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1、9.1直线的方程数学数学 苏苏（理）（理）第九章平面解析几何基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l 之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴 时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是 .向上方向平行或重合0，)2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率k .tan (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k .3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线xx0斜截式 不
2、含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)yy0k(xx0)ykxb截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用AxByC0，(A2B20)4.线段的中点坐标公式u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示.()(7)不经过原点的直
3、线都可以用 1表示.()(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()题号答案解析1234 603xy10或4x3y0解析若l的倾斜角为，则tan 1.思维点拨解析答案思维升华例1经过P(0，1)作直线l，若直线l与连结A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为 ， .题型一直线的倾斜角与斜率题型一直线的倾斜角与斜率注意倾斜角是锐角还是钝角.思维点拨解析答案思维升华例1经过P(0，1)作直线l，若直线l与连结A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜
4、率k和倾斜角的取值范围分别为 ， .题型一直线的倾斜角与斜率题型一直线的倾斜角与斜率例1经过P(0，1)作直线l，若直线l与连结A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为 ， .题型一直线的倾斜角与斜率题型一直线的倾斜角与斜率如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPAkkPB，而kPB0，kPA0，故k0时，为锐角.思维点拨解析答案思维升华例1经过P(0，1)作直线l，若直线l与连结A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为 ， .题型一直线的倾斜角与斜率题型一直线的倾斜角与斜率思维点拨解析答案思
5、维升华例1经过P(0，1)作直线l，若直线l与连结A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为 ， .题型一直线的倾斜角与斜率题型一直线的倾斜角与斜率1,1思维点拨解析答案思维升华例1经过P(0，1)作直线l，若直线l与连结A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别为 ， .题型一直线的倾斜角与斜率题型一直线的倾斜角与斜率1,1思维点拨解析答案思维升华跟踪训练1(1)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为 .解析依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，题型二求直
6、线的方程题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：题型二求直线的方程题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：解由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.即x3y40或x3y40.(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；又直线过点(3,4)，故所求直线方程为4xy160或x3y90.(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.故所求直
7、线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.跟踪训练2已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程.(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；解设直线在x，y轴上的截距均为a.若a0，即直线过点(0,0)及(3,4).直线的方程为xy70.综合可知所求直线的方程为4x3y0或x
8、y70.(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3,4)，由点斜式得y4(x3).所求直线的方程为xy10或xy70.例3已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.思维点拨解析思维升华题型三直线方程的综合应用题型三直线方程的综合应用例3已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.题型三直线方程的综合应用题型三直线方程的综合应用先设出AB所在的直线方程，再求出A，B两点的坐标，表示出ABO
9、的面积，然后利用相关的数学知识求最值.思维点拨解析思维升华例3已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.题型三直线方程的综合应用题型三直线方程的综合应用思维点拨解析思维升华例3已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.题型三直线方程的综合应用题型三直线方程的综合应用方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3) (k0)，思维点拨解析思维升华例3已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两
10、点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.题型三直线方程的综合应用题型三直线方程的综合应用即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.思维点拨解析思维升华例3已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.题型三直线方程的综合应用题型三直线方程的综合应用直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解
11、的个数、根的存在性问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.思维点拨解析思维升华跟踪训练3已知直线l：kxy12k0(kR).(1)证明：直线l过定点；证明直线l的方程是k(x2)(1y)0，无论k取何值，直线总经过定点(2,1).(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.Smin4，此时直线l的方程为x2y40.典例：(14分)设直线l的方程为(a1)xy2a0 (aR).(1)若l在两
12、坐标轴上截距相等，求l的方程；易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒易错警示系列易错警示系列12 求直线方程忽视零截距致误求直线方程忽视零截距致误典例：(14分)设直线l的方程为(a1)xy2a0 (aR).(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；易错警示系列易错警示系列12 求直线方程忽视零截距致误求直线方程忽视零截距致误本题易错点为求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒典例：(14分)设直线l的方程为(a1)xy2a0 (aR).(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；易错警示系列易错警示系列12 求直线方程忽视零截距致误求直线方程忽视零
13、截距致误解当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.3分分 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒典例：(14分)设直线l的方程为(a1)xy2a0 (aR).(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；易错警示系列易错警示系列12 求直线方程忽视零截距致误求直线方程忽视零截距致误a0，方程即为xy20.综上可知，直线方程为3xy0或xy20.易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒8分分 典例：(14分)设直线l的方程为(a1)xy2a0 (aR).(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；易错警示系列易错警示系列
14、12 求直线方程忽视零截距致误求直线方程忽视零截距致误在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.本题易错点为求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.解将l的方程化为y(a1)xa2，12分分 综上可知a的取值范围是a1.14分分 易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒(2)
15、若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.常见的与截距问题有关的易错点有“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒方 法 与 技 巧直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角和斜率k之间的对应法则：009090900不存在k0失 误 与 防 范与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直
16、于坐标轴和过原点的直线.失 误 与 防 范(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.234567891011.如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则k1，k2，k3的大小关系为 .(用“”连接)解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k3k2.k1k30，且A(a,0)、B(0，b)、C(2，2)三点共线，则ab的最小值为 .23456791108所以2(ab)ab.又ab0，故a0，b0，b0
17、)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为 .23451解析直线axbyab (a0，b0)过点(1,1)，6当且仅当ab2时上式等号成立.直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.答案42345162.过点P(2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有 条.解析设过点P(2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，234516234516故满足条件的直线有3条.答案32345163.若直线l1：yk(x6)与直线l2关于点(3,1)对称，则直线l2恒过定点 .解析直线l1：yk(x6)恒过定点(6,
18、0)，定点关于点(3,1)对称的点为(0,2).又直线l1：yk(x6)与直线l2关于点(3,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).(0,2)2345164.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 .32345165.设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是 .解析b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1,0)和点B(1,0)时b分别取得最小值和最大值.b的取值范围是2,2.2,22345166.如图，在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求这个三角形三边所在直线的方程.解设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，A(5，2)，B(7,3)，又M是AC的中点，5m0，m5，N是BC的中点，3n0，n3，234516C点坐标为(5，3)，由直线方程的两点式得AB边所在直线方程为整理得：5x2y290；234516整理得：x10y250；整理得：x2y10.234516
