理理论论的的基基本本内内容容，引引出出不不可可压压缩缩流流体体平平面面流流动动的的势势函函数数、流流函函数数概概念念，重重点点讨讨论论不不可可压压缩缩流流体体平平面面无无旋旋流流动动的的速速度度势势函函数数与与流流函函数数的的关关系系以以及及求求解解势势流流问问题题的的奇奇点叠加方法。

2、点叠加方法。v从运动学的角度对理想流体旋涡流动的流场作进一步的从运动学的角度对理想流体旋涡流动的流场作进一步的讨论和分析。讨论和分析。1第六章第六章 理想流体动力学理想流体动力学61 平面势流62 速度势函数和流函数63 复势与复速度64 几种基本的平面势流65 势流的叠加66 圆柱体绕流67 理想流体的旋涡运动68 理想流体旋涡运动的基本定理69 旋涡的诱导速度610 二元旋涡的速度和压强分布二元旋涡的速度和压强分布611卡门涡街2第一节 平面势流首先定义平面流动。首先定义平面流动。平面流动平面流动是指对任一时刻，流场中所有决定运动的函数是指对任一时刻，流场中所有决定运动的函数仅与两个坐标及

3、时间有关，亦称为二元或二维流动。仅与两个坐标及时间有关，亦称为二元或二维流动。特点特点:平面有势流动平面有势流动的定义的定义:在有势质量力的作用下，理想不在有势质量力的作用下，理想不可压缩流体在相互平行的平面内可压缩流体在相互平行的平面内作定常无旋流动，称该流动为平作定常无旋流动，称该流动为平面有势流动，简称面有势流动，简称平面势流平面势流。流场中，若任意流体质点的旋转角速度向量流场中，若任意流体质点的旋转角速度向量 ，这种，这种流动称为流动称为有势流动有势流动或或无旋流动无旋流动。 3为什么要研究平面有势流动？为什么要研究平面有势流动？ 实际流动中并不存在严格的平面流动。当流动的物理量实际流

4、动中并不存在严格的平面流动。当流动的物理量在某一个方向上的变化相对其它方向上的变化可以忽略，在某一个方向上的变化相对其它方向上的变化可以忽略，而且此方向上的速度而且此方向上的速度很小时，就可简化为很小时，就可简化为平面流动问题来处理，平面流动问题来处理，通过研究这一平面上通过研究这一平面上的运动，就可以了解的运动，就可以了解整个空间的流动。如整个空间的流动。如果这种流动是有势的，果这种流动是有势的，即流体微团本身没有即流体微团本身没有旋转运动，则这种流旋转运动，则这种流动称为动称为平面有势流动平面有势流动。4第二节 速度势函数和流函数一、速度势函数一、速度势函数在无旋在无旋流动中，任一流体微团

5、的角速流动中，任一流体微团的角速度都为零，即：度都为零，即：或者：或者：（6-1）由由数学分析可知，式（数学分析可知，式（6-1）三个微分关系式的存在正是）三个微分关系式的存在正是 成为某一函数成为某一函数 全微全微分的充要条件，即：分的充要条件，即： 5（6-2）而而当当 t 为参变量时，函数为参变量时，函数 的全微分为：的全微分为：（6-3） 比较式（比较式（6-2）和（）和（6-3）得：）得：（6-4）速度势函数。速度势函数。由由式（式（6-4）可知，当流动有势时，流体力学的问题将会）可知，当流动有势时，流体力学的问题将会得到很大简化，只要求出得到很大简化，只要求出 ，即可求出速度分，即

6、可求出速度分布，再根据能量方程进而求出流场中的压强分布。布，再根据能量方程进而求出流场中的压强分布。6势势函数函数 有下列特点：有下列特点：1、势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影、势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影设设任意曲线任意曲线S上一点上一点M(x,y,z)处处的速度分量为的速度分量为Vx, Vy, Vz，则则取速度势的方向导数：取速度势的方向导数：其中：其中：将将以上关系式代入方向导数式中，则得：以上关系式代入方向导数式中，则得：7（6-5）式（式（6-5）表明：速度势函数沿任意方向取偏导数之值等于）表明：速度势函数沿任意方向取偏导数之值等于该方向上的速度分量。该方向上的速

7、度分量。2、存在势函数的流动一定是无旋流动、存在势函数的流动一定是无旋流动设某一设某一流动存在势函数，其流动的角速度分量为：流动存在势函数，其流动的角速度分量为：同同理：理：所以流动无旋的充要条件是流场有速度势函数存在。所以流动无旋的充要条件是流场有速度势函数存在。83、等势面与流线正交、等势面与流线正交在在任意瞬时，速度势函数取相同值的那些点构成流动空间任意瞬时，速度势函数取相同值的那些点构成流动空间的一个连续曲面，叫的一个连续曲面，叫等势面。等势面。过等势面上一点过等势面上一点A并在该面并在该面上任取一微元矢量上任取一微元矢量 ，求它与该点速度，求它与该点速度矢量矢量 的标量积：的标量积：

8、上式上式说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的。说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的。又因为速度矢量与流线平行，所以又因为速度矢量与流线平行，所以等势面与流线正交。等势面与流线正交。94、对于不可压缩流体，势函数是调和函数、对于不可压缩流体，势函数是调和函数不可压缩流体的连续方程为：不可压缩流体的连续方程为：对于有势流动：对于有势流动：（6-8）式（式（6-8）说明任何不可压缩流体无旋运动的势函数，必）说明任何不可压缩流体无旋运动的势函数，必满足拉普拉斯（满足拉普拉斯（Laplace）方程。满足拉普拉斯方程的函方程。满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，其解具有可叠加性。数为调和函数，其

9、解具有可叠加性。10 拉拉普普拉拉斯斯方方程程实实质质上上是是连连续续方方程程的的一一种种特特殊殊形形式式。这这样样，求求解解有有势势流流动动的的问问题题，归归结结为为求求解解满满足足一一定定边边界界条条件件的的拉拉普普拉拉斯斯方方程程。拉拉普普拉拉斯斯方方程程为为二二阶阶线线性性偏偏微微分分方方程程，已已有有多多种种成成熟熟的的求求解解方方法法。求求解解这这一一方方程程，比比用用求求解解 非非 线线 性性 的的 欧欧 拉拉 运运 动动 微微 分分 方方 程程 及及 连连 续续 性性 微微 分分 方方 程程 来来 确确 定定 要简单得多。要简单得多。11例例6-1：有一个速度大小为有一个速度大

10、小为V（定值），沿定值），沿X轴方向均匀轴方向均匀流动，求其速度势函数。流动，求其速度势函数。解：解：首先判断流动是否有势：首先判断流动是否有势：流动无旋，故流动无旋，故为有势流动。为有势流动。（1）（3）（2）12由（由（1）式积分可得：）式积分可得：由（由（2）和（）和（3）式确定）式确定 ，则：，则：令令C=0（这对这对 所代表的流场无影响）所代表的流场无影响）故有：故有：13在在平面流动中，不可压缩流体的连续方程为：平面流动中，不可压缩流体的连续方程为：二、流函数二、流函数上式可写上式可写成：成：（6-9）由数学分析可知，式（由数学分析可知，式（6-96-9）正是）正是 成为某一成为某

11、一函数函数 全微分的充分必要条件，即全微分的充分必要条件，即 （6-10）14当当 t t 为参变量时，函数为参变量时，函数 的全微分为：的全微分为： （6-11）对比（对比（6-10）和（）和（6-11）两式得：）两式得：（6-12） 符合上式条件的函数符合上式条件的函数 称为二维不可压缩流称为二维不可压缩流场的流函数。场的流函数。不可压缩流体的平面流动，无论其是无旋流动不可压缩流体的平面流动，无论其是无旋流动还是有旋流动，以及流体有、无粘性，均存在流函数，可见还是有旋流动，以及流体有、无粘性，均存在流函数，可见流函数比速度势更具普遍性。流函数比速度势更具普遍性。 15流函数流函数 有下列特

12、点：有下列特点：1等流函数线是流线等流函数线是流线 即沿同一条流线，流函数值为常数。即沿同一条流线，流函数值为常数。等流函数线上，等流函数线上， 常数常数 ，即，即由此得由此得：这就是流线方程！这就是流线方程！将将代入上式代入上式16即即所以沿着流线：所以沿着流线：因此找到流函数因此找到流函数 后，不但可以知道流场中后，不但可以知道流场中各点的速度，而且可以绘制流线，更加直观地表达流场。各点的速度，而且可以绘制流线，更加直观地表达流场。2两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间单位厚两条流线的流函数之差等于通过这两条流线间单位厚度的流体流量度的流体流量 如图所示，在流函数值为如图所示，在流函数

13、值为 的的两条流线间任作一曲线两条流线间任作一曲线ABAB，dsds为为ABAB线线上的微元线段，过微元线段处的速度上的微元线段，过微元线段处的速度为为 ，则通过，则通过dsds的单位的单位厚度流量为厚度流量为: : 17沿沿AB线段积分，可得通过线段积分，可得通过AB的流量：的流量：由于沿流线流函数值为常数，所以有：由于沿流线流函数值为常数，所以有：（6-13） 即平面流动中，通过任意两条即平面流动中，通过任意两条流线间单位厚度的流量，等于这两流线间单位厚度的流量，等于这两条流线上的流函数值之差。条流线上的流函数值之差。 同时，同时，流经任意柱面流经任意柱面AB（单位厚度）的流单位厚度）的流

14、量只取决于量只取决于A、B处的处的流函数值，而流函数值，而与曲线与曲线ABAB的形状无关。的形状无关。183、在有势流动中，流函数也是调和函数、在有势流动中，流函数也是调和函数对于平面有势流动有对于平面有势流动有:将将代入上式代入上式得得: 所以在平面有势流动中，流函数也是调和函数，也满足所以在平面有势流动中，流函数也是调和函数，也满足拉普拉斯方程。这样，解平面有势流动问题也可变为解满足拉普拉斯方程。这样，解平面有势流动问题也可变为解满足一定初、边条件的流函数的拉普拉斯方程问题。一定初、边条件的流函数的拉普拉斯方程问题。19例例6-2：设某一平面流动的流函数：设某一平面流动的流函数：试求该流动

15、的速度分量，并求通过点试求该流动的速度分量，并求通过点 和点和点 的连接线的连接线AB的流量的流量 。解：解：即流场中即流场中所有各点处的速度大小相等，方向相同。所有各点处的速度大小相等，方向相同。20通过通过AB的流量应等于的流量应等于A与与B两点处的流函数的差，即两点处的流函数的差，即即通过即通过AB连线的流量为零。连线的流量为零。实际实际AB在同一条流线上。在同一条流线上。21在在平面有势流动中，平面有势流动中，同时存在流函数和速度势，有同时存在流函数和速度势，有：三、流函数和势函数的关系三、流函数和势函数的关系两式交叉相乘得到两式交叉相乘得到：这是等势线簇这是等势线簇 和流线簇和流线簇

16、 相互正交相互正交的条件。因此，在平面有势流场中，流线簇和等势线簇组的条件。因此，在平面有势流场中，流线簇和等势线簇组成正交网格，称为成正交网格，称为流网流网。工程实际中，可利用绘制流网的。工程实际中，可利用绘制流网的方法，求解势流流速场。在计算流体力学中，也常利用流方法，求解势流流速场。在计算流体力学中，也常利用流网概念构建计算网格。网概念构建计算网格。 1 1、等流函数线簇与等势线簇正交、等流函数线簇与等势线簇正交 222 2、柯西、柯西黎曼条件黎曼条件 3 3、流函数与势函数均为调和函数、流函数与势函数均为调和函数 在平面流动中，有时用极坐标在平面流动中，有时用极坐标 比用直角坐标更为比

17、用直角坐标更为方便。在极坐标系中，速度势方便。在极坐标系中，速度势 、流函数、流函数 与流与流速速 的关系为：的关系为： 显然，流网的正交性与坐标系的选取无关。显然，流网的正交性与坐标系的选取无关。 23例例6-3：某定常平面流动为：某定常平面流动为：求这一流动的流函数和势函数，并绘制流网。求这一流动的流函数和势函数，并绘制流网。解：解：（1）检验该流动是否满足平面运动的连续方程）检验该流动是否满足平面运动的连续方程可见，该流动满足平面运动的连续方程，存在流函数：可见，该流动满足平面运动的连续方程，存在流函数：积分得：积分得：所以流线方程为：所以流线方程为：24（2）检验流动是否无旋）检验流动

18、是否无旋可见，该流动是无旋的，存在势函数：可见，该流动是无旋的，存在势函数：积分得：积分得：所以等势线方程为：所以等势线方程为：25作业：作业：6-16-326第三节 复势与复速度 由前面的内容已知，势函数和流函数均为调和函数，且由前面的内容已知，势函数和流函数均为调和函数，且它们之间满足它们之间满足柯西柯西黎曼条件：黎曼条件： 即即势函数和流函数是互为共轭的调和函数，其解可用叠加的势函数和流函数是互为共轭的调和函数，其解可用叠加的方法求解，即方法求解，即现将现将平面势流的速度平面势流的速度势函数作为某一复变函数的实部，把流势函数作为某一复变函数的实部，把流函数作为虚部，即函数作为虚部，即（6

19、-18）27则则 必必为一为一解析的复变函数，称此解析的复变函数，称此 为该平面势流的复为该平面势流的复势。此时自变量为：势。此时自变量为：对于极坐标：对于极坐标：其中：其中： 反之，若有一个复变函数是解析的，即其反之，若有一个复变函数是解析的，即其实部与虚部满实部与虚部满足足柯西柯西黎曼条件，则其黎曼条件，则其实部代表某一理论上存在的平面势实部代表某一理论上存在的平面势流的速度势函数，而其虚部则代表那个流动的流函数。流的速度势函数，而其虚部则代表那个流动的流函数。28若已知平面势流的复势，则流场中任意点处的速度就可求出。若已知平面势流的复势，则流场中任意点处的速度就可求出。根据复变函数求导公

20、式：根据复变函数求导公式：即：即： V称为复速度，其意义是复势的导数的称为复速度，其意义是复势的导数的实部为流速的实部为流速的X轴（实轴（实轴）分量，而其虚部则为流速的轴）分量，而其虚部则为流速的Y轴（虚轴）分量的负值。轴（虚轴）分量的负值。复复速度的模等于速度的绝对值：速度的模等于速度的绝对值：29根据复数的表示方法，复速度也可表示为：根据复数的表示方法，复速度也可表示为：取取W的共轭，则有：的共轭，则有：故在故在速度复平面上，速度复平面上， 是是 关于关于实轴的反影。实轴的反影。30 所以根据共轭复变数的运算方法可以简便地求出流场中所以根据共轭复变数的运算方法可以简便地求出流场中任一点的速

21、度。任一点的速度。 对于平面无旋流动，只要求出流场的复势或复速度，对于平面无旋流动，只要求出流场的复势或复速度，即可求出速度场。即可求出速度场。31第四节 几种基本的平面势流一、均匀流一、均匀流 流体作等速直线运动，流场中各点的速度大小相等、流体作等速直线运动，流场中各点的速度大小相等、方向相同的流动称为均匀流。方向相同的流动称为均匀流。 设均匀流与设均匀流与X X轴平行，速度为轴平行，速度为 ，则：，则： 由于由于故故32对上式进行积分得：对上式进行积分得： 上式中积分常数对流动没有影响，可以舍去，所以有：上式中积分常数对流动没有影响，可以舍去，所以有： 故均匀流的等势线为一簇平行于故均匀流

22、的等势线为一簇平行于Y Y轴的直线，流线是一簇平轴的直线，流线是一簇平行于行于X X轴的直线。轴的直线。 均匀流的复势为：均匀流的复势为：33二、点二、点源和点汇源和点汇 流体从一点径向均匀地呈直线向外流出，这种流动称流体从一点径向均匀地呈直线向外流出，这种流动称为为点源点源，这个点称为源点。如果流体径向直线均匀地流向，这个点称为源点。如果流体径向直线均匀地流向一点，这种流动称为一点，这种流动称为点汇点汇，这个点称为汇点，这个点称为汇点。34由于流动是径向的，根据流动连续原理，在极坐标中通过由于流动是径向的，根据流动连续原理，在极坐标中通过任一圆柱面的流量（也称为点源或点汇的强度）都相等，任一

23、圆柱面的流量（也称为点源或点汇的强度）都相等，即即 所以有：所以有：式中式中 是点源或点汇流出或流入的流量，称为点源或点汇是点源或点汇流出或流入的流量，称为点源或点汇的强度。点源取正号，点汇取负号。的强度。点源取正号，点汇取负号。 由于由于35积分上式，并令积分常数为零，得到：积分上式，并令积分常数为零，得到： 这就是点源和点汇的速度势和流函数。这就是点源和点汇的速度势和流函数。点源和点汇的复势为：点源和点汇的复势为：36当当 时，得到等势线为半径不同的同心圆；时，得到等势线为半径不同的同心圆；当当 时，得到流线为通过原点极角不同的射线，时，得到流线为通过原点极角不同的射线，等势线与流线正交。

24、当等势线与流线正交。当 时，时， ，源点或汇点称，源点或汇点称为流动的为流动的奇点奇点。在该点处的流动没有意义，必须排除在所。在该点处的流动没有意义，必须排除在所考虑的流场之外。考虑的流场之外。 37若源点和汇点的若源点和汇点的位置不在原点，则其复势应为：位置不在原点，则其复势应为：点源和点汇的复势为：点源和点汇的复势为：38三、点涡三、点涡流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径流体质点沿着同心圆的轨迹运动，且其速度大小与向径 成反比的流动称为点涡，又称为成反比的流动称为点涡，又称为自由涡自由涡。除涡线本身外为无。除涡线本身外为无旋流动。旋流动。39设点涡的强度为设点涡的强度为 ，则

25、任一半径，则任一半径 处流体的速度由斯托处流体的速度由斯托克斯定理可求得：克斯定理可求得： 于是有：于是有：所以原点处有旋无势，中心处为固体涡：所以原点处有旋无势，中心处为固体涡：其它处为自由涡，速度分布为：其它处为自由涡，速度分布为：点涡所感生的流体运动，除点涡本身外，均为无旋有势流点涡所感生的流体运动，除点涡本身外，均为无旋有势流动，而涡点本身是这个流动中的奇点。动，而涡点本身是这个流动中的奇点。40积分上式，并令积分常数为零，得到：积分上式，并令积分常数为零，得到： 这就是点涡的速度势和流函数。这就是点涡的速度势和流函数。由于由于41点涡的复势为：点涡的复势为：若若涡点涡点的的位置不在原

26、点，则其复势应为：位置不在原点，则其复势应为：对应于涡的逆对应于涡的逆时针方向！时针方向！42当当 时，得到等势线为通过原点极角不同的射线；时，得到等势线为通过原点极角不同的射线；当当 时，得到流线为半径不同的同心圆，等势线时，得到流线为半径不同的同心圆，等势线与流线正交。与流线正交。43例例6-4：距台风中心距台风中心8000米处的风速为米处的风速为13.33m/s，气压表读气压表读数为数为98200Pa，试求距台风中心试求距台风中心800米处的风速和风压，假定米处的风速和风压，假定流场为自由涡诱导流动。流场为自由涡诱导流动。解：解：自由涡的强度是：自由涡的强度是：由伯努利方程可得：由伯努利

27、方程可得：即即则则r=800m处的处的速度为速度为:44第五节 势流的叠加一、势流叠加原理一、势流叠加原理 由于拉普拉斯方程是线性方程，故几个满足该方程的由于拉普拉斯方程是线性方程，故几个满足该方程的速度势或流函数，线性叠加后得到的新的速度势和流函数，速度势或流函数，线性叠加后得到的新的速度势和流函数，仍满足拉普拉斯方程。仍满足拉普拉斯方程。 设有两个平面无旋流动的设有两个平面无旋流动的势流，其速度势分别为势流，其速度势分别为 它们线性叠加后的新的速度势为：它们线性叠加后的新的速度势为： 由于由于速度势速度势 均满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程均满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线性的，所以

28、叠加后的速度势函数又是线性的，所以叠加后的速度势函数 仍满足拉普拉仍满足拉普拉斯方程，即斯方程，即45同样，同样，叠加后的流函数叠加后的流函数 仍满足拉普拉斯方程，即仍满足拉普拉斯方程，即将将速度势函数速度势函数 对对X X轴取偏导数，得：轴取偏导数，得： 即：即：同样，将同样，将速度势函数速度势函数 对对Y Y轴取偏导数，得：轴取偏导数，得： 所以叠加后的流速为：所以叠加后的流速为：46设流场中设流场中存在几个势流，它们的复势分别为：存在几个势流，它们的复势分别为：势势流的叠加原理：流的叠加原理：叠加两个或更多的势流时，叠加后的流动叠加两个或更多的势流时，叠加后的流动仍然是势流，合成流动的复

29、势为分流动复势的代数和。仍然是势流，合成流动的复势为分流动复势的代数和。势流的叠加原理为用解析法求解某些较复杂的势流问题，提势流的叠加原理为用解析法求解某些较复杂的势流问题，提供了一个有效的途径。供了一个有效的途径。 研究势流叠加原理的意义在于，将复杂的势流分解成一些简研究势流叠加原理的意义在于，将复杂的势流分解成一些简单势流，将求得的这些简单流动的解叠加起来，就得到复杂单势流，将求得的这些简单流动的解叠加起来，就得到复杂流动的解。流动的解。 则则合成流动的复势为：合成流动的复势为：47二、点汇和点涡叠加的流动二、点汇和点涡叠加的流动-旋涡流旋涡流 若点源和点涡同置于坐标原点，叠加后组成一新的

30、流场，若点源和点涡同置于坐标原点，叠加后组成一新的流场，其合成流动的复势为：其合成流动的复势为：其其速度势和流函数为：速度势和流函数为： 48等势线：等势线：流线：流线：流线和等势线是相互正交的流线和等势线是相互正交的对数螺旋线簇，称为对数螺旋线簇，称为螺旋流螺旋流。离心式水泵和风机蜗壳内的离心式水泵和风机蜗壳内的流动就类似于点源和点汇叠流动就类似于点源和点汇叠加得到的螺旋流。加得到的螺旋流。 49三、点源和点汇叠加的流动三、点源和点汇叠加的流动-偶极子流偶极子流 点源位于点点源位于点A(-a,0)A(-a,0)，点汇位于点点汇位于点B(a,0)B(a,0)，则叠加后流动则叠加后流动的复势为：

31、的复势为： 若源和汇的强度相等，即若源和汇的强度相等，即 则：则：如果源和汇无限接近，即如果源和汇无限接近，即 若强度不变，则汇将源中流出若强度不变，则汇将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何的流体全部吸掉而不发生任何流动。流动。50若在若在 2a 2a 逐渐缩小时，强度逐渐缩小时，强度q q 逐渐增大，当逐渐增大，当 2a 2a 减小到零减小到零时，时，q q 增大到无穷大，使得增大到无穷大，使得 取有限值，取有限值，这种极限状态下的流动称为这种极限状态下的流动称为偶积子流偶积子流。M M为偶极矩，这是一为偶极矩，这是一个向量，方向从点源到点汇。个向量，方向从点源到点汇。 51下面求偶极子的复

32、势下面求偶极子的复势:或或52将将其实部和虚部分开后可得偶极子流动的势函数和流函数的其实部和虚部分开后可得偶极子流动的势函数和流函数的表达式表达式:1、等势线、等势线令令将将 代代入上入上式：式：53整理得：整理得：表明等势线是一族圆心在表明等势线是一族圆心在X X轴上，并与轴上，并与Y Y轴在原点相切的圆轴在原点相切的圆周族，如图周族，如图中中虚线所示。虚线所示。 2、流线、流线令令将将 代代入上入上式：式：54整理得：整理得：可见，流线是一族圆心在可见，流线是一族圆心在Y Y轴上，轴上，并与并与X X轴在原点相切的圆周族，轴在原点相切的圆周族，如图如图中中实线所示。实线所示。 55作业：作

33、业：6-46-656第六节 圆柱体绕流 假设流动为理想不可压缩流体的定常无旋流动。假设流动为理想不可压缩流体的定常无旋流动。 理想不可压缩流体的平面势流问题中主要是绕流问题，理想不可压缩流体的平面势流问题中主要是绕流问题，其中均匀流绕圆柱流动是最基本的问题之一。其中均匀流绕圆柱流动是最基本的问题之一。 设有一速度为设有一速度为 的均的均匀流，从与圆柱体轴垂直的匀流，从与圆柱体轴垂直的方向绕过一半径为方向绕过一半径为 的无的无限长圆柱体，这一流动可看限长圆柱体，这一流动可看作平面流动作平面流动。 下面将圆柱体绕流分两下面将圆柱体绕流分两种情况进行讨论。种情况进行讨论。 57一、圆柱无环量绕流一、

34、圆柱无环量绕流 圆圆柱柱体体无无环环量量绕绕流流是是由由均均匀匀流流和和偶偶极极子子流流叠叠加加而而成成的的平平面流动，如图所示。面流动，如图所示。1 1、速度势和流函数、速度势和流函数 若若均均匀匀流流的的速速度度为为 ，沿沿X轴轴正正向向流流动动，偶偶极极子子流流的的偶偶极极矩为矩为M，二者叠加后的复势为：二者叠加后的复势为：M M为偶极子流的偶极矩。为偶极子流的偶极矩。 58 将将上上式式实实部部和和虚虚部部分分开开后后，可可得得圆圆柱柱体体无无环环量量绕绕流流的的速速度度势和流函数为：势和流函数为：59将流函数将流函数 的流线称为零流线，由上式得的流线称为零流线，由上式得：或或即零流线

35、方程为：即零流线方程为： 或或可见，零流线是一个以坐标原点为圆心，可见，零流线是一个以坐标原点为圆心，半径为半径为 的圆周和的圆周和X X轴。轴。 由于流体不能穿过流线，零由于流体不能穿过流线，零流线的圆可以代之以圆柱面。流线的圆可以代之以圆柱面。 60因此，一个均匀流绕过半径为因此，一个均匀流绕过半径为 的圆柱体的平面流动，可的圆柱体的平面流动，可以用这个均匀流与偶极子流叠加而成的组合流动来代替。以用这个均匀流与偶极子流叠加而成的组合流动来代替。 所以，均匀流绕过圆柱体无环量的平面流动的速度势和流函所以，均匀流绕过圆柱体无环量的平面流动的速度势和流函数可写成：数可写成：复势复势为：为：上面表

36、达式中上面表达式中 ，因为，因为 在圆柱体内，没有实在圆柱体内，没有实际意义。际意义。 612、速度分布、速度分布流场中任流场中任一点一点 的速度分量为：的速度分量为：表明流体在无穷远处变为均匀流。表明流体在无穷远处变为均匀流。62在极在极坐标系中，速度分量为：坐标系中，速度分量为：沿包围圆柱体的任意周线的速度环量为：沿包围圆柱体的任意周线的速度环量为： 所以均匀流与偶极子流叠加得到的流动为圆柱体无环所以均匀流与偶极子流叠加得到的流动为圆柱体无环量绕流流动。量绕流流动。 63柱面柱面上上 速度分布：速度分布：直角坐标系下，柱直角坐标系下，柱面面上的速度分布：上的速度分布：64这说明，沿圆柱体表

37、面流体只有切线方向的速度，没有径向这说明，沿圆柱体表面流体只有切线方向的速度，没有径向速度，即组合流动紧贴圆柱表面，既没有流体穿入，也没有速度，即组合流动紧贴圆柱表面，既没有流体穿入，也没有脱离圆柱面。脱离圆柱面。 柱面柱面上速度分布：上速度分布：或或在圆柱面上速度是按照在圆柱面上速度是按照正弦规律正弦规律分布的。在分布的。在 （B B点）点）和和 （A A点）处，点）处， ，A A、B B二点是分流点，称二点是分流点，称它们为它们为前驻点前驻点和和后驻点后驻点。 在圆柱面的上下顶点，在圆柱面的上下顶点， ，达到圆柱面速度的最大值。，达到圆柱面速度的最大值。 653、柱面压力分布、柱面压力分布

38、列无穷远处和圆柱面上某点的伯努利方程，可得列无穷远处和圆柱面上某点的伯努利方程，可得：将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布：将圆柱面上的速度带入上式，可得圆柱面上的压强分布： 工程上常采用压强系数来表示圆柱体上任一点处的压强，工程上常采用压强系数来表示圆柱体上任一点处的压强，其定义为：其定义为： 66由上式知，无量纲压强系数与圆柱体的半径和无穷远处的由上式知，无量纲压强系数与圆柱体的半径和无穷远处的速度、压强无关，仅是坐标速度、压强无关，仅是坐标 的函数。的函数。具有这样特性的压具有这样特性的压强系数，也可以推广到其他形状的物体（例如叶片的叶型强系数，也可以推广到其他形状的物体（例

39、如叶片的叶型等）。等）。在圆柱面的前驻点在圆柱面的前驻点 和后驻点和后驻点 处，处， ，这时压强具有最大值。，这时压强具有最大值。在圆柱面的上、下顶点在圆柱面的上、下顶点处，处， ， ，此时压强具有最小值。此时压强具有最小值。沿圆柱表面压强系数的沿圆柱表面压强系数的分布如图所示。分布如图所示。 674、柱面所受合力、柱面所受合力 从从图图中中可可看看出出，圆圆柱柱面面上上的的压压力力分分布布对对称称X轴轴和和Y轴轴，因因此此，流流体体在在圆圆柱柱面面上上的的合合力力等等于于零零。将将圆圆柱柱面面上上的的压压力力在在圆圆柱面上积分，也可得到流体作用在圆柱体上的合力为零柱面上积分，也可得到流体作用

40、在圆柱体上的合力为零 流体作用在圆柱体流体作用在圆柱体上的总压力沿上的总压力沿X X轴和轴和Y Y轴轴的分量，即圆柱体受到的分量，即圆柱体受到的与来流方向平行和垂的与来流方向平行和垂直的作用力，分别称为直的作用力，分别称为流体作用在圆柱体上的流体作用在圆柱体上的阻力阻力D D和和升力升力L L。 68对于理想流体：对于理想流体：上上式式表表明明，理理想想流流体体的的均均匀匀流流绕绕过过圆圆柱柱体体的的无无环环量量的的流流动动中，圆柱体既不受阻力作用，也不产生升力。中，圆柱体既不受阻力作用，也不产生升力。 这这一一结结论论不不只只适适用用于于圆圆柱柱体体，同同时时还还可可推推广广到到任任意意剖剖

41、面面形形状状的的柱柱体体绕绕流流问问题题中中去去。但但出出现现这这种种情情况况的的先先决决条条件件是是流流体体在在绕绕过过物物体体时时不不发发生生脱脱流流现现象象，即即流流体体不不从从物物体体表表面面分分离离而而形形成成旋旋涡涡。理理想想流流体体均均匀匀绕绕过过物物体体时时不不受受合合力力的的作作用用，这这就就是是著名的著名的达朗贝尔疑题达朗贝尔疑题。69 在实际流体中，由于粘性的作用，流体绕过圆柱时必在实际流体中，由于粘性的作用，流体绕过圆柱时必然产生摩擦，且流动要发生分离，流动图形与理想流体绕然产生摩擦，且流动要发生分离，流动图形与理想流体绕流截然不同，实验测量出的与理论计算出的压强分布曲

42、线流截然不同，实验测量出的与理论计算出的压强分布曲线有很大的差别，如图中虚线所示。因此，圆柱体在实际流有很大的差别，如图中虚线所示。因此，圆柱体在实际流动中的绕流将产生阻力。圆柱表面的速度分布与压力分布动中的绕流将产生阻力。圆柱表面的速度分布与压力分布不再关于不再关于Y Y轴对称了。轴对称了。 70例例6-5：如图所示，有一个半径为如图所示，有一个半径为 的圆柱体被无穷的圆柱体被无穷远速度远速度 的均匀来流绕过。现从圆柱表面上开两的均匀来流绕过。现从圆柱表面上开两个测压孔个测压孔A和和B，其位置为其位置为 ，从两测压孔分别，从两测压孔分别接出测压管到水银差压计。接出测压管到水银差压计。如果流体

43、的密度如果流体的密度 ，水银的密度水银的密度试求：试求：（1）差压计中的液柱差）差压计中的液柱差 （2）差压计中哪只测压）差压计中哪只测压管中的液柱的液面较低？管中的液柱的液面较低？71解：解：差压计液面差可根据静力学原理如下计算：差压计液面差可根据静力学原理如下计算：根据圆柱无环量绕流时表面压力分布的公式可知：根据圆柱无环量绕流时表面压力分布的公式可知：7273例例6-6：一半径一半径 的圆柱置于水流中，中心位于原的圆柱置于水流中，中心位于原点点(0,0)，在无穷远处有一平行于，在无穷远处有一平行于X轴的均匀流，方向沿轴的均匀流，方向沿X轴正方向，轴正方向，试求点试求点(-2,1.5) 处的速度分量。处的速度分量。 74解：解：此问题属于圆柱绕流问题，按照速度分布公式，有此问题属于圆柱绕流问题，按照速度分布公式，有 ：坐标变换坐标变换75