要点梳理基本不等式基本不等式成立的条件等号ppt课件

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1、要点梳理要点梳理1.1.根本不等式根本不等式 (1)(1)根本不等式成立的条件根本不等式成立的条件:_.:_.(2)(2)等号成立的条件等号成立的条件: :当且仅当当且仅当_时取等号时取等号. .7.4 7.4 根本不等式根本不等式: : a0,b0a0,b0a=ba=b根底知识根底知识 自主学习自主学习2.2.几个重要的不等式几个重要的不等式 (1)a2+b2 _(a,bR). (1)a2+b2 _(a,bR). (2) _(a,b (2) _(a,b同号同号).). (3) (a,bR). (3) (a,bR). (4) (a,bR). (4) (a,bR).3.3.算算术平均数与几何平均

2、数平均数与几何平均数 设a0,b0a0,b0，那么，那么a,ba,b的算的算术平均数平均数为 , ,几何平均几何平均 数数为_，根本不等式可表达，根本不等式可表达为：_ _. _. 2ab2ab2 2术平均数不小于它平均数不小于它们的几何平均数的几何平均数两个正数的算两个正数的算4.4.利用根本不等式求最值问题利用根本不等式求最值问题 知知x0,y0,x0,y0,那么那么 (1) (1)假设积假设积xyxy是定值是定值p p，那么当且仅当，那么当且仅当_时，时，x+y x+y 有最有最_值是值是_._.简记：积定和最小简记：积定和最小 (2) (2)假设和假设和x+yx+y是定值是定值p,p,

3、那么当且仅当那么当且仅当_时时,xy,xy有最有最 _ _值是值是_._.简记：和定积最大简记：和定积最大 x=yx=y小小x=yx=y大大根底自根底自测1.1.以下以下结论中不正确的中不正确的选项是是 A. B. A. B. C.a2+b22ab D. C.a2+b22ab D. 解析解析 只需当只需当a a、b b同号且不同号且不为零零时 成立，成立， B2.2.知向量知向量a=(x-1,1),b= a=(x-1,1),b= 那么那么|a+b|a+b|的最小的最小 值 是是 A.1 B. C. D.2 A.1 B. C. D.2 解析解析 a+b= a+b= |a+b|= |a+b|= B

4、3.3.当当x1x1时，关于函数，关于函数 以下表达正确以下表达正确 的是的是 A. A.函数函数f(x)f(x)有最小有最小值2 2 B. B.函数函数f(x)f(x)有最大有最大值2 2 C. C.函数函数f(x)f(x)有最小有最小值3 3 D. D.函数函数f(x)f(x)有最大有最大值3 3 解析解析 x1,x-10, x1,x-10,C4.4.知知a0,b0a0,b0， 那么那么a+2ba+2b的最小的最小值为 A. B. C. D.14 A. B. C. D.14 解析解析 据据题意知意知A5.5.假假设0x10x1，那么，那么f(x)=x(4-3x)f(x)=x(4-3x)获得

5、最大得最大值时，x x的的值为 A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 0x0, 0x0, x(4-3x)= 3x(4-3x) x(4-3x)= 3x(4-3x) 当且当且仅当当3x=4-3x,3x=4-3x,即即x= x= 时获得等号得等号. . D 题型一型一 利用根本不等式利用根本不等式证明不等式明不等式【例【例1 1】知】知x0,y0,z0.x0,y0,z0. 求求证： 由由题意，先部分运用根本不等式，再利意，先部分运用根本不等式，再利 用不等式的性用不等式的性质即可得即可得证. .思想启迪思想启迪题型分类题型分类 深度分析深度分析证明明 x0,y0,z0, x0,y

6、0,z0,当且当且仅当当x=y=zx=y=z时等号成立等号成立. . 利用根本不等式证明不等式是综合法证明利用根本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思绪是从已证不等式和问题不等式的一种情况，证明思绪是从已证不等式和问题的知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经的知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐渐的逻辑推理最后转化为需证问题过逐渐的逻辑推理最后转化为需证问题. . 探求提高探求提高知能迁移知能迁移1 1 1 1证明：明：a4+b4+c4+d44abcd;a4+b4+c4+d44abcd; (2) (2)知知a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,求求证:

7、: 证明明 1 1a4+b4+c4+d42a2b2+2c2d2a4+b4+c4+d42a2b2+2c2d2 =2(a2b2+c2d2)22abcd=4abcd. =2(a2b2+c2d2)22abcd=4abcd. 原不等式得原不等式得证. . 2 2a0,b0,a+b=1a0,b0,a+b=1， 所以原不等式成立所以原不等式成立. . 题型二型二 利用根本不等式求最利用根本不等式求最值【例【例2 2】求以下各】求以下各题的最的最值. .1 1知知x0,y0,lg x+lg y=1,x0,y0,lg x+lg y=1,求求 的最的最 小小值；2 2x0,x0,求求 的最小的最小值；3 3x3x

8、0, x0, 是常数，故可直接利用根本是常数，故可直接利用根本不等式不等式. .3 3由于由于 不是常数，故需变形不是常数，故需变形. . 又又x-30x-30,y0,lg x+lg y=1,x0,y0,lg x+lg y=1,可得可得xy=10.xy=10.当且仅当当且仅当2y=5x,2y=5x,即即x=2,y=5x=2,y=5时等号成立时等号成立. .方法二方法二 由由x0,y0,lg x+lg y=1,x0,y0,lg x+lg y=1,可得可得 当且仅当当且仅当 即即x=2,y=5x=2,y=5时等号成立时等号成立. . (2)x0, (2)x0, 等号成立的条件是等号成立的条件是 即

9、即x=2,x=2,f(x)f(x)的最小的最小值是是12.12.(3)x3,x-30,(3)x3,x-30,当且当且仅当当 即即x=1x=1时，等号成立，等号成立. .故故f(x)f(x)的最大的最大值为-1. -1. (4)(4)令令sin2x+1=t,sin2x+1=t,那么那么t1t1，22，故，故 任取任取t1,t2t1,t21 1，2 2且且t1t2,t1t2,t1t2t1t2且且t1,t21t1,t21，22，t1-t20,t1t2-50,t1-t20,t1t2-50,g(t1)g(t2), g(t1)-g(t2)0,g(t1)g(t2), g(t)g(t)在在11，22上是减函数

10、，上是减函数，f(x)min= f(x)min= 等号成立的条件是等号成立的条件是sin2x+1=2.sin2x+1=2.sin x=1, sin x=1, 故故f(x)f(x)的最小的最小值是是 利用根本不等式求最利用根本不等式求最值问题, ,根本方法根本方法是借助条件化二元函数是借助条件化二元函数为一元函数一元函数, ,代代换过程中程中应注注意元的范意元的范围, ,同同时也要留意也要留意“拆拆项、“凑凑项的技的技巧，特巧，特别要留意等号能否取到要留意等号能否取到. . 探求提高探求提高知能迁移知能迁移2 2 1 1知知x0,y0x0,y0，且，且 求求x+y x+y 的最小的最小值；2 2

11、知知x x0,y0, x0,y0, 当且当且仅当当 时，上式等号成立，上式等号成立，x=4,y=12x=4,y=12时，(x+y)min=16. (x+y)min=16. (2)x0,(2)x0,-2+3=1,-2+3=1,当且当且仅当当 即即x=1x=1时，上式等号成立，上式等号成立，故当故当x=1x=1时，ymax=1.ymax=1.(3)(3)由由2x+8y-xy=0,2x+8y-xy=0,得得2x+8y=xy,2x+8y=xy,当且当且仅当当 即即x=2yx=2y时取等号，取等号，又又2x+8y-xy=0,x=12,y=6,2x+8y-xy=0,x=12,y=6,当当x=12,y=6x

12、=12,y=6时，x+yx+y取最小取最小值18. 18. 题型三题型三 利用根本不等式解运用题利用根本不等式解运用题【例【例3 3】(12(12分分) )某造纸厂拟建一座平某造纸厂拟建一座平 面图形为矩形且面积为面图形为矩形且面积为162162平方米的平方米的 三级污水处置池三级污水处置池, ,池的深度一定池的深度一定( (平面图如下图平面图如下图),), 假设池四周围墙建造单价为假设池四周围墙建造单价为400400元元/ /米，中间两道隔米，中间两道隔 墙建造单价为墙建造单价为248248元元/ /米米, ,池底建造单价为池底建造单价为8080元元/ /米米2,2, 水池一切墙的厚度忽略不

13、计水池一切墙的厚度忽略不计. .1 1试设计污水处置池的长和宽，使总造价最低，试设计污水处置池的长和宽，使总造价最低， 并求出最低总造价；并求出最低总造价；2 2假设由于地形限制，该池的长和宽都不能超越假设由于地形限制，该池的长和宽都不能超越1616 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求 出最低总造价出最低总造价. . 思想启迪思想启迪 设污水水处置池的置池的宽为x x米米, ,那么那么长为 米米, , 由由题意可建立意可建立总造价与造价与x x的函数关系的函数关系, ,进而而经过求函数求函数的最的最值确定确定x x的取的取值. .解解 1

14、1设污水水处置池的置池的宽为x x米，米，那么那么长为 米米. 1. 1分分当且当且仅当当 (x0), (x0), 即即x=10x=10时取等号取等号. 5. 5分分当当长为16.216.2米，米，宽为1010米米时总造价最低，最低造价最低，最低总造造价价为38 88038 880元元. 6. 6分分2 2由限制条件知由限制条件知 8 8分分 g(x)g(x)有最小有最小值， 10 10分分即即f(x)f(x)有最小有最小值为当当长为1616米，米，宽为 米米时，总造价最低，造价最低，为38 88238 882元元. 12. 12分分 1 1解运用解运用题时，一定要留意，一定要留意变量的量的实

15、际意意义，即，即变量的取量的取值范范围. .2 2在求函数最在求函数最值时，除运用根本不等式外，除运用根本不等式外, ,有有时会会出出现根本不等式取不到根本不等式取不到“=“=，此，此时要思索函数的要思索函数的单调性性. . 探求提高探求提高知能迁移知能迁移3 3 某学校某学校拟建一建一块周周长为400 m400 m的操的操场如如 图所示，操所示，操场的两的两头是半是半圆形形, ,中中间区域是矩形区域是矩形, ,学学 生做操普通安排在矩形区域，生做操普通安排在矩形区域，为了能了能让学生的做操学生的做操 区域尽能区域尽能够大，大，试问如何如何设计矩形的矩形的长和和宽？解解 设中中间矩形区域的矩形

16、区域的长，宽分分别为x m,y m,x m,y m,中中间的矩形区域面的矩形区域面积为S S，那么半，那么半圆的周的周长为 由于操由于操场周周长为400,400,所以所以 即把矩形的长和宽分别设计为即把矩形的长和宽分别设计为100 m100 m和和 时，时，矩形区域面积最大矩形区域面积最大. .1.1.恒等变形：为了利用根本不等式恒等变形：为了利用根本不等式, ,有时对给定的代有时对给定的代 数式要进展适当变形数式要进展适当变形. .比如：比如：方法与技巧方法与技巧思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.常用不等式：以下不等式在解常用不等式：以下不等式在解题时运用更直接运用更直接. . (1

17、) (a0, (1) (a0,且且aR),aR),当且当且仅当当a=1a=1时“=“= 成立成立. . (2) (a0,b0,a,bR), (2) (a0,b0,a,bR),当且当且仅当当a=ba=b时 “= “=成立成立. . 3.3.二次配方：二次配方：a0,aR,a0,aR,运用不等式运用不等式 可解可解 决部分分式不等式的最决部分分式不等式的最值问题. .比如：当比如：当x2x2时，运用根本不等式求最运用根本不等式求最值, ,其失其失误的真正的真正缘由是其存在由是其存在 前提前提“一正、二定、三相等的忽一正、二定、三相等的忽视. .要利用根本不要利用根本不等式求最等式求最值，这三个条件

18、缺一不可三个条件缺一不可. .失误与防备失误与防备(1)(1)确保确保“一正一正. .对于于负数，很多不等关系就不一定数，很多不等关系就不一定成立成立. .如：当如：当x0x0x0时，y2,x0y2,x0a0，b0,b0,假假设 是是3a3a与与3b3b的的 等比中等比中项，那么，那么 的最小的最小值为 A.8 B.4 C.1 D. A.8 B.4 C.1 D. 解析解析 由由题意知意知3a3b=3,3a3b=3,即即3a+b=33a+b=3，所以，所以a+b=1.a+b=1. 由于由于a0,b0,a0,b0, 当且当且仅当当a=ba=b时，等号成立，等号成立. . B3.3.知知x0x0，y

19、0y0，lg 2x+lg 8y=lg 2,lg 2x+lg 8y=lg 2,那么那么 的最的最 小小值是是 A.2 B. C.4 D. A.2 B. C.4 D. 解析解析 由由lg 2x+lg 8y=lg 2,lg 2x+lg 8y=lg 2,得得lg 2x+3y=lg 2,lg 2x+3y=lg 2, x+3y=1, x+3y=1,C4.4.知知 a2), (x2), (xn B.mn B.m 5.x 那么那么 的最小的最小值为 ( ) ( ) A.-3 B.2 C.5 D.7 A.-3 B.2 C.5 D.7 解析解析 D6.6.函数函数 x(0,3) x(0,3)，那么，那么 A.f(

20、x) A.f(x)有最大有最大值 B.f(x) B.f(x)有最小有最小值-1-1 C.f(x) C.f(x)有最大有最大值1 D.f(x)1 D.f(x)有最小有最小值1 1 解析解析 x(0,3),x-1(-1,2), x(0,3),x-1(-1,2), (x-1)20 (x-1)20，4)4)， 当且当且仅当当 且且x(0,3),x(0,3), 即即x=2x=2时取等号，取等号，当当x=2x=2时，函数，函数f(x)f(x)有最小有最小值1. 1. D二、填空二、填空题7.7.假假设正数正数a a、b b满足足 那么那么a+ba+b的最小的最小值为_._. 解析解析8.8.函数函数y=a

21、x-1 (a0,y=ax-1 (a0,且且a1) a1) 的的图象恒象恒过定点定点A,A,假假设点点 A A在一次函数在一次函数y=mx+ny=mx+n的的图象上，其中象上，其中m,n0,m,n0,那么那么 的最小的最小值为_._. 解析解析 由由题知知A A1 1，1 1，m+n=1m+n=1，m,n0.m,n0.4 49.9.假假设实数数a,ba,b满足足ab-4a-b+1=0(a1)ab-4a-b+1=0(a1)，那么，那么(a+1)(b+2) (a+1)(b+2) 的最小的最小值为_._. 解析解析 ab-4a-b+1=0, ab=4a+b-1, ab-4a-b+1=0, ab=4a+

22、b-1, (a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 (a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 a1,a-10. a1,a-10. 当且当且仅当当(a-1)2=1,(a-1)2=1,即即a=2a=2时成立成立. . 最小最小值为27. 27. 答案答案 27 27三、解答三、解答题 10.(1)10.(1)求函数求函数y=x(a-2x) (x0y=x(a-2x) (x0，a a为大于大于2x2x的常数的常数) )的的 最大最大值； (2) (2)设x-1,x-1,求函数求函数 的最的最值. . 解解 1 1x0,a2x,x0,a2x, 当且当且仅当当 时取等号，故

23、函数的最大取等号，故函数的最大值为 2 2x-1,x+10.x-1,x+10.设x+1=z0,x+1=z0,那么那么x=z-1x=z-1当且当且仅当当z=2,z=2,即即x=1x=1时上式取等号上式取等号. .x=1x=1时, ,函数函数y y有最小有最小值9,9,无最大无最大值. . 11.(1)11.(1)知知a0,b0,c0a0,b0,c0且且a+b+c=1.a+b+c=1. 求求证: : 2 2知知a0,b0,a0,b0,求求证： 证明明 1 1a+b+c=1,a+b+c=1, =3+2+2+2=9. =3+2+2+2=9. 等号成立的条件是等号成立的条件是a=b=c,a=b=c,故故

24、 2 2方法一方法一 方法二方法二 a0,b0, a0,b0, 由不等式的性由不等式的性质+得：得：12.12.西北西康羊皮手套公司预备投入适当的广告费，西北西康羊皮手套公司预备投入适当的广告费， 对消费的羊皮手套进展促销对消费的羊皮手套进展促销. .在在1 1年内年内, ,据测算年销售据测算年销售 量量S S万双与广告费万双与广告费x x万元之间的函数关系为万元之间的函数关系为 (x0), (x0),知羊皮手套的固定投入为知羊皮手套的固定投入为3 3万元万元, , 每消费每消费1 1万元羊皮手套仍需再投入万元羊皮手套仍需再投入1616万元万元. .年销售年销售 收入收入= =年消费本钱的年消

25、费本钱的150%+150%+年广告费的年广告费的50%50% (1) (1)试将羊皮手套的年利润试将羊皮手套的年利润L L万元表示为年广告万元表示为年广告 费费x(x(万元万元) )的函数；的函数； (2) (2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利 润最大润最大, ,最大利润为多少？年利润最大利润为多少？年利润= =年销售收入年销售收入- - 年广告费年广告费 解解 (1) (1)由由题意知意知, ,羊皮手套的年本羊皮手套的年本钱为(16S+3)(16S+3)万元万元, , 年年销售收入售收入为16S+316S+3150%+x50%150%+x50%， 年利年利润L=L=16S+316S+3150%+x50%-150%+x50%-16S+316S+3-x-x， 当且当且仅当当 即即x=4x=4时，L L有最大有最大值为21.521.5， 因此，当年广告因此，当年广告费投入投入为4 4万元万元时，此公司的年利，此公司的年利润 最大，最大利最大，最大利润为21.521.5万元万元. . 前往前往