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1、第第5.25.2节节 正态总体均值与方差的正态总体均值与方差的假设检验假设检验一、一、 t 检验检验二、二、 检验检验三、三、F 检验检验四、单边检验四、单边检验一、一、t 检验检验例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的切割每段金属棒的平均长度为平均长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一批产今从一批产品中随机的抽取品中随机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下:假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变且标准差没有变化化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?解解查表得查表得定理定理2.8根据
2、根据第二章第二章2.32.3定理定理2.82.8知知,上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法.此检验此检验的势函数为的势函数为: 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度假定切割的长度服从正态分布服从正态分布, 问该机切割的金属棒的平均长度问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化有无显著变化?解解查表得查表得t t分布表分布表例例2(p157例例5.5) 利用利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设均值差的假设.定理定理2.9根据根据第二章第二章2.3定理定理2.92.9知知,其拒绝域的形式为其拒绝域
3、的形式为第一类错误的概率为：第一类错误的概率为：例例3 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品, 从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异? 假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加
4、工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方差相等.解解即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异. 有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品, 或两种仪器或两种仪器, 两种两种方法等的差异方法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试我们常在相同的条件下作对比试验验, 得到一批成对的观察值得到一批成对的观察值. 然后分析观察数据然后分析观察数据作出推断作出推断. 这种方法常称为这种方法常称为逐对比较法逐对比较法.例例4 4 有两台光谱仪有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种用来测量材料中某种金属的含量金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有
5、无显著差为鉴定它们的测量结果有无显著差异异, 制备了制备了9件试块件试块(它们的成分、金属含量、均它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每现在分别用这两台机器对每一试块测量一次一试块测量一次, 得到得到9对观察值如下对观察值如下:问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?解解 本题中的数据是成对的本题中的数据是成对的, 即对同一试块测即对同一试块测出一对数据出一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素异是由各种因素, 如材料成分、金属含量、均如材料成分、金属含量、均匀性
6、等因素引起的匀性等因素引起的. 这也表明不能将光谱仪这也表明不能将光谱仪Ix 对对9个试块的测量结果个试块的测量结果(即表中第一行即表中第一行)看成是一看成是一个样本个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样同样也不能将表中第二行看成一个样本本, 因此不能用表因此不能用表8.1中第中第4栏的检验法作检验栏的检验法作检验. 而同一对中两个数据的差异则可看成是仅而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样这样, 局限局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的
7、影响而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差表中第三行表示各对数据的差若两台机器的性能一样若两台机器的性能一样,随机误差可以认为服从正态分布随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零其均值为零.按关于单个正态分布均值的按关于单个正态分布均值的t检验检验, 知拒绝域为知拒绝域为认为这两台仪器的测量结果无显著的差异认为这两台仪器的测量结果无显著的差异. 二、二、 检验检验(1) 要求检验假设要求检验假设:根据根据第二章第二章2.3, 指它们的和集指它们的和集为了计算方便为了计算方便, 习惯上取习惯上取拒绝域为拒绝域为:解解例例5 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的
8、电池, 其寿命长期以其寿命长期以来服从方差来服从方差 =5000 (小时小时2) 的正态分布的正态分布, 现有现有一批这种电池一批这种电池, 从它生产情况来看从它生产情况来看, 寿命的波动寿命的波动性有所变化性有所变化. 现随机的取现随机的取26只电池只电池, 测出其寿命测出其寿命的样本方差的样本方差s2=9200(小时小时2). 问根据这一数据能问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化的变化?拒绝域为拒绝域为: 认为这批电池的寿命的波动性较以往的有认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化显著的变化.例例6(p160例例5
9、.7)美国民政部门对某住宅区住户的美国民政部门对某住宅区住户的消费情况进行的调查报告中，抽出消费情况进行的调查报告中，抽出9户为样本，户为样本，每年开支除去税款和住宅等费用外每年开支除去税款和住宅等费用外, 依次为依次为: 4.9, 5.3, 6.5, 5.2, 7.4, 5.4, 6.8, 5.4, 6.3（单位（单位k元）元）. 假假定住户消费数据服从正态分布，当给定定住户消费数据服从正态分布，当给定=0.05,问所有住户消费数据的总体方差为问所有住户消费数据的总体方差为0.3是否可信是否可信?解解查表得查表得所有住户消费数据的总体方差为所有住户消费数据的总体方差为0.3不可信不可信三、三
10、、F 检验检验需要检验假设需要检验假设:定理定理2.10根据根据第二章第二章2.3定理定理2.102.10知知检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为上述检验法称为上述检验法称为F检验法检验法. 例例7 7(p104例例5.8) 为了考察温度对某物体断裂强为了考察温度对某物体断裂强力的影响，在力的影响，在70度和度和80度分别重复做了度分别重复做了8次试验，次试验，测得的断裂强力的数据如下测得的断裂强力的数据如下(单位单位Pa): 70度：度：20.5, 18.8, 19.8, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2 80度：度： 17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0,
11、20.1, 20.2, 19.1解解所以两总体方差无显著差异所以两总体方差无显著差异. . 例例8 分别用两个不同的计算机系统检索分别用两个不同的计算机系统检索10个资料个资料, 测得平均检索时间及方差测得平均检索时间及方差(单位单位:秒秒)如下如下:解解假定假定检索时间服从正态分布检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资问这两系统检索资料有无明显差别料有无明显差别? 根据题中条件根据题中条件, 首先应检验方差的齐性首先应检验方差的齐性.认为两系统检索资料时间无明显差别认为两系统检索资料时间无明显差别.四、单边检验四、单边检验1. 右边检验与左边检验右边检验与左边检验 右边检验与左边检验统称为
12、右边检验与左边检验统称为单边检验单边检验. 首先通过一个实例来说明双边检验与单边检验的首先通过一个实例来说明双边检验与单边检验的区别与联系区别与联系. 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服从正态服从正态分布分布, 均为未知均为未知. 现现测得测得16只元件的寿命只元件的寿命如下如下:问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小小时时)?例例9 9解解依题意需检验假设依题意需检验假设查表得查表得 由上述例子可以看到：两种检验使用的统计量由上述例子可以看到：两种检验使用的统计量一致，区别在于拒绝域一致，区别在于拒绝域. 双边检验与单边检验的
13、拒绝双边检验与单边检验的拒绝域分别为：域分别为： 因为与双边检验有密切关系，因而仅举一因为与双边检验有密切关系，因而仅举一例说明。例说明。 2. 单边检验拒绝域的计算单边检验拒绝域的计算 利用利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的单边假设值差的单边假设.定理定理2.9根据根据第二章第二章2.3定理定理2.92.9知知,其拒绝域的形式为其拒绝域的形式为又由于又由于例例10 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率法的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只试验是在同一只平炉上进行的平炉上进行的
14、. 每炼一炉钢时除操作方法外每炼一炉钢时除操作方法外, 其其它条件都尽可能做到相同它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一先采用标准方法炼一炉炉, 然后用建议的新方法炼一炉然后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行以后交替进行, 各炼了各炼了10炉炉, 其得率分别为其得率分别为(1)标准方法标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立设这两个样本相互独立, 且分别来自正态总且分别来自正态总体体问建议的新操作方法能否提高得率问建议的新操作方法能否提高得率?解解分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差方差:即认为建议的新操作方法较原来的方法为优即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.查表查表5.2知其拒绝域为知其拒绝域为作作 业业P181 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 1 2 3 4表表5.25.2567 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
