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1、一一 简介简介一、一、MathematicaMathematica的主要功能的主要功能1、符号运算功能：、符号运算功能：Mathematica最突出最突出的特点就是具有强大的符号运算功能，的特点就是具有强大的符号运算功能，能和人一样进行带字母的运算，得到精能和人一样进行带字母的运算，得到精确的结果。符号运算功能可以分成确的结果。符号运算功能可以分成4大类：大类： ( (1) )初等数学初等数学：进行各种数和初等函数式：进行各种数和初等函数式 的计算与化简。的计算与化简。( (2) )微积分微积分：求极限、导数：求极限、导数( (包括高阶导数包括高阶导数和偏导数等和偏导数等) )、不定积分和定积
2、分、不定积分和定积分( (包括多包括多重积分重积分), ), 将函数展成幂级数将函数展成幂级数, , 进行无穷进行无穷级数求和及积分变换。级数求和及积分变换。(3) 线性代数线性代数：进行行列式的计算、矩阵的各：进行行列式的计算、矩阵的各种运算种运算(加法、乘法、求逆矩阵等加法、乘法、求逆矩阵等)、解线性方、解线性方程组、求特征值和特征向量、进行矩阵分解。程组、求特征值和特征向量、进行矩阵分解。 (4)解方程组解方程组：解各类：解各类( (微分微分) )方程组。方程组。2、数数值值计计算算功功能能：可可以以做做任任意意位位数数的的整整数数或或分分子子分分母母为为任任意意大大整整数数的的有有理理
3、数数的的精精确确计计算算，做做具具有有任任意意位位精精度度的的数数值值（实实、复复数数）计计算算。Mathematica具具有有众众多多的的数数值值计计算算函函数数，能能满满足足线线性性代代数数、插插值值与与拟拟合合、数数值值积积分分、微微分分方方程程数数值值解解、求求极极值值、线线性性规规划划及及概率统计等方面的常用计算需求。概率统计等方面的常用计算需求。3、绘图功能：、绘图功能：能绘制各种二维平面图能绘制各种二维平面图形与全方位的三维立体彩色图形，自动形与全方位的三维立体彩色图形，自动化程度很高。化程度很高。4、编程功能：、编程功能：用户可以自己编写各种用户可以自己编写各种程序程序(文本文
4、件文本文件)，开发新的功能。，开发新的功能。二、基本知识二、基本知识1 1、启动与运行方法、启动与运行方法Mathematica作为标准的作为标准的Windows程序，程序，其启动方式与其启动方式与Windows下其它程序的下其它程序的启动方式一样。启动方式一样。 左边为工作窗口区，可以直接输入函数或命左边为工作窗口区，可以直接输入函数或命令；工作区窗口右边的是基本输入模板，由令；工作区窗口右边的是基本输入模板，由一系列按钮组成；图上方所示的是主菜单。一系列按钮组成；图上方所示的是主菜单。 当输入完算式后按当输入完算式后按Shift+Enter键或键或小键盘小键盘中中Enter键键的执行计算，
5、而的执行计算，而“Enter”键可以键可以用来换行。如果执行运行后长时间没有完成用来换行。如果执行运行后长时间没有完成计算，可以通过计算，可以通过“Alt+空格键，空格键，”或或“Alt+.”来强制停止计算。来强制停止计算。 Mathematica的界面由的界面由工作区窗口工作区窗口、基本输入基本输入模板模板和和主菜单主菜单组成。组成。 Mathematica中的变量名是以字母开头并中的变量名是以字母开头并由字母或数字组成的字符串（长度不限），由字母或数字组成的字符串（长度不限），不能含有空格或标点符号，大写与小写字母不能含有空格或标点符号，大写与小写字母用于表示不同的变量。一个变量可以表示各
6、用于表示不同的变量。一个变量可以表示各种类型的数或字符串，也可以表示一个算式。种类型的数或字符串，也可以表示一个算式。与与C语言不同，不必事先声明变量的类型，语言不同，不必事先声明变量的类型，Mathematica会根据用户给变量所赋的值自会根据用户给变量所赋的值自动处理。动处理。 2 2、变量、变量 使用等号给变量赋值，具体格式如下：使用等号给变量赋值，具体格式如下：x = Value 给给x x赋值赋值; ;x = y = Value同时给同时给x x，y y赋相同的值赋相同的值; ;x,y,=Value1,Value2,同时给同时给x,y,赋不同的值。赋不同的值。为为了了避避免免隐隐蔽蔽
7、的的错错误误，应应该该及及时时清清除除不不再再使用的变量，这时可以用使用的变量，这时可以用“Clear”命令，格命令，格式为式为“Clear变量名变量名”；或者可以用；或者可以用“x= .”清除变量清除变量x的值。的值。每每次次运运行行结结束束后后，Mathematica会会自自动动在在输输入入的的式式子子前前面面加加上上“Inn：=”（n表表示示输输入入命命令令的的序序列列号号），在在输输出出的的答答案案前前面面加加上上“Outn=”（n表表示示输输出出结结果果的的序序列列号号），以以便便分分清清输输入入和输出并自动加上编号。和输出并自动加上编号。可以用可以用“%”表示前一个输出的内容，表示
8、前一个输出的内容，“%”表示倒数第表示倒数第2个输出的内容，依此类个输出的内容，依此类推，推，“%n”表示第表示第n个（即个（即Outn）输出的输出的内容。也就是说内容。也就是说Mathematica输出的内容被输出的内容被系统记忆，它们可以像其它变量一样在后面系统记忆，它们可以像其它变量一样在后面的计算中引用。的计算中引用。Mathematica以以符符号号运运算算为为主主，这这与与一一些些语语言言有有所所不不同同，例例如如等等符符号号表表示示准准确确数数，近近似似数数用用带带小小数数点点的的数数表表示示，例例如如1.2，2.3*105等等。Mathematica中中求求近近似似值值以以及及
9、近近似似值值的的精精度度控控制制函函数数为为函函数数“N”，其调用格式如下：其调用格式如下：3 3、数、数N表表达达式式计计算算表表达达式式的的近近似似值值，具具有有机机器器规规定定的的精精度度（16位位有有效效数数字字），但但是是按按标标准准输出只显示前输出只显示前6位有效数字位有效数字N表表达达式式,数数字字位位数数指指定定计计算算表表达达式式的的具具有有任任意意数数字字位位数数的的近近似似值值（指指定定的的数数字字位位数数应应该该大大于于16），结结果果在在末末位位后后是是四四舍舍五五入入的。的。4 4、算术表达式、算术表达式 常常量量和和变变量量用用算算术术运运算算符符连连接接而而成成
10、的的式式子子称称为为算算术术表表达达式式。表表达达式式按按照照与与常常规规相相同同的的优优先先级级自自左左向向右右执执行行计计算算。在在运运算算中中运运用用的的标标点点符符号号必必须须是是英英文文的的，不不能能用用中中文文的的标标点点符符号号 ， “； ”表表 示示 运运 算算 但但 不不 显显 示示 结结 果果 。Mathematica中中和和、差差、积积、商商、乘乘方方运运算算分分别别用用相相应应的的键键“+”、“-”、“*”或或空空格格、“/”、“”来来表表示示，也也可可通通过过基基本本输输入入模模板来输入。板来输入。用用“/.”可以进行变量替换，变量替换是求可以进行变量替换，变量替换是
11、求算式的值而不改变算式本身，例如输入命令：算式的值而不改变算式本身，例如输入命令：p = x2 + 2x y + y2；p / . x1运行结果可得：运行结果可得：1 + 2y + y2，此运算是把表达式中的此运算是把表达式中的x换为换为1但不改变变量但不改变变量p。若要替换两个变量，键入若要替换两个变量，键入p/.x1,y2即即可。可。5 5、内部函数、内部函数Mathematica支支持持所所有有的的常常用用的的数数学学函函数数，下面介绍一些简单而又常用的数学函数：下面介绍一些简单而又常用的数学函数：Sinx 正弦函数正弦函数 Cosx 余弦函数余弦函数Tanx 正切函数正切函数 Cotx
12、 余切函数余切函数Secx 正割函数正割函数 Cscx 余割函数余割函数ArcSinx反正弦函数反正弦函数 ArcCosx反余弦函数反余弦函数ArcTanx反正切函数反正切函数 ArcCotx反余切函数反余切函数Expx 表示表示ex Sqrtx 表示表示Logx 表示表示lnx（一般以一般以a为底的对数函数用为底的对数函数用Loga，x表示）表示）Absx 求实数的绝对值求实数的绝对值 或复数的模或复数的模 Signx 符号函数符号函数n！ 求求n的阶乘的阶乘 Binomialn,k 求求 Mathematica系统函数的书写规则很严格，务系统函数的书写规则很严格，务必注意以下几点：必注意以
13、下几点： （1）函数名的首字符用大写，后面的字符）函数名的首字符用大写，后面的字符一般用小写，当函数名分成几段时，每段的一般用小写，当函数名分成几段时，每段的首字符应大写，函数名中不能含有空格。首字符应大写，函数名中不能含有空格。 （2）参数用方括号括起来，不能用圆括号，）参数用方括号括起来，不能用圆括号，Mathematica认为圆括号表示相乘。认为圆括号表示相乘。表是存储多个数、变量或算式等对象的一种表是存储多个数、变量或算式等对象的一种数据结构。一个表用一对花括号表示，它的数据结构。一个表用一对花括号表示，它的成员在括号内用逗号隔开，同一个表的成员成员在括号内用逗号隔开，同一个表的成员可
14、以有不同的数据类型，表的成员还可以是可以有不同的数据类型，表的成员还可以是一个表（子表）。一个表（子表）。 6 6、表、表 Mathematica中中常常用用的的建建表表函函数数是是“Table”，其调用格式如下：其调用格式如下：Tablef,i,imin,imax,stepi,j,j min,jmax,stepj表表的的通通项项为为f（f是是变变量量i和和j的的函函数数），min，max，step规规定定了了初初值值、终终值值、步步长长，min和和step的默认值为的默认值为1。注注意意：用用“Table”构构成成的的函函数数集集常常常常不不具具备备可可计计算算性性，这这时时可可以以用用“E
15、valuate”命命令令把把它它 转转 化化 为为 可可 运运 算算 ， 其其 命命 令令 格格 式式 为为 ：EvaluateTable。三、基本代数运算三、基本代数运算 下面介绍一些实现基本代数运算的函数，用下面介绍一些实现基本代数运算的函数，用于变换数学表达式、解方程和解不等式。于变换数学表达式、解方程和解不等式。Mathematica具有强大的符号运算功能，下具有强大的符号运算功能，下面列举的函数均可代入具有字母的表达式进面列举的函数均可代入具有字母的表达式进行计算，得到精确解。行计算，得到精确解。 Simplifyexpr 将表达式变换化简将表达式变换化简Factorexpr 对对表
16、表达达式式进进行行因因式式分分解解Collectexpr,x 将表达式将表达式expr中中x的同次幂的同次幂 合并合并Togetherexpr 对表达式进行通分对表达式进行通分Cancelexpr 约去表达式的分子、分约去表达式的分子、分 母的公因式母的公因式Apartexpr 将有理式分解为最简分式将有理式分解为最简分式 的和的和. .PolynomialQuotientp1,p2,x 求求x的多项式的多项式p1被被p2除的商除的商PolynomialRemainderp1,p2,x 求求x的多项式的多项式p1被被p2除的余式除的余式PolynomialGCDp1,p2, 求多个多项式的最大
17、公因式。求多个多项式的最大公因式。PolynomialLCMp1,p2, 求多个多项式的最小公倍式求多个多项式的最小公倍式Solveeqns,vars 求方程（组）的全部解求方程（组）的全部解Reduceeqns,vars 讨论系数出现的各种可能情况，分别求解讨论系数出现的各种可能情况，分别求解FindRooteqn,x,x0 数值求解（数值求解（x0附近的解）附近的解）NSolveeqns,vars 求代数方程（组）的全部数值解求代数方程（组）的全部数值解Eliminateeqns,elims 从一组等式中消去变量（组）从一组等式中消去变量（组）elims注注意意：在在Mathematica
18、中中符符号号“=”用用于于给给变变量量赋赋值值，而而方方程程中中的的等等号号使使用用符符号号“=”表表示示。若若是是针针对对方方程程组组的的运运算算，则则方方程程组组用用花花括括号号括括起起来来，各各个个方方程程用用逗逗号号分分隔隔，未未知知量量也是如此。也是如此。四、编程基础四、编程基础 1 1、自定义函数、自定义函数 前面介绍了前面介绍了Mathematica本身自带的内置函数，本身自带的内置函数，下面我们以实例来说明定义函数的方法。例如，下面我们以实例来说明定义函数的方法。例如，要定义函数，要定义函数，我们只要键入命令我们只要键入命令 fx_:=Expx*(Sinx+1)+Logx2运行
19、即可。运行即可。注注意意：在在函函数数的的自自变变量量后后面面有有一一个个下下划划线线“_”，这这表表示示x为为自自变变量量，可可以以把把x代代入入为为任任何何的的值值进进行行计计算算；等等号号前前面面的的有有个个冒冒号号，表表示示定定义义函函数数。同同样样可可以以定定义义多多变变量量函函数数。定定义义了了函函数数fx后后，可可以以直直接接地地调调用用fx来进行符号数学运算（例如积分、微分等）来进行符号数学运算（例如积分、微分等）2 2、关系操作符与逻辑操作符、关系操作符与逻辑操作符 关系运算符关系运算符逻辑运算符逻辑运算符小于小于& 与与大于大于! 非非=大于等于大于等于=等于等于3 3、条
20、件结构、条件结构 我我们们在在用用计计算算机机语语言言进进行行编编程程时时，常常用用到到条条件件语语句句，Mathematica也也提提供供了了多多种种设设置置条条件件的的方方法法，并并规规定定只只有有在在该该条条件件满满足足时时才才计计算算表达式。常用形式的条件结构有：表达式。常用形式的条件结构有：lhs:=rhsl/;test 当当test为真时使用定义为真时使用定义rshIftest,then,else 如如test为真计算为真计算then，反之计算反之计算elseWhichtest1,value1,test2,value2, 依次计算依次计算testi，给出对应的值给出对应的值vaul
21、eiSwitchexpr,form1,value1,form2,val ue2, expr与每一个与每一个formi相比较，给出相匹配相比较，给出相匹配 的值的值valuei例如，我们可以用以下命令来定义分段函数：例如，我们可以用以下命令来定义分段函数： fx:=x2+1/;x0;fx_:=-x2-1/;x0,x2+1, Ifx0,x2+1, x0,-x2-1,x=0,04、循环结构 Mathematica提提供供了了与与一一般般程程序序语语言言类类似似的的描描述重复执行的循环控制结构述重复执行的循环控制结构循环结构：循环结构：DoDo结构、结构、ForFor与与WhileWhile结构结构。
22、下面将它们的调用形式做一简单介绍。下面将它们的调用形式做一简单介绍。Doexpr,i,imin,imax,di 循循环环计计算算expr，步步长长为为di，i从从imin增增加加imax(步步长长缺缺省省则则默默认认为为1，imin缺缺省省也也默默认认为为1)Doexpr,n 循环计算循环计算expr共共n次次Doexpr,i,imin,imax,di, j,jmin,jmax,dj循循环环计计算算expr，i从从imin到到imax循循环环，对对于于每个每个i，j从从jmin到到jmax循环（即多重循环）循环（即多重循环） Whiletest,body 只要只要test为真，则重复计算执行主
23、体为真，则重复计算执行主体body Forstart,test,incr,body 以以start为起始值，重复计算执行主体为起始值，重复计算执行主体body 和执行表达式和执行表达式incr改变循环变量的改变循环变量的值值，直到，直到 test为假。为假。注注意意：当当条条件件满满足足时时，While循循环环一一直直进进行行，因因此此为为了了防防止止死死循循环环，在在While 中中应应包包括括命命令能改变令能改变test的值。的值。另：另：有时需要改变正常的循环顺序，这时需要有时需要改变正常的循环顺序，这时需要用用“BreakBreak”命令，它的调用格式：命令，它的调用格式：BreakB
24、reak, ,表示中断并退出循环。表示中断并退出循环。二、观察数列的极限二、观察数列的极限 数数学学软软件件MathematicaMathematica中中用用于于求求数数列列和和函函数数的的极限的命令极限的命令“LimitLimit”格式有格式有Limitan,n 求数列求数列an的极限的极限Limitexpr,xx0 x趋向于趋向于x0时，时， expr的极限的极限Limitexpr,xx0,Direction1 求求expr当当x趋向于趋向于x0时的右极限时的右极限Limitexpr,xx0,Direction-1 求求expr当当x趋向于趋向于x0时的左极限时的左极限一、观察数列的极限
25、一、观察数列的极限 而而 本本 实实 验验 主主 要要 的的 目目 的的 是是 利利 用用 数数 学学 软软 件件MathematicaMathematica加深对数列极限概念的理解。加深对数列极限概念的理解。对对于于数数列列极极限限通通俗俗的的说说法法是是：当当n充充分分大大时时，an充充分分接接近近数数A A，则则 。我我们们通通过过利利用用MathematicaMathematica来来计计算算数数列列 an 足足够够多多项项的的值值，从而考察数列的极限。从而考察数列的极限。例例1 1 用数、形结合的方法观察极限用数、形结合的方法观察极限 。解：通过逐渐增加点并画点图，来观察当解：通过逐
26、渐增加点并画点图，来观察当n越来越来越大时的越大时的 变化趋势。变化趋势。为此，我们先利用为此，我们先利用MathematicaMathematica构造数据表构造数据表datadata，其中包含了数列其中包含了数列 的前十项：的前十项：data=TableiSin1/i,i,10然后我们利用绘制点图的命令“ListPlot”来绘出这前10个点： ListPlotdata,PlotRange0,2,PlotStylePointSize0.018运行后得到点图1-1。我我们们还还可可以以改改变变Table命命令令，增增加加绘绘制制的的点点数数，从从而而根根据据点点图图来来观观察察，数数列列 an
27、 足足够够多多项项的的值值，观观察察数数列列的的变变化化趋趋势势, ,从从而而观观察察该该数数列列的极限。的极限。另另外外，通通过过以以下下的的循循环环语语句句，我我们们可可以以得得到到1616幅幅图图，图图1-21-2中中列列出出了了其其中中的的4 4幅幅，从从左左至至右右图图中中点点数数逐逐渐渐增增多多，从从图图中中可可以以看看出出所所画画出出的点逐渐接近于直线：的点逐渐接近于直线：y=1=1aa=Sin1,2Sin1/2,3Sin1/3;Doaa=Appendaa,i Sin1/i;ListPlotaa,PlotRange0,2,Plot StylePointSize0.018,i,4,
28、20例例2：设数列设数列 xn 与与 yn 由下式确定：由下式确定： 观察数列观察数列 xn 与与 yn 的极限是否存在。的极限是否存在。解解：输输入入以以下下语语句句可可进进行行观观察察，此此程程序序的的功功能能是是输输出出 xn 与与 yn 的的前前1010项项数数值值。大大家家可可改改变变ForFor循循环环中中终终结结语语句句（n1010）来来改变输出项的项数。改变输出项的项数。运行该程序可得：运行该程序可得：大大家家可可以以由由运运行行结结果果可可观观察察到到， xn 与与 yn 均有极限，且这两极限值是相等的均有极限，且这两极限值是相等的。实验习题实验习题1 11.1.根根据据上上
29、面面的的实实验验步步骤骤，通通过过作作图图，观观察察重要极限：重要极限： 。2.2.设数列设数列 xn 由下列递推关系式给出：由下列递推关系式给出：观察数列观察数列 的极限。的极限。三三 一元函数的绘图一元函数的绘图一、点图的绘制一、点图的绘制 用用一一个个表表给给出出点点列列中中各各点点的的坐坐标标，用用函函数数“ListPlot”可可以以绘绘制制这这些些点点列列的的图图形形，其其调用格式为：调用格式为：ListPloty1,y2, 画出点对画出点对(1,y1),(2,y2),ListPlotx1,y1,x2,y2, 画出点对画出点对(x1,y1),(x2,y2),其中其中“数集数集 y1,
30、y2, ”也可以由也可以由“Table”命令产生。如果要把相邻点用直线连接起来命令产生。如果要把相邻点用直线连接起来可加选项可加选项“PlotJoinedTrue”，其默认值是其默认值是“False”，即不连接。即不连接。 二、一元显函数图形的绘制二、一元显函数图形的绘制在平面直角坐标系中绘制函数在平面直角坐标系中绘制函数y= =f( (x) )在区间在区间 a,b 的图形是函数的图形是函数“PlotPlot”,”,其调用格式为：其调用格式为：Plotf(x),x,a,b,Plotf(x),x,a,b,选项选项.同同时绘时绘制多个函数的制多个函数的调调用格式用格式为为：PlotfPlotf1
31、1(x),f(x),f2 2(x),x,a,b,(x),x,a,b,选项选项 。作图命令作图命令“Plot”可带很多选项，现对常用的一可带很多选项，现对常用的一些选项介绍如下：些选项介绍如下： PlotRange 作图区域，格式为作图区域，格式为: PlotRange因变量最小值因变量最小值,因变量最大值因变量最大值；PlotRange自自变变量量最最小小值值,自自变变量量最最大大值值，因变量最小值，因变量最大值因变量最小值，因变量最大值PlotRangeAll （表示显示所有点）表示显示所有点）PlotPoints 采样点数（默认值为采样点数（默认值为25），）， 格式为格式为:PlotPo
32、ints点数点数PlotLabel 用于在图形上方居中加注释用于在图形上方居中加注释 Axes 用于指定是否显示坐标轴用于指定是否显示坐标轴AxesFalse 不画出坐标轴（默认为不画出坐标轴（默认为True）AxesTrue,False(或或False,True) 只画一个坐标轴只画一个坐标轴 AxesLabel 指定坐标轴的名称，格式为：指定坐标轴的名称，格式为：AxesLabel横轴名称横轴名称,纵轴名称纵轴名称 AxesOrigin 用于指定两坐标轴的交点的用于指定两坐标轴的交点的 位置位置, ,格式为：格式为：AxesOriginx,yTicks 用于给坐标轴加上刻度或给坐标轴用于给
33、坐标轴加上刻度或给坐标轴上的点加标记，上的点加标记， 格式为：格式为：TicksAutomatic 自动加刻度；自动加刻度；Ticksx1,x2,y1,y2,；Ticksx1,”字符串字符串1”,x2,”字字符串符串2”,y1,”字符串字符串1”，y2,”字符串字符串2”,。 GirdLines 在图形上画横竖线，格式为：在图形上画横竖线，格式为： GirdLinesAutomatic (表示在每个记号处画线表示在每个记号处画线)GirdLines横轴方向画线处横轴方向画线处,纵轴方向纵轴方向 画线处画线处Frame 用于给图形加边框用于给图形加边框(默认值为默认值为False) Aspect
34、Ratio 指定图形显示的高与宽的指定图形显示的高与宽的比例，比例， 格式为：格式为：AspectRatio值；值；AspectRatioAutomatic表示高宽比由计算机根据图形实际尺寸确定表示高宽比由计算机根据图形实际尺寸确定. .PlotStyle 作作图图风风格格，主主要要是是指指选选择择显显示图形的颜色和线型，格式主要有：示图形的颜色和线型，格式主要有：其其 中中 a,b,c为为 介介 于于 0， 1之之 间间 的的 数数 ， 若若a,b,c选选择择1,0,0、0,1,0、0,0,1，则分别表示的是三元色：红、绿、蓝。，则分别表示的是三元色：红、绿、蓝。PlotStyleRGBCo
35、lora,b,c PlotStyleDashingr1,r2, 指指交交替替使使用用数数r1,r2,作作为为线线段段和和空空白白的的相相对长度画虚线对长度画虚线(其中这些数应是远小于其中这些数应是远小于1的数的数)三、参数方程所确定的曲线图形的绘制三、参数方程所确定的曲线图形的绘制ParametricPlotxt,yt,t,tmin,tmax,选项选项选项基本与选项基本与“Plot”的相同。的相同。使用使用“ParametricPlotParametricPlot”命令，基本用法为：命令，基本用法为：四、图形的存储与重画四、图形的存储与重画 可可对对已已作作的的图图形形以以一一个个变变量量存存
36、储储，例例如如存存储储-, , 内内sinsinx的图形为变量的图形为变量t，则键入则键入 t=PlotSinx,x,-Pi,Pi。可可用用命命令令“Show”在在同同一一坐坐标标内内画画出出已已存存储储的的 图图 形形 t1,t2,t3， 其其 调调 用用 格格 式式 为为 ：Showt1,t2,t3。本本实实验验的的目目的的是是让让同同学学熟熟悉悉数数学学软软件件MathematicaMathematica所所具具有有的的良良好好的的作作图图功功能能，并并通通过过函函数数图图形形来来认认识识函函数数，运运用用函函数数的的图图形形来来观观察察和和分分析析函函数数的的有有关关性性态态，建建立立
37、数数形形结结合合的的思思想想。例例1 1给定函数给定函数在同一坐标系下画出以上三个函数的图形。在同一坐标系下画出以上三个函数的图形。解解 输出命令如下：输出命令如下：在在 上上 面面 的的 程程 序序 中中 ， 命命 令令 “Plot”Plot”的的 选选 项项“PlotStylePlotStyleRGBColorRGBColora,b,ca,b,c”是是指指选选用用颜颜色色绘绘图图，其其中中a,b,ca,b,c为为介介于于00，11之之间间的的数数，若若a,b,ca,b,c选选择择1,0,01,0,0、0,1,00,1,0、0,0,10,0,1，则则分分别别表表示示的的是是三三元元色色：红红
38、、绿绿、蓝蓝。运行后。运行后输输出出结结果如果如图图2-12-1所示：所示：例例2 2 制制作作 y =xp 函函数数的的图图形形动动画画，并并观观察察参参数数p对函数图形的影响对函数图形的影响. .此此命命令令输输出出了了5 5幅幅图图，参参数数p p是是从从1 1到到3 3以以 为为步步长长的的选选择择，从从这这些些图图中中可可以以很很明明显显地地看看出出在在第第一一象象限限参参数数p p对对函函数数y =xp 的的影影响响。为为了了图图形形演演示示更更加加生生动动，我我们们可可以以对对这这些些图图形形进进行行动动画画演演示。示。解：输入命令如下：解：输入命令如下： 例例3 3 绘出函数绘
39、出函数f( (x)=)=x5 5+ +x4 4-5-5x3 3- -x2 2+8+8x-4-4以及以及f( (x),),f( (x) )的的图图形形，并并找找出出所所有有的的驻驻点点和和拐拐点。点。解解：首首先先，我我们们不不妨妨将将f( (x) )的的自自变变量量显显示示范范围围定为定为-3,3-3,3，则输入如下命令：，则输入如下命令：为为了利于了利于观观察一些特殊点的位置，我察一些特殊点的位置，我们选择们选择了了选项选项“GirdLinesAutomaticAutomatic”使使图图形的坐形的坐标标平面上出平面上出现现了网格了网格线线，而且，而且这时这时MathematicaMathe
40、matica将自将自动选择动选择相相应应的的的的显显示范示范围为围为-20,10-20,10。图图中的曲中的曲线线差不多是函数差不多是函数y=f (x)图图形的形的“全貌全貌”。从从图图形中可以看出形中可以看出x=-2,x=1x=-2,x=1为为函数的零点，函数的零点，单单调调性在性在x= -2,x=0.8附近改附近改变变，而且在，而且在x=-1x=0,x=1附近曲附近曲线线凸向似乎有所改凸向似乎有所改变变。总总之，之，由函数的由函数的图图形我形我们们只能近似地判断出一些信息，只能近似地判断出一些信息，那么那么这这些印象是否属些印象是否属实实呢？呢？为为了了证实这证实这些印象，些印象，我我们们
41、利用下面的利用下面的MathematicaMathematica语语句来加以句来加以验证验证： 运行后，运行后，绘绘出了出了f (x)的一的一阶导阶导函数和二函数和二阶导阶导函函数的数的图图形，从形，从图图中可以分中可以分别观别观察出，察出，f( (x) )有有三个零点，三个零点，有两个有两个为为f (x)的极的极值值点；点；f( (x) )有有三个零点，且均三个零点，且均为为f (x)的拐点。的拐点。为为了具体求出了具体求出这这些极些极值值点和拐点，下面我点和拐点，下面我们们可以利用解方程的命令可以利用解方程的命令“Solve”来求解来求解f( (x) )和和f( (x) )的的实实根，根，
42、输输入命令入命令为为：运行后可得到这两个方程的解为：运行后可得到这两个方程的解为：这这样样我我们们利利用用MathematicaMathematica并并同同时时结结合合函函数数微微分分学学的的知知识识找找出出了了一一些些关关键键点点，从从而而对对函数的图形就有了真实全面的了解。函数的图形就有了真实全面的了解。1 1、制制作作函函数数y=sincx的的图图形形动动画画，并并观观察察参参数数c 对函数图形的影响。对函数图形的影响。2 2、已知函数、已知函数 ，作，作 出并比较当出并比较当c分别取分别取-1,0,1,2,3-1,0,1,2,3时的图形，时的图形， 并并从从图图上上观观察察极极值值点点、驻驻点点、单单调调区区间间、凹凹 凸区间以及渐近线。凸区间以及渐近线。
