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1、1.4 密勒指数密勒指数一、阿羽依有理指数定律的意义一、阿羽依有理指数定律的意义 1.阿羽依有理指数定律阿羽依有理指数定律 任任何何一一个个晶晶面面其其在在三三个个轴轴a1、a2、a3上上的的截截距距r、s、t必是一组有理数。必是一组有理数。a1轴：轴：r=1a1; a2轴：轴：s=3a2; a3轴：轴：t=2a3 。 如果用天然的长度为如果用天然的长度为单位单位(即在即在a1、a2、a3轴上轴上的长度单位分别为的长度单位分别为a1、a2、a3)。则有：。则有：r=1、s=3、t=4。是一组有理数。是一组有理数。1密勒指数二、晶列、晶面、晶向二、晶列、晶面、晶向1.晶列晶列 对对于于布布拉拉菲
2、菲格格子子，通通过过任任何何两两个个格格点点的的直直线线上上，包包含含无无限限个个相相同同的的格格点点，如如图图所所示示，这这样样的的直直线线族族称称为为晶晶列。列。2密勒指数3密勒指数2.晶面晶面 通过格点所作的平面称为晶面。通过另外的格点可通过格点所作的平面称为晶面。通过另外的格点可以作和该晶面平行的晶面。该族晶面包括了所有的格点，以作和该晶面平行的晶面。该族晶面包括了所有的格点，并且晶面之间是等间距的。并且晶面之间是等间距的。 3.晶向晶向 对对于于一一族族平平行行的的晶晶列列，其其方方向向是是相相同同的的，晶晶列列的的取取向称为晶向。向称为晶向。 对对于于晶晶面面族族，其其晶晶面面的的
3、取取向向也也称称为为晶晶向向。晶晶列列方方向向和晶面方向的标定是不一样的。和晶面方向的标定是不一样的。4密勒指数5密勒指数6密勒指数7密勒指数三、晶列方向的标定三、晶列方向的标定1.固体物理学原胞中晶列方向的标定固体物理学原胞中晶列方向的标定 用格矢量标定晶列方向。用格矢量标定晶列方向。其其中中l1、l2、l3是是整整数数，如如果果是是互互质质的的，可可直直接接用用其其表表示示晶晶列列OA的的方方向向。这这样样三三个个互互质质的的整整数数称称为为晶晶列列指指数数，记记为：为：l1,l2,l3。8密勒指数9密勒指数晶向指数晶向指数10密勒指数晶向指数晶向指数11密勒指数2.晶胞中晶列方向的标定晶
4、胞中晶列方向的标定 对对于于晶晶胞胞，由由于于格格点点可可以以在在体体心心或或面面心心上上，某一格点的位矢或格矢量：某一格点的位矢或格矢量：其其中中 不不一一定定是是整整数数，但但是是有有理理数数，可可以以同同乘乘以以一一个个因因子子，化化成成互互质质整整数数。用用m、n、p表示。记为表示。记为m,n,p。3.例题例题 简立方简立方(sc)、体心立方、体心立方(bcc)晶胞中晶列方向的标定。晶胞中晶列方向的标定。(1)简立方简立方12密勒指数晶轴晶轴面对角线面对角线空间对角线空间对角线13密勒指数(2)体心立方体心立方晶轴晶轴面对角线面对角线空间对角线空间对角线14密勒指数15密勒指数16密勒
5、指数四、晶面方向的标定四、晶面方向的标定 1.原胞中晶面方向的标定原胞中晶面方向的标定(1)晶面方向余弦的标定晶面方向余弦的标定 17密勒指数取取a1、a2、a3为沿三个轴的为沿三个轴的天然的长度单位，可得：天然的长度单位，可得：18密勒指数(2)面指数面指数(h1h2h3) 方向余弦方向余弦 可以表示晶面族可以表示晶面族ABC的方向，因此，比值：的方向，因此，比值：也可以表示晶面族也可以表示晶面族ABC的方向。的方向。 阿阿羽羽依依有有理理指指数数定定律律(r、s、t必必是是有有理理数数)表表明明，该该比比值值可可以以同同乘乘以以某某一一因因子子，化化为为三三个个互互质质的的整整数数。用用h
6、1、h2、h3表表示示, 称称为为面面指指数数。记为记为(h1h2h3)。 19密勒指数(3)阿羽依有理指数定律证明阿羽依有理指数定律证明 因因为为一一族族晶晶面面必必须须包包含含所所有有的的格格点点，所所以以三三个个基基矢矢的的末末端端(分分别别是是格格点点)也也必必须须落落在在晶晶面面上上(可可以以是是不不同同的的晶晶面面)。设设三三个个基基矢矢分分别别落落在在距距离离原原点点为为h1d、h2d、h3d的的晶晶面上，面上，h1、h2、h3是整数。是整数。20密勒指数取取a1、a2、a3为沿三个轴的天然的长度单位为沿三个轴的天然的长度单位:所以，所以，r、s、t是一组有理数。是一组有理数。2
7、1密勒指数(4)面指数面指数(h1h2h3)的物理意义的物理意义平行的晶面族把基矢平行的晶面族把基矢 分分别别截截成成个个h1、h2、h3个个相相等等的的小小段，最靠近原点的晶面段，最靠近原点的晶面在基矢在基矢 轴上的截距分别为轴上的截距分别为:同族的其它晶面的截距为同族的其它晶面的截距为( )的整数倍。的整数倍。如果如果a1、a2、a3取天然的长度单位，则取天然的长度单位，则h1、h2、h3的倒数就是晶面族的倒数就是晶面族(h1h2h3)中最靠近原点晶面在三中最靠近原点晶面在三个轴上的截距。个轴上的截距。22密勒指数对对于于同同一一族族晶晶面面不不论论以以哪哪一一个个晶晶面面为为主主来来标标
8、定定，最最后后的的结果都是一样的。结果都是一样的。(5)面指数面指数(h1h2h3)的标定的标定把晶面在三个坐标把晶面在三个坐标轴上的截距的倒数轴上的截距的倒数化成互质的整数。化成互质的整数。23密勒指数2.晶胞中晶面方向的标定晶胞中晶面方向的标定(1)密密勒勒指指数数把把晶晶面面在在三三个个坐坐标标轴轴上上的的截截距距的的倒倒数数化化成成互互质质的的整整数数即即可可。该该指指数数称称为为密密勒勒指指数数，用用(hkl)表示，它们也是互质的整数。表示，它们也是互质的整数。(2)密勒指数的物理意义密勒指数的物理意义晶轴指数特别简单。晶轴指数特别简单。24密勒指数密勒指数简单的面是重要的晶面。密勒
9、指数简单的面是重要的晶面。 例如例如(100)、(010)、(001)晶面。晶面。密勒指数愈简单的晶面，愈容易解理。密勒指数愈简单的晶面，愈容易解理。(100)(010)(001) 对对于于一一定定的的晶晶格格，原原胞胞的的体体积积是是一一定定的的，如如果果面面间间距距愈愈大大,那那么么，晶晶面面的的面面积积就就愈愈小小，面面密密度度随随之之增增大大。而而面面密密度度愈愈大大, 需需要要维维持持晶晶面面不不脱脱离离晶晶体体所所需需要的能量就愈大，即晶面容易解理。要的能量就愈大，即晶面容易解理。25密勒指数(3)指数标定应注意的问题指数标定应注意的问题若晶面与晶轴平行，则截距为若晶面与晶轴平行，
10、则截距为，则指数为，则指数为0。若晶面通过原点，截距为若晶面通过原点，截距为0，可以选择与之平行的晶面，可以选择与之平行的晶面，进行标定。进行标定。若截距为若截距为负数负数，例如，例如:(-1,0,0)，应表示为：，应表示为： 晶面晶面IJLM：截距：截距：-1，倒数：倒数：-1，0，0指数：指数：26密勒指数立方晶格的几种主要晶面标记立方晶格的几种主要晶面标记 27密勒指数(100)面等效的晶面数分别为：面等效的晶面数分别为：3个。表示为个。表示为100。符符号号相相反反的的晶晶面面指指数数只只是是在在区区别别晶晶体体的的外外表表面面时时才才有有意义意义, 在晶体内部这些面都是等效的在晶体内
11、部这些面都是等效的(110)面等效的晶面数分别为：面等效的晶面数分别为：6个。表示为个。表示为110。(111)面等效的晶面数分别为：面等效的晶面数分别为：4个。表示为个。表示为111。28密勒指数在在最靠近原点最靠近原点的晶面上任取一格矢量：的晶面上任取一格矢量：为晶面族法向单位矢量。为晶面族法向单位矢量。3.例题，例题， 三个基矢三个基矢 的末端分别落在的末端分别落在离原点距离为离原点距离为h1d、h2d、h3d的晶面上，的晶面上，h1、h2、h3是整数，试证明是整数，试证明(h1h2h3)是互质的整数。是互质的整数。采用反证法。采用反证法。 假设假设h1、h2、h3不是互质的，则有不是互质的，则有29密勒指数所以，所以，(h1h2h3)是互质的整数。是互质的整数。30密勒指数
