多目标决策分析ppt课件

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1、第第6 6章章 多目标决策分析多目标决策分析n6.1 多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系n6.2 目标规划方法目标规划方法n6.3 化多为少方法化多为少方法n6.4 多维效用合并方法多维效用合并方法n6.5 AHP方法方法（简介）（简介）n6.6 DEA方法方法16.1多目标决策的目标准则体系多目标决策的目标准则体系 一、什么是目标准则体系一、什么是目标准则体系 二、结构如何，几种类型二、结构如何，几种类型 三、评价准则和效用函数三、评价准则和效用函数 四、对风险因素的处理四、对风险因素的处理问问题题2一、目标准则体系的意义一、目标准则体系的意义n决策目标决策目标 在决策分析中，

2、决策问题要达到的目的。在决策分析中，决策问题要达到的目的。n决策准则决策准则 用数值表示决策方案实现某个目标程度的标用数值表示决策方案实现某个目标程度的标 准和法则。准和法则。n目标准则体系问题目标准则体系问题 单目标决策单目标决策单决策准则单决策准则（准则选择）（准则选择）方案择优方案择优 多目标决策多目标决策多决策准则（构建目标准则体系）多决策准则（构建目标准则体系）总体上总体上 对可行方案择优对可行方案择优 构造原则：构造原则：系统性原则系统性原则可比性原则可比性原则可操作性原则可操作性原则 3一、目标准则体系问题一、目标准则体系问题 直接进行评价和比较直接进行评价和比较 n目标目标 难

3、以直接评价难以直接评价 分解成子目标分解成子目标 （可以直接评价为止）（可以直接评价为止）n例如，某经济特区计划兴建一个大型海港，港址的选择就例如，某经济特区计划兴建一个大型海港，港址的选择就是多目标决策问题是多目标决策问题 海港港址决策的目标准则体系，包括海港港址决策的目标准则体系，包括经济、技术、环境经济、技术、环境以以及及社会社会四个分目标四个分目标 海海滩港址港址经济技技术环境境社会社会4一、目标准则体系问题一、目标准则体系问题n上面四个分目标均不能直接用一个或几个准则进行评上面四个分目标均不能直接用一个或几个准则进行评 价价 ，逐级分解为若干，逐级分解为若干子目标子目标 间接接效效益

4、益例如，经济目标分解例如，经济目标分解可以分解成可以分解成直接经济效益直接经济效益和和间接经济效益间接经济效益两个两个一级子目标一级子目标 直直接接效效益益经济5一、目标准则体系问题一、目标准则体系问题n直接经济效益分解直接经济效益分解n为投资额、投资回收期和利税为投资额、投资回收期和利税总额等三个总额等三个二级子目标二级子目标 n 间接经济效益分解间接经济效益分解n 为海运业收益，国内贸易收益，为海运业收益，国内贸易收益， 国际贸易收益等三个国际贸易收益等三个二级子目标二级子目标 投资额投资回收期利税总额直接效益间接效益海运收益国际贸易收益国内贸易收益 评价评价：时间准则时间准则 货币准则货

5、币准则 货物载运量准则货物载运量准则 货币准则货币准则 6一、目标准则体系问题一、目标准则体系问题n对于技术、社会和环境目标，均可以进行同样的分解这样，形成了对于技术、社会和环境目标，均可以进行同样的分解这样，形成了一个分层结构复杂的目标准则体系（图一个分层结构复杂的目标准则体系（图6.） 总体目标总体目标 准准则则层层海 滩 港 址经济技术环境社会投资额投资回收期利税总额直接效益间接效益海运收益国际贸易收益国内贸易收益航道环境资源交通关系城市关系运行建筑海滩军事政策现状稳定性深度国家安全军港建设三废排放风景古迹淡水资源征地能源铁路公路条件内河条件货物装卸船舶航行稳定性保持稳定难易度码头围堰防

6、波堤这这就就是是目目标标准准则则体体系系 图图6.17二、目标准则体系的结构二、目标准则体系的结构 n可将目标准则体系分成以下三种类型：可将目标准则体系分成以下三种类型： 1单层次目标准则体系单层次目标准则体系 各个目标都各个目标都属于同一层次属于同一层次，每个目标，每个目标无须分解无须分解就可以用单准则给出定量就可以用单准则给出定量评价其结构如图评价其结构如图6.2所示所示总目标总目标适用：微观经济管理，例如选购某种设备和装置适用：微观经济管理，例如选购某种设备和装置 。目目标1目目标2目目标3目目标m-1目目标m图6.28二、目标准则体系的结构二、目标准则体系的结构n2序列型多层次目标准则

7、体系序列型多层次目标准则体系 目标准则体系的各个目标，均可以一层层目标准则体系的各个目标，均可以一层层按类别有序地按类别有序地分解为若干低一层次的子目标分解为若干低一层次的子目标。 特点特点：每个子目标均可由每个子目标均可由相邻上一层次相邻上一层次的某个目标分解而的某个目标分解而成成。 各子目标可以按序列关系分属各类目标，各子目标可以按序列关系分属各类目标，不同类别不同类别的目标准则之间的目标准则之间不发生直接联系不发生直接联系。 适用：适用：宏观经济管理，例如前面提到的海港港址的决策宏观经济管理，例如前面提到的海港港址的决策 。 9二、目标准则体系的结构二、目标准则体系的结构n3非序列型多层

8、次目标准则体系非序列型多层次目标准则体系 相邻两层次子目标之间，相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系仅按自身的属性建立联系，存，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。不存在直接联系。 G非序列型多层非序列型多层次目标准则体次目标准则体系，层次结构系，层次结构如图如图6.3所示所示 图6.3c1c2g1(1)g2(1)gl(1)g1(n)g2(n)gk(n)cs准则层第n层目标第1层目标总目标10三、评价准则和效用函数三、评价准则和效用函数n多目标决策的关键多目标决策的关键 如何从总体上给出可行方案关

9、于目标准则体系中全部目如何从总体上给出可行方案关于目标准则体系中全部目标的标的满意度满意度 n 不同不同的目标用的目标用不同不同的评价准则衡量的评价准则衡量 化为无量纲化为无量纲统一统一的数量标度的数量标度 按特定的法则和逻辑过程进行按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合归纳与综合 建立具有建立具有可比性可比性的数量关系的数量关系 n满意度满意度： 联系第三章知识，效用值分别表示了可行方案在各联系第三章知识，效用值分别表示了可行方案在各目标准则下，对于决策主体的价值，都目标准则下，对于决策主体的价值，都用区间用区间0， 1上的实数表示上的实数表示。 任何一个可行方案在总体上对决策主体满意度，任何

10、一个可行方案在总体上对决策主体满意度，通通过这些效用值按照某种法则并合而得过这些效用值按照某种法则并合而得 11 四、目标准则体系风险因素的处理四、目标准则体系风险因素的处理n单目标风险型决策单目标风险型决策 期望效用值较好地表期望效用值较好地表示满意度示满意度 n多目标决策多目标决策 风险型多目标问题风险型多目标问题 可行方案在各自然状态下的结果值转化为期望结果值可行方案在各自然状态下的结果值转化为期望结果值 对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理 确定型多目标问题确定型多目标问题126.2 目标规划方法目标规划方法n称为目的规划

11、，是查恩斯（称为目的规划，是查恩斯（ACharnes）和库）和库柏（柏（WWCooper）于）于1961年提出来的年提出来的n目标规划克服了线性规划目标单一的缺点，是一目标规划克服了线性规划目标单一的缺点，是一种实用的多目标决策方法这种方法对单层次目种实用的多目标决策方法这种方法对单层次目标准则体系的决策问题十分有效标准则体系的决策问题十分有效. 目标规划目标规划13一、目标规划模型一、目标规划模型n多目标线性规划的一般形式是多目标线性规划的一般形式是 为了求解多目标线性规划，需要解决两个问题为了求解多目标线性规划，需要解决两个问题: 第一，如何将多目标规划转化为单目标规划求解；第一，如何将多

12、目标规划转化为单目标规划求解； 第二，第二，K个目标函数对于决策者来说，有主次轻重之分，个目标函数对于决策者来说，有主次轻重之分，如何表示多目标的主次顺序如何表示多目标的主次顺序 14一、目标规划模型一、目标规划模型n求解多目标线性规划的方法很多，目标规划是其求解多目标线性规划的方法很多，目标规划是其中有效方法之一中有效方法之一 基本方法：基本方法： 对每一个目标函数引进一个期望值对每一个目标函数引进一个期望值 引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的引入正、负偏差变量，表示实际值与期望值的偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约偏差，并将目标函数转化为约束条件，与原有约束条件构成新的约束条

13、件组束条件构成新的约束条件组 引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的引入目标的优先等级和权系数，构造新的单一的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解 15一、目标规划模型一、目标规划模型 1目标函数的期望值目标函数的期望值 对于多目标线性规划的每一个目标函数值对于多目标线性规划的每一个目标函数值Zk（k=1，2，K），根据实际情况和决策者的），根据实际情况和决策者的希望，确定一个期望值希望，确定一个期望值ek尽管尽管K个目标的期望个目标的期望值难以全部达到，寻求可行解应该使这些目标的值难以全部达到，寻求可行解应该使这些目标的期望值最接近地得以实

14、现期望值最接近地得以实现 2 2正、负偏差变量正、负偏差变量 对每一个目每一个目标函数函数值，分，分别引入正、引入正、负偏差偏差变量量（k1，2，K） 表示第表示第k个目标超出（未达到）期望值个目标超出（未达到）期望值ek的数值，的数值，其中至少有一个为零。其中至少有一个为零。 16一、目标规划模型一、目标规划模型n引入偏差变量之后，目标函数就变成了约引入偏差变量之后，目标函数就变成了约束条件，成为约束条件组的一部分束条件，成为约束条件组的一部分n原有的约束条件，也可以用引入偏差变量原有的约束条件，也可以用引入偏差变量的办法，将不等式约束变成等式约束，偏的办法，将不等式约束变成等式约束，偏差变

15、量起着松弛变量的作用差变量起着松弛变量的作用 3准则函数准则函数各个目标函数引入期望值和偏差变量后，已并入约束各个目标函数引入期望值和偏差变量后，已并入约束条件组，需要构造新的目标函数条件组，需要构造新的目标函数 17一、目标规划模型一、目标规划模型n目标规划模型的目标函数称为目标规划模型的目标函数称为准则函数准则函数，是一个，是一个以诸偏差变量取最小值，单一综合性的目标函数以诸偏差变量取最小值，单一综合性的目标函数构造准则函数，多目标问题就转化为单目标问构造准则函数，多目标问题就转化为单目标问题准则函数的一般形式是题准则函数的一般形式是 具体形式有三种：具体形式有三种： 要求某个目要求某个目

16、标恰好达到期望恰好达到期望值，正、，正、负偏差偏差变量量都都应该取最小取最小值，可取和，可取和式式达到最小达到最小值准准则函数的形式函数的形式为 18一、目标规划模型一、目标规划模型 要求某个目标不低于期望值，即该目标的正偏差变量要求某个目标不低于期望值，即该目标的正偏差变量不受限制，负偏差变量取最小值准则函数形式为不受限制，负偏差变量取最小值准则函数形式为 要求某个目标不高于期望值，即该目标的负偏差变量要求某个目标不高于期望值，即该目标的负偏差变量不受限制，正偏差变量取最小值准则函数形式为不受限制，正偏差变量取最小值准则函数形式为将各目标不同形式取最小值的偏差变量相加，就将各目标不同形式取最

17、小值的偏差变量相加，就得到准则函数得到准则函数 4. 优先因子和权系数优先因子和权系数 各个目标有主次之分为此，引进优先因子各个目标有主次之分为此，引进优先因子Pi（i1，2，L），表示目标属于第），表示目标属于第i个优先级别，共有个优先级别，共有L个优先等级个优先等级 19一、目标规划模型一、目标规划模型例如，例如， 表示第表示第k个正偏差个正偏差变量列入第量列入第1优先先级别优先因子先因子Pi不不仅作作为一种一种记号，号，还可以看作可以看作偏差偏差变量的一种特殊正系数，参加量的一种特殊正系数，参加一般运算一般运算 相相邻优先先级别的关系是的关系是: :规定定级别Pi比比Pi+1有更大的有更

18、大的优先先权 首先必须保证级别首先必须保证级别Pi的目标实现，其后再考虑的目标实现，其后再考虑Pi+1级目标由于级目标由于Pi，Pi+1不是同一级别的量，对于任不是同一级别的量，对于任意正数意正数 M，均有，均有Pi M Pi+1例如，例如，P1 100P2等等 20一、目标规划模型一、目标规划模型n在同一优先级别中，为了区分不同目标偏差变在同一优先级别中，为了区分不同目标偏差变量的重要程度，引入权系数量的重要程度，引入权系数ij, 权系权系数的数值根据实际情况而定数的数值根据实际情况而定目标规划模型的一般形式是目标规划模型的一般形式是 （6.2） 21一、目标规划模型一、目标规划模型n目标规

19、划的建模步骤目标规划的建模步骤 假设决策变量；假设决策变量； 建立约束条件；建立约束条件； 建立各个目标函数；建立各个目标函数； 确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束确定各目标期望值，引入偏差变量，将目标函数化为约束方程；方程； 确定各目标优先级别和权系数，构造准则函数确定各目标优先级别和权系数，构造准则函数 分析实际问题到建立模型，是应用目标规划解决实际问题分析实际问题到建立模型，是应用目标规划解决实际问题的关键而困难的一步的关键而困难的一步 22一、目标规划模型一、目标规划模型n例例6.1某厂生产某厂生产A，B两种型号的产品，需要消耗两种型号的产品，需要消耗甲、乙两种材料，其

20、单位消耗、单位利润和材料库存甲、乙两种材料，其单位消耗、单位利润和材料库存如表如表6.1市场对产品市场对产品B的需求量大，要尽可能多生产，的需求量大，要尽可能多生产，如何安排生产如何安排生产A，B型号产品，使厂家获得最大利润型号产品，使厂家获得最大利润 根据市场需求情况，决策者确定首要目标是确保利润根据市场需求情况，决策者确定首要目标是确保利润755万元，其次是产品万元，其次是产品B的产量不得低于目标值的产量不得低于目标值650万万件，试对厂家生产作出决策分析件，试对厂家生产作出决策分析单耗（万斤耗（万斤/万件）万件） 产品品材料材料产品品材料存量材料存量AB甲甲0.50.3300(万斤万斤)

21、乙乙0.10.3180(万斤万斤)利利润（万元（万元/万件）万件）0.71.023一、目标规划模型一、目标规划模型n解：解：设设A，B型产品的产量分别为型产品的产量分别为x1, x2万件先分析该问万件先分析该问题的约束条件题的约束条件 原材料约束原材料约束：由表：由表6.1知，对于材料甲，知，对于材料甲，A、B型产品的型产品的单耗分别为单耗分别为0.5，0.3，材料存量为，材料存量为300于是，有约束条件于是，有约束条件 0.5x10.3x2300 同样，对于材料乙，有约束条件同样，对于材料乙，有约束条件0.1x1十十0.3x2180利润约束利润约束：A，B型产品的单位利润分别为型产品的单位利

22、润分别为0.7，1.0，管，管理首要目标是确保利润理首要目标是确保利润755万元于是，有约束条件万元于是，有约束条件由于第一级管理目标要确保利润值，设利润值的正、由于第一级管理目标要确保利润值，设利润值的正、负偏差变量为负偏差变量为 d3， d3-，约束条件即为，约束条件即为 24一、目标规划模型一、目标规划模型产量约束产量约束：产品：产品B的产量不得低于的产量不得低于650，于是有，于是有由于第二级管理目标要不低于由于第二级管理目标要不低于650，设产品，设产品B产量的正、产量的正、负偏差变量为负偏差变量为 约束条件即为约束条件即为 再分析准则函数的优先级别各级管理目标依次是：再分析准则函数

23、的优先级别各级管理目标依次是： P1级目标：确保利润值恰好为级目标：确保利润值恰好为 755，即有，即有 P1 (d3+ +d3- ) 表示利润值的正负偏差变量之和最小表示利润值的正负偏差变量之和最小 P2级目标：产品级目标：产品B的产量不得低于的产量不得低于650，即有，即有P2d4-，表示，表示产品产品B产量的负偏差变量最小。产量的负偏差变量最小。 25一、目标规划模型一、目标规划模型n另外，为使材料约束条件的不等式约束化为等式约束，另外，为使材料约束条件的不等式约束化为等式约束，分别设分别设dl，d1-为甲材料的正、负偏差变量，为甲材料的正、负偏差变量，d2，d2-为为乙材料的正、负偏差

24、变量综上分析，此问题的目标规乙材料的正、负偏差变量综上分析，此问题的目标规划模型为划模型为26一、目标规划模型一、目标规划模型n例例6.2某纺织厂生产尼龙布和棉布，平均生产能力是每某纺织厂生产尼龙布和棉布，平均生产能力是每小时小时1千米，工厂开工能力为每周千米，工厂开工能力为每周80小时根据市场预测，小时根据市场预测，每周最大销售量尼龙布每周最大销售量尼龙布70千米，棉布千米，棉布45千米尼龙布单位千米尼龙布单位利润为每米利润为每米2.5元，棉布每米元，棉布每米1.5元厂家确定四级管理目元厂家确定四级管理目标：标： P1：保证正常生产，避免开工不足；：保证正常生产，避免开工不足；P2：限制加班

25、时间，不超过：限制加班时间，不超过10小时；小时；P3：尽量达到最大销售量，尼龙布：尽量达到最大销售量，尼龙布70千米，棉布千米，棉布45千米；千米；P4：尽可能减少加班时间：尽可能减少加班时间试对该厂尼龙布和棉布生产进行决策分析试对该厂尼龙布和棉布生产进行决策分析 27一、目标规划模型一、目标规划模型n解：解：设尼龙布和棉布周生产量分别为设尼龙布和棉布周生产量分别为x1,x2（千米）先分（千米）先分析约束条件，并引入各目标约束的偏差变量析约束条件，并引入各目标约束的偏差变量 开工能力约束开工能力约束：每周开工：每周开工80小时，由于尼龙布和棉布小时，由于尼龙布和棉布生产能力是每小时生产能力是

26、每小时 1千米，其生产时间分别是千米，其生产时间分别是x1， x2小时小时并设开工时间的正、负偏差变量为并设开工时间的正、负偏差变量为d1，d1-，于是，于是销售量约束销售量约束：尼龙布和棉布最大周销售量分别为：尼龙布和棉布最大周销售量分别为70千米，千米，45千米设尼龙布和棉布的负偏差变量分别为千米设尼龙布和棉布的负偏差变量分别为d2+,d2-,d3+,d3-,于是有于是有 28一、目标规划模型一、目标规划模型 加班时间约束加班时间约束：加班时间不超过：加班时间不超过10小时设正、负偏差小时设正、负偏差变量分别为变量分别为d4+，d4-，于是有，于是有再分析优先级别，确定权系数和建立准则函数

27、再分析优先级别，确定权系数和建立准则函数 P1级目标：避免开工不足，开工时间的负偏差变量要尽级目标：避免开工不足，开工时间的负偏差变量要尽量地小，即量地小，即P1 d1- P2级目标：加班时间不超过级目标：加班时间不超过10小时，即小时，即P2 d4+ P3级目标：尽量达到最大销售量，级目标：尽量达到最大销售量，P3级目标应包括级目标应包括 d2-， d3-，并取和式，并取和式d2-d3-由于尼龙布和棉布的单位利润分别为由于尼龙布和棉布的单位利润分别为2.5元米，元米，1.5元米，权系数应取比例元米，权系数应取比例2.5:1.5= 5:3于是于是有有 P3（5 d2- 3 d3-） P4级目标

28、：尽可能减少加班时间，即有级目标：尽可能减少加班时间，即有P4 d1+29一、目标规划模型一、目标规划模型综上所述，该问题的目标规划模型为综上所述，该问题的目标规划模型为306.3 化多为少方法化多为少方法一、主要目标法一、主要目标法二、线性加权和法二、线性加权和法三、平方和加权法三、平方和加权法四、理想点法四、理想点法五、步骤法（五、步骤法（STEM法）法）31n对于一般单层次多目标决策模型，经常采用化为对于一般单层次多目标决策模型，经常采用化为单目标决策模型来求解。其方法大致可分为两类，单目标决策模型来求解。其方法大致可分为两类，一类是转化为一类是转化为一个单目标问题一个单目标问题；另一类

29、是转化为；另一类是转化为多个单目标问题多个单目标问题。n一般单层次多目标决策模型可表示为一般单层次多目标决策模型可表示为其中其中表示表示m个目标函数，个目标函数，X表示满足某些约束条件的表示满足某些约束条件的n维点集。维点集。(6.3)32一、主要目标法一、主要目标法在有些多目标决策问题中，各种目标的重要程度往在有些多目标决策问题中，各种目标的重要程度往往不一样。其中一个重要程度最高和最为关键的目往不一样。其中一个重要程度最高和最为关键的目标，称之为标，称之为主要目标主要目标，其余的目标则为非主要目标。，其余的目标则为非主要目标。例如，在多目标决策问题例如，在多目标决策问题(6.3)式中，假设

30、式中，假设f1(x)为主为主要目标，其余要目标，其余m-1个目标为非主要目标。此时，希个目标为非主要目标。此时，希望主要目标达到极大值，并要求其余的目标满足一望主要目标达到极大值，并要求其余的目标满足一定的条件，即定的条件，即通过通过 求解单目标决策问题求解单目标决策问题(6.4)可得多目标决策问题可得多目标决策问题(6.3)的一个的一个弱有效解弱有效解。(6.4)33例例6.5 某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品，各产品都要消耗原材料都要消耗原材料A、B和设备和设备C三种不同的资源，每件产品对三种不同的资源，每件产品对资源的单位消耗、各种资源

31、的限量以及各产品的单位价格、资源的单位消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和所造成的单位污染如下表所示。假定产品能全部单位利润和所造成的单位污染如下表所示。假定产品能全部销售出去，问每期怎样安排生产，才能使利润和产值都达到销售出去，问每期怎样安排生产，才能使利润和产值都达到最大，且造成的污染达到最小？最大，且造成的污染达到最小？ 产品产品资源资源甲甲乙乙资源限额资源限额原材料原材料A45200/公斤公斤原材料原材料B94240/公斤公斤设备设备C310300/工时工时价格价格/（元（元/件）件）400600利润利润/（元（元/件）件）70120污染污染3234解：解： 设甲、乙两

32、种产品的产量分别为设甲、乙两种产品的产量分别为x1,x2件。件。该问题有该问题有3个目标，即个目标，即该问题的约束条件为该问题的约束条件为建立该问题的多目标决策模型：建立该问题的多目标决策模型：35假定对上述模型的假定对上述模型的3个目标，工厂确定利润最大为主要目标，个目标，工厂确定利润最大为主要目标，另两个目标则通过预先给定的希望达到的目标转化为约束条件。另两个目标则通过预先给定的希望达到的目标转化为约束条件。经研究，工厂认为总产值至少应达到经研究，工厂认为总产值至少应达到20000个单位，而污染量个单位，而污染量则应控制在则应控制在90个单位以下，即个单位以下，即由主要目标法得到如下单目标

33、规划问题：由主要目标法得到如下单目标规划问题：用单纯形法求解，得用单纯形法求解，得x1=12.5,x2=26.25,f1(x)=4025,f2(x)=20750,f3(x)=9036二、线性加权和法二、线性加权和法 多目标决策问题多目标决策问题(6.3)，对，对m个目标函数个目标函数分别赋以权系数分别赋以权系数i,i=1,2,m,构成新的目构成新的目标函数（函数（评价函数）价函数）将求解多目标问题将求解多目标问题(6.3)转化为求解如下单目标决策问题转化为求解如下单目标决策问题由于多目标决策问题中关于目标的度量单位和数量级不同，由于多目标决策问题中关于目标的度量单位和数量级不同，一般先应作标准

34、化处理。一般先应作标准化处理。例例6.6 某公司计划进一批新卡车，可供选择的卡车有某公司计划进一批新卡车，可供选择的卡车有4种类型：种类型：A1,A2,A3,A4,现考虑现考虑6个方案属性：维修期限个方案属性：维修期限f1,百升汽油公里数百升汽油公里数f2,最大载重吨数最大载重吨数f3，价格，价格(万元万元)f4，可靠性，可靠性f5,灵敏性灵敏性f6。这。这4种型种型号的卡车分别关于目标属性的指标号的卡车分别关于目标属性的指标fij如表所示。如表所示。(6.5)37fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般一般高高A22.527003.465低低一般一般A32.020004.2

35、45高高很高很高A42.21800450很高很高一般一般解：解：先将定性指标定量化：先将定性指标定量化：可靠性：一般（可靠性：一般（5），低（），低（3），高（），高（7），很高（），很高（9）灵敏性：高（灵敏性：高（7），一般（），一般（5），很高（），很高（9）按以下公式做无量纲的标准化处理：按以下公式做无量纲的标准化处理：38 变换后的指标值矩阵（变换后的指标值矩阵（aij）如下表：）如下表：fijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A21001001111A3142.2510010067100A440.625.756775.251001设权系数向量设权系数向量 =（

36、0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3），），则由于由于，最优方案为选购，最优方案为选购A3型卡车。型卡车。39运用线性加权和法求解多目标决策问题的难点是如何找到合理运用线性加权和法求解多目标决策问题的难点是如何找到合理的权系数，下面介绍几种确定权系数方法。的权系数，下面介绍几种确定权系数方法。1. 法法以两个目标的多目标决策问题为例，解释以两个目标的多目标决策问题为例，解释法确定法确定权系数的原系数的原理。理。设有多目标决策问题：设有多目标决策问题：化为单目标决策问题：化为单目标决策问题：其中，其中，1，2由下述方程组来确定由下述方程组来确定40解上述方程组可得：解上述方程组可得：若

37、规定若规定 1+2=1，即可得到，即可得到于是有于是有41例例 6.7 设有多目标决策问题设有多目标决策问题解：解：先分别对目标函数先分别对目标函数f1(x),f2(x)求得其最优解，它们是求得其最优解，它们是由此由此可得可得42于是于是容易求得容易求得2. - 法法设有多目标决策问题公式设有多目标决策问题公式(6.3)，- 法确定法确定权系数的原理是系数的原理是将公式将公式(6.3)化化为如下如下单目目标决策决策问题适用条件：适用条件：fi*043三、平方和加权法三、平方和加权法四、理想点法四、理想点法假设多目标决策问题公式假设多目标决策问题公式(6.3)，对，对m个目标函数个目标函数分别有

38、最优值分别有最优值要求目标要求目标fi(x)与规定值与规定值fi*相差尽量小（相差尽量小（i=1, 2, , m），），可构可构造目标函数：造目标函数：构成单目标决策问题：构成单目标决策问题：i i 权系数，可按要求的相差程度分系数，可按要求的相差程度分别给出。出。44设为设为x(0),则则x=x(0)即为公式即为公式(6.5)的最优解；若不然，则考虑解如的最优解；若不然，则考虑解如下单目标决策问题下单目标决策问题例例6.8 设有多目标决策问题设有多目标决策问题试用理想点法求解。试用理想点法求解。解：解：先分别对目标函数先分别对目标函数f1(x),f2(x)求得其最优解，求得其最优解，故理想点

39、为故理想点为F*=(f1*,f2*)T=(12,24)T 。45然后求解单目标决策问题然后求解单目标决策问题可求得最优解可求得最优解 x*=(0.53,5.65)T, 对应的目标函数值分别为对应的目标函数值分别为五五. 步骤法（步骤法（STEM法）法） 是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话式方法。是逐步迭代的方法，也称逐步进行法、对话式方法。在求解过程中，每进行一步，分析者就把计算结果告诉决策在求解过程中，每进行一步，分析者就把计算结果告诉决策者，决策者对计算结果作出评价。若认为已满意了，则迭代者，决策者对计算结果作出评价。若认为已满意了，则迭代停止；否则分析者再根据决策者的意见进行修改和再

40、计算，停止；否则分析者再根据决策者的意见进行修改和再计算，如此直到求得决策者认为满意的解为止。如此直到求得决策者认为满意的解为止。46设有多目标线性规划问题：设有多目标线性规划问题：其中其中STEM法的求解步骤：法的求解步骤：(1)分别求解分别求解k个单目个单目标线性规划问题标线性规划问题47结果可列表给出（称为支付表）结果可列表给出（称为支付表）:得到的最优解记为得到的最优解记为x(i)，其相应的目标函数值记为，其相应的目标函数值记为fi*（i=1, 2, , k），并），并x(i)代入其它目标函数：代入其它目标函数：x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2

41、izjizkix(k)z1kz2kzjkzkk48(2)求权系数：从支付表中得到求权系数：从支付表中得到为找出目标值的偏差以及消除不同目标值的量纲不同的问题，为找出目标值的偏差以及消除不同目标值的量纲不同的问题，进行如下处理进行如下处理：归一化后得权系数：归一化后得权系数：(3)求解求解49该线性规划问题的最优解记为该线性规划问题的最优解记为x0 。(4)将将x0 和相应的目标值和相应的目标值交给决策者判断。交给决策者判断。决策者把这些目标值与理想值进行比较后，若认为满意了，决策者把这些目标值与理想值进行比较后，若认为满意了，则可停止计算；若认为相差太远，则考虑适当修正则可停止计算；若认为相差

42、太远，则考虑适当修正 。如：考虑对第如：考虑对第r个目标让一点步，降低一点目标值个目标让一点步，降低一点目标值fr 。(5)求解求解求得解后，再与决策者对话，如此重复，直至决策者认为满求得解后，再与决策者对话，如此重复，直至决策者认为满意了为止。意了为止。50例6.9某公司考虑生产甲、乙两种太阳能电池，某公司考虑生产甲、乙两种太阳能电池，生产过程会在空气中引起放射性污染，因生产过程会在空气中引起放射性污染，因此决策者有两个目标：极大化利润与极小此决策者有两个目标：极大化利润与极小化总的放射性污染。已知在一个生产周期化总的放射性污染。已知在一个生产周期内，每单位甲产品的收益是内，每单位甲产品的收

43、益是1元，每单位乙元，每单位乙产品的收益是产品的收益是3元；每单位甲产品的放射性元；每单位甲产品的放射性污染是污染是1.5单位，每单位乙产品的放射性污单位，每单位乙产品的放射性污染是染是1单位，由于机器能力（小时）、装配单位，由于机器能力（小时）、装配能力（人时）和可用的原材料（单位）的能力（人时）和可用的原材料（单位）的限制，约束条件是（限制，约束条件是（ x1、x2分别为甲、乙产分别为甲、乙产品的产量）：品的产量）：51该问题的目标函数为：该问题的目标函数为：52先分别求解先分别求解得：得： x(1)=(7.25, 12.75)T， x(2)=(0, 0)T f1*=45.5， f2*=0

44、53支付表f1f2x(1)=(7.25, 12.75)T45.523.625x(2)=(0, 0)T0054求权系数：从求权系数：从支付表中得到支付表中得到归一化后得权系数：归一化后得权系数：55求解求解最优解为最优解为x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 56将将x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 交给决策者判断。交给决策者判断。决策者将其与理想值（决策者将其与理想值（45.5, 0）进行比较）进行比较后，认为后，认为f2 是满意的，是满意的，但利润太低但利润太低。且认为。且认为可以接受污染值为可以

45、接受污染值为10个单位。个单位。修改约束集修改约束集求解得求解得x1=(0, 10)T, f1(x1)=30, f2(x0)=- -10 决策者认为满意，停止迭代。决策者认为满意，停止迭代。 576.4 多维效用并合方法多维效用并合方法 如何解决多目标决策出现的如何解决多目标决策出现的不可不可公度性公度性和和矛盾性矛盾性？ 一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例问问题题58一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型n设多目标决策问题有设多目标决策问题有s个评价准则，有个评价准则，有m个可行方案个可行

46、方案 测定和计算测定和计算s个评价准则个评价准则相应的效用函数相应的效用函数为为u1，u2，us，得到，得到 m个可分方案个可分方案a1，a2，am在在S个评价准则下的效用值分别是个评价准则下的效用值分别是 将将s个分效用个分效用并合为总效用并合为总效用，并依据总效用对可行方案进行，并依据总效用对可行方案进行排序排序 适用适用：主要解决主要解决序列型序列型多层次目标准则体系问题多层次目标准则体系问题 多多维维效效用用并并合合方方法法 59一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型n设经过系统分析，已经构建了序列型多层次目标准则体系设经过系统分析，已经构建了序列型多层次目标准则体系 总效用值（满意

47、度总效用值（满意度 ）效用效用并合并合过程过程从下从下到上到上逐层逐层进行进行 第二层子目标的效用值第二层子目标的效用值 倒数第二层各子目标的效用值倒数第二层各子目标的效用值 最低一层各准则的效用值最低一层各准则的效用值 符号符号“。”表示接某种规则和逻缉程序进行的效用并合运算表示接某种规则和逻缉程序进行的效用并合运算Hv1w1u1v2vlw2Wk-1wku2upUp+1us-1us60一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型 最低一层各准则的效用，经过并合得到最低一层各准则的效用，经过并合得到 如此并合，继续由下而上进行第三层子目标的如此并合，继续由下而上进行第三层子目标的效用并合得到第二层

48、各目标的并合效用值效用并合得到第二层各目标的并合效用值61一、多维效用并合模型一、多维效用并合模型 （i=1,2,m） （6.8）最后，可行方案最后，可行方案ai的满意度的满意度多维效用并合的最满意方案为多维效用并合的最满意方案为a*，其满意度，其满意度62二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则定义域是坐标平面定义域是坐标平面u1u2上的一个上的一个正方形正方形，称为二维效用平面，称为二维效用平面 值域是值域是W轴上的区间轴上的区间0，1，曲面，曲面WW（u1，,un）称为）称为n维效用曲面维效用曲面 定义域是定义域是n维效用空间上有维效用空间上有2n个顶点的个顶点的凸多面体凸多面体 凸多面

49、体：其任两点的凸组合仍属于它。凸多面体：其任两点的凸组合仍属于它。 k1 u1 +k2 u2 （k1 +k2=1, k1,k2=0）二维效用函数二维效用函数 设效用设效用u1,u2分别在区间分别在区间0,1上取值，二元连续函上取值，二元连续函数数ww（u1,u2） n维效用函数维效用函数 设效用设效用u1，u2，un分别在区间分别在区间0，1取值，取值，n元连续函数元连续函数Ww（u1，u2，un） 63二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则决策目标的属性不同，效用并合的方式不同决策目标的属性不同，效用并合的方式不同讨论几种常用的二维效用并合规则讨论几种常用的二维效用并合规则1距离规则距离规

50、则满足如下条件：满足如下条件： 当二效用同时达到最大值时当二效用同时达到最大值时并合效用才达到最大值；并合效用才达到最大值； 当二效用同时取最小值时当二效用同时取最小值时并合效用取零效用值并合效用取零效用值 ； 二效用之一达到最大值二效用之一达到最大值 均不能使并合效用达到最大值均不能使并合效用达到最大值； 二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离成正比例值点的距离成正比例 ；64二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则设二维效用函数设二维效用函数W=W（u1，u2）按照距离规则所满足的条）按照距离规则所满足的条件，件，W=

51、W（u1，u2）应该满足条件：）应该满足条件：W（1，1）=1；W（0，0）=0；0w(1,u2) 1, 0u210w(u1,1) 1, 0u11 设效用最大值点为设效用最大值点为Q*(1,1)，效用最小值点，效用最小值点Qo（0,0），即），即有有W（Q*）=1，W（Qo）0点点Q*与与Qo之间的距离为之间的距离为 1.414 点点Q（u1，u2）与点）与点Q*之间的距离为之间的距离为 W(u1, u2)取值与距离d= 成正比例变化成正比例变化. d=65 于是，根据条件于是，根据条件，有比例式，有比例式即即从而解得（从而解得（6.9）:二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则 公式（公式（

52、6.9）可以推广到多维情形）可以推广到多维情形 . n维效用空间是一个有维效用空间是一个有2n个顶点的凸多面体个顶点的凸多面体, 唯一点唯一点Q*（1，1，1）是并合效用最）是并合效用最大值点，即大值点，即W（Q*）=1. 唯一零效用值点唯一零效用值点Qo（0，0，0），），即即W（Qo）0 . n维效用空间任一点维效用空间任一点Q（u1，u2，un）与）与点点Q*之间的距离为之间的距离为66二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则 点点Q*与与Qo之间的距离为之间的距离为 于是，同样可以推出于是，同样可以推出n维效维效用并合的距离规则计算公式为用并合的距离规则计算公式为d=（6.10）例如：

53、例如：成本和效益的效用并合可以按距离规则进行，并合效用成本和效益的效用并合可以按距离规则进行，并合效用函数函数 67二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则W（0，0）=0；W（1，1）=1； w( 1,u2) =1, 0u21 w(u1,1) =1, 0u11 设代换规则所确定的二维效用函数设代换规则所确定的二维效用函数wW（u1，u2），），根据代换规则的特点，此效用函数应该满足条件：根据代换规则的特点，此效用函数应该满足条件：2代换规则代换规则满足条件：满足条件：二效用对决策主体具有同等重要性。二效用对决策主体具有同等重要性。 只要其中一个目标的效用取得最大值只要其中一个目标的效用取得最

54、大值并合效用也并合效用也达到最高水平达到最高水平 68二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则推广到多维情形推广到多维情形 在在n维效用空间中，除点维效用空间中，除点Qo（0，0，0）并合效用）并合效用值为零以外值为零以外 ，凸多面体效用空间的其余，凸多面体效用空间的其余2n1个顶点的总效个顶点的总效用值均等于用值均等于 1 (6.11) (6.12)由上述条件，容易导出代换规则的二维效用并合公式为由上述条件，容易导出代换规则的二维效用并合公式为n维效用并合的代换公式为维效用并合的代换公式为69二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则W（1，1）=1；3加法规则加法规则 适用情况：适用情况：二

55、效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献二效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献没有本质差异，并且可以互相线性地补偿，即一目标效用没有本质差异，并且可以互相线性地补偿，即一目标效用的减少可以由另一目标效用值的增加得到补偿的减少可以由另一目标效用值的增加得到补偿. 完满的总效完满的总效用只有当二效用值均达到最高水平时才能实现用只有当二效用值均达到最高水平时才能实现 加法规则所确定的二维效用函数加法规则所确定的二维效用函数WW（u1，u2），应满），应满足如下条件：足如下条件：W（0，0）=0；0w(1,0) =1 ， W(0,1)=2 ，并且并且1+2=1.70二、多维效用并合规则二、多维效用并合

56、规则根据上述条件，容易导出加法规则的二维效用并合公式为根据上述条件，容易导出加法规则的二维效用并合公式为 推广到一般情形推广到一般情形 n维效用空间维效用空间 ，除除 W（ Q*）=1， W（Qo）=0外，其余外，其余2n2个顶点的并合效用值均在个顶点的并合效用值均在0和和1之间之间 。其中仅有一维效用值为其中仅有一维效用值为1，其余维效用值为，其余维效用值为0的的n个点的并合效用值大小，由该效用对并合效用的个点的并合效用值大小，由该效用对并合效用的重要程度来决定。重要程度来决定。 其中，其中，1,2为常数，为常数，0i1（i1，2），称为二），称为二效用效用u1，u2的权系数，表示二效用各自

57、在并合中的重要的权系数，表示二效用各自在并合中的重要程度程度71二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则（6.14）加法规则的加法规则的n维并合效用公式为维并合效用公式为例如，居民消费水平目标可以分解为例如，居民消费水平目标可以分解为吃、用吃、用两个子目标，其两个子目标，其中一个子目标效用值减少，而另一个子目标效用值增加，可中一个子目标效用值减少，而另一个子目标效用值增加，可以认为它们之间以认为它们之间相互能够补偿相互能够补偿，居民消费水平并没有下降，居民消费水平并没有下降 i称为第称为第i个目标效用的个目标效用的权系数权系数其中其中72二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则 W（1，1）=

58、1； W（0，0）=0； W（1，0）=W（0，1）=0；4乘法规则乘法规则 乘法规则确定的二维效用函数乘法规则确定的二维效用函数WW（u1,u2），应满足如），应满足如下条件：下条件：适用情况：适用情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代。只要其中任意一个目标效用值为互之间完全不能替代。只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为0 二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代不能替代73二、多

59、维效用并合规则二、多维效用并合规则根据乘法法则与代换法则的关系，容易导出乘法法则的二维根据乘法法则与代换法则的关系，容易导出乘法法则的二维效用并合公式由公式（效用并合公式由公式（6.11），有），有 令令于是，得到乘法法则并合效用计算公式于是，得到乘法法则并合效用计算公式是正常数是正常数其中，其中，乘法法则效用并合更一般的计算公式是乘法法则效用并合更一般的计算公式是当当时，即为公式时，即为公式 （6.15） (6.15)(6.16)74二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则更一般的计算公式是更一般的计算公式是 也可以表示为对数形式，即也可以表示为对数形式，即 其中，其中， 是正常数是正常数当

60、当 时，即为公式（时，即为公式（6.17） (6.18)(6.19) (6.17)推广到多维情形推广到多维情形 n维效用空间维效用空间 ，其凸多面体其凸多面体 个顶点，除个顶点，除点点Q*的并合效用值等于的并合效用值等于1之外，其余之外，其余 个顶点的并合效个顶点的并合效用值均为用值均为0 n维效用并合乘法规律的计算公式为维效用并合乘法规律的计算公式为75二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则 (6.20) (6.21)5混合规则混合规则混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系 ，当代换、当代换、加法和乘法三规则加法和乘法三规则选用哪一种拿不准时选

61、用哪一种拿不准时，可以使用混合规则。，可以使用混合规则。混合规则的二维效用并合公式，可由代换规则二维效用并混合规则的二维效用并合公式，可由代换规则二维效用并合公式（合公式（6.11）变化而得，用）变化而得，用 代替代替当当 0时，经过简单恒等变形，公式（时，经过简单恒等变形，公式（6.20）可以化为较）可以化为较为规范的形式为规范的形式则有则有1称为形式因子，称为形式因子，取不同取不同值分分别表示上述三种表示上述三种规则：76二、多维效用并合规则二、多维效用并合规则当形式因子当形式因子 1，且，且c1c2=1时，公式化为代换时，公式化为代换规则形式，即规则形式，即 (6.22)当当 = 0时，

62、时，c1+c2=1时，公式化为加法规则形式；即时，公式化为加法规则形式；即当当 0时，公式近似于乘法规则形式，即时，公式近似于乘法规则形式，即推广到推广到n维情形，混合规则的维情形，混合规则的n维效用并合公式为维效用并合公式为77三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例我国总人口目标我国总人口目标 实例是西安交通大学系统工程研究所已完成的研究课题，实例是西安交通大学系统工程研究所已完成的研究课题，引用已发表的部分资料引用已发表的部分资料 （应用多维效用并合方法应用多维效用并合方法 ）问题问题 在在100年内，我年内，我国人口控制最国人口控制最合理的总目标合理的总目标是多少是多少

63、 ？背景背景我国人口发展周期，我国人口发展周期，应是人均寿命应是人均寿命70年年制定人口控制目制定人口控制目标方案，宜以标方案，宜以100年为时间范围年为时间范围 方案方案对我国总人口目标的对我国总人口目标的14个个方案进行决策分析，即我方案进行决策分析，即我国总人口分别控制为国总人口分别控制为2亿亿15亿亿14个人口方案分个人口方案分别记为别记为 ai，其满意度分别，其满意度分别设为设为Hi（i 1 14） 78三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例n3目标准则体系目标准则体系 （序列型，简化处理序列型，简化处理,共分为五个层次共分为五个层次 ） 总目标：总目标：100年内

64、我国最合理的人口目标年内我国最合理的人口目标 分目标：共设四个分目标分目标：共设四个分目标 分目标分目标1根据我国资源和环境条件，在决策分析的时间范围内，能根据我国资源和环境条件，在决策分析的时间范围内，能 承受的供全国人民吃和用的能力，简称承受的供全国人民吃和用的能力，简称“吃用吃用” 分目标分目标2根据我国国民经济发展规划，与总人口目标相适应的经济根据我国国民经济发展规划，与总人口目标相适应的经济 实力，简称实力，简称“实力实力” 分目标分目标3根据我国计划生育政策，人民群众所能接受的最低总和生根据我国计划生育政策，人民群众所能接受的最低总和生 育率，大约等于一对夫妇一生中平均生育孩子数，

65、简记为育率，大约等于一对夫妇一生中平均生育孩子数，简记为 “ ” 分目标分目标4我国总人口增长要与世界各国人口增长相适应一个国家我国总人口增长要与世界各国人口增长相适应一个国家 人口太多，将成为社会经济发展的沉重负担但人口毕竟人口太多，将成为社会经济发展的沉重负担但人口毕竟 是一个国家的重要资源，也不宜太少和世界各国人口对是一个国家的重要资源，也不宜太少和世界各国人口对 比，简称比，简称“各国对比各国对比” 以上四个分目标，在计算并合效用时，以上四个分目标，在计算并合效用时，将将“吃用吃用”和和“实力实力”并合为效并合为效用值用值V1，“ ”和和“各国对比各国对比”并合为效用值并合为效用值V2

66、我国人口总目标HV1V2（）79三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例n“吃吃”分解为人均粮食需求分解为人均粮食需求和人均鱼肉需求两个更低一和人均鱼肉需求两个更低一层的子目标，简称层的子目标，简称“粮食粮食”和和“鱼肉鱼肉”n“用用”也可以分解为人均土也可以分解为人均土地需求、人均空气需求、人地需求、人均空气需求、人均用水需求三个低一层子目均用水需求三个低一层子目标，简称标，简称“土地土地”、“空气空气”、“水水”。 n子目标：需要作进一步地分解子目标：需要作进一步地分解 吃w1粮食u1鱼肉u2（）用w2土地u3空气u4水u5（）（）80三、多维效用并合方法应用实例三、多维效

67、用并合方法应用实例n分目标分目标“实力实力”可以分解可以分解为人均能源需求和人均国为人均能源需求和人均国民生产总值两个子目标，民生产总值两个子目标，简称简称“能源能源”和和“GNP” 分目标分目标“吃用吃用”最后分解为最后分解为5个最底一层子目标，其评个最底一层子目标，其评价效用值分别为价效用值分别为 ui（i l， 2， 5） “能源能源”和和“GNP”其评价效用值分别记为其评价效用值分别记为u6，u7， 分目标分目标“”和和“各国对比各国对比”均可以用单一准则评价，故不必分解，其效用均可以用单一准则评价，故不必分解，其效用值分别记为值分别记为u8，u9实力v2能源u6GNPu7（）81三、

68、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例n目标准则体系为目标准则体系为 （图（图6.7）我国人口总目标HV1吃w1粮食u1实力v2用w2鱼肉u2土地u3图6.7（）V2吃用v1空气u4水u5minu8各国对比u9能源u6GNPu7（）（）（）（）（）（+）（+）82三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例n4评价准则和效用评价准则和效用 分别用分别用9个准则评价度量，测定相应的效用函数，计算各人个准则评价度量，测定相应的效用函数，计算各人口方案的效用值口方案的效用值 粮食粮食 按照联合国粮农组织有关人均耗粮标准资料测算，总人口数按照联合国粮农组织有关人均耗粮标准资料

69、测算，总人口数 N=12.6亿时，人均粮食需求量为最优值，取亿时，人均粮食需求量为最优值，取 N* 12. 6亿，亿，效用值效用值 u1（ N*）1总人口数总人口数N=648亿，人均粮食亿，人均粮食需求量为最劣值，取需求量为最劣值，取No=648亿，亿，u1（No）=0 83三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例n根据效用函数导出方法，可以求出根据效用函数导出方法，可以求出“粮食粮食”准则的效用函数准则的效用函数nUU1（N）（图（图6.8），并计算出），并计算出14个方案的效用值个方案的效用值图6.8u184三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例n土地土地

70、 按照人均耕地增长和人口总数增长比例测算认定，总人口按照人均耕地增长和人口总数增长比例测算认定，总人口数数 N10亿时，人均土地占有量为最优值，取亿时，人均土地占有量为最优值，取 N* 10当总当总人口数人口数N56.7亿时，人均土地占有量为最劣值，取亿时，人均土地占有量为最劣值，取No56.7亿亿 导出导出“土地土地”准则的效用函数准则的效用函数uu3（N）（图）（图6.9），并），并计算出计算出N个方案的效用值，即个方案的效用值，即 85三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例水水 根据我国人口增长、工农业生活用水量增长和水资根据我国人口增长、工农业生活用水量增长和水资源开

71、发利用等情况，结合世界各国用水资料对比分析，源开发利用等情况，结合世界各国用水资料对比分析，认定总人口数认定总人口数N=4.5亿时，人均用水需求量准则其效用亿时，人均用水需求量准则其效用为最优值，取为最优值，取N*4.5 图6.986三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例当总人口数当总人口数N54亿时，人均用水需求量准则其效亿时，人均用水需求量准则其效用为最劣值，取用为最劣值，取No54亿，导出相应效用函数亿，导出相应效用函数uu5（N）（图图6.10），并计算各方案的效用值，即），并计算各方案的效用值，即 87三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例n能源能

72、源 按世界各国人均能源需求标准测算，认定总人口按世界各国人均能源需求标准测算，认定总人口 N=11.5亿时，人亿时，人均能源需求量的效用最优，取均能源需求量的效用最优，取N*= 11.5亿亿 图6.1088三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用实例 随着总人口增加，其效用值逐渐减少，当总人口超过随着总人口增加，其效用值逐渐减少，当总人口超过 50亿时，其效亿时，其效用值接近于用值接近于0导出能源目标准则效用函数导出能源目标准则效用函数 u=u6（N）（图）（图6.11），计算各方案的效用值即），计算各方案的效用值即图6.1189三、多维效用并合方法应用实例三、多维效用并合方法应用

73、实例 认定总人口数认定总人口数N= 7亿时，目标效用值最优，取亿时，目标效用值最优，取 N*7亿假设亿假设 100年内一胎率达到年内一胎率达到100，预测，预测100年后总人口数为年后总人口数为2.333.07亿，根据亿，根据我国国情难以实现我国国情难以实现 由此，认定由此，认定Na2a3 即修建天桥为最满意方案，其次修建人行道，最次修建商场即修建天桥为最满意方案，其次修建人行道，最次修建商场1486.6DEA方法方法在社会、经济和管理领域中，常常需要对在社会、经济和管理领域中，常常需要对具有相同类型的部门、企业或者同一企业具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价。不同时

74、期的相对效率进行评价。 决策单元决策单元待评价的部门、企业或时期。待评价的部门、企业或时期。评价的依据评价的依据是决策单元的一组投入指标是决策单元的一组投入指标 数据和一组产出指标数据。数据和一组产出指标数据。投入指标投入指标是指决策单元在社会、经济和是指决策单元在社会、经济和管理活动中需要耗费的经济量。管理活动中需要耗费的经济量。产出指标产出指标是指决策单元在某种投入要素是指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量。组合下，表明经济活动产生成效的经济量。149常见的投入指标：常见的投入指标：固定资产原值、流动资固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人金平均余

75、额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。数、占用土地等。常见的产出指标：常见的产出指标：总产值、销售收入、利总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。润率等。问题：问题：如何根据投入指标数据和产出指标如何根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的门、企业或时期之间的相对有效性相对有效性？150DEA（Data Envelopment Analysis）方法又方法又称为称为数据包络分析方法数据包络分析方法，是对多指标投入，是对多指标投入和多指标产出的相同类型部

76、门，进行相对和多指标产出的相同类型部门，进行相对有效性综合评价的一种新方法，也是研究有效性综合评价的一种新方法，也是研究多投入多产出生产函数的有力工具。多投入多产出生产函数的有力工具。DEA方法就是根据输入数据和输出数据来方法就是根据输入数据和输出数据来评价决策单元的优劣，即所谓评价部门评价决策单元的优劣，即所谓评价部门（或单位）间的相对有效性的方法。（或单位）间的相对有效性的方法。1516.6.1DEA模型模型1.DEA模型概述模型概述DEA方法是美国著名运筹学家查恩斯和库伯方法是美国著名运筹学家查恩斯和库伯教授于教授于1978年首先提出的，适用于多指标投年首先提出的，适用于多指标投入和多指

77、标产出决策单元的相对有效性评价，入和多指标产出决策单元的相对有效性评价，以相对效率概念为基础。以相对效率概念为基础。在国外，该方法已经成功地应用于银行、城在国外，该方法已经成功地应用于银行、城市、医院、学校及军事项目等方面效率评价，市、医院、学校及军事项目等方面效率评价，在对相互之间存在激烈竞争的私营企业和公在对相互之间存在激烈竞争的私营企业和公司的效率评价中，也有巨大的优越性。司的效率评价中，也有巨大的优越性。 152DEA模型特点：模型特点：以最优化为工具，以多指标投入和多指标以最优化为工具，以多指标投入和多指标产出的权系数为决策变量，在最优化的意产出的权系数为决策变量，在最优化的意义上进

78、行评价，避免了在统计平均意义上义上进行评价，避免了在统计平均意义上确定指标权系数，具有内在的客观性。确定指标权系数，具有内在的客观性。不需要确定投入和产出之间关系的具体形不需要确定投入和产出之间关系的具体形式，具有黑箱类型研究方法的特色。式，具有黑箱类型研究方法的特色。1532.C2R 模型及其基本性质模型及其基本性质设设有有n个个部部门门或或企企业业（决决策策单单元元），每每个个决决策单元都有策单元都有m种投入和种投入和p种产出。种产出。xij：第：第 j 个决策单元第个决策单元第 i 种投入指标的投入量，种投入指标的投入量， xij0，是，是已知数据已知数据；yrj：第：第 j 个决策单元

79、第个决策单元第 r 种产出指标的产出量，种产出指标的产出量， yrj 0，是，是已知数据已知数据；vi：第：第 i 种投入指标的权系数种投入指标的权系数( (待定待定) )，vi0；ur：第：第 r 种产出指标的权系数种产出指标的权系数( (待定待定) )，ur0；i=1，2，m；j=1，2，nr=1，2，p154投入投入产出产出决策单元决策单元155对每个决策单元，都定义一个效率评价指标对每个决策单元，都定义一个效率评价指标hj表示第表示第j个决策单元所取得的经济效率，可以个决策单元所取得的经济效率，可以适当选择权系数，使得适当选择权系数，使得hj1。其中：其中：u=( (u1, u2, ,

80、 up) )T, , v=( (v1, v2, , vm) )T, xj=( (x1j, x2j, , xmj) )T, yj=(y1j, y2j, , yrj)T156设第设第j0个决策单元的投入和产出向量分别为：个决策单元的投入和产出向量分别为：x0=( (x1j0, x2j0, xmj0) )T, y0=(y1j0, y2j0, ypj0)T效率指标效率指标h0=hj0评评价价第第j0个个决决策策单单元元有有效效性性（相相对对于于其其它它决决策策单单元元而而言言）的的模型为：模型为：称为称为CCR模型（模型（C2R）157是是一一个个分分式式规规划划，令令t=1/vTx0，=tv, ,

81、=tu，则可化为一个等价的线性规划问题：则可化为一个等价的线性规划问题：158线性规划线性规划( (P ) )的对偶问题为：的对偶问题为：其中：其中：s- - =( (s1- -, s2-, sm-) )T, ,s+=( (s1+, s2+, , sp+) )T, 为松驰变量向量。为松驰变量向量。1593. 决策单元的决策单元的DEA有效性有效性定义定义6.6：若线性规划若线性规划( (P) )的最优解的最优解0, ,0满足：满足：VP(0)Ty01则称决策单元则称决策单元j0为弱为弱DEA有效。有效。定义定义6.7：若线性规划若线性规划( (P) )的最优解的最优解0, ,0满足：满足：VP

82、(0)Ty01，且，且00，00则称决策单元则称决策单元j0为为DEA有效。有效。决决策策单单元元j0为为DEA有有效效的的含含义义：指指决决策策单单元元j0相相对对于于其其它它决决策策单单元元，其其效效率率评评价价指指标标取取得得最最优优值值，即即在在多多指指标标投投入入和和多多指指标标产产出出的的情情况况下下，取得了最佳经济效率。取得了最佳经济效率。160定理定理6.6：若线性规划若线性规划(P)及其对偶问题及其对偶问题(D)都有都有可行解，则可行解，则(P)和和(D)都有最优解，且最优值都有最优解，且最优值VPVD1因此，也可利用对偶规划判定决策单元的因此，也可利用对偶规划判定决策单元的

83、DEA有效性。有效性。定理定理6.7：关于对偶规划关于对偶规划(D)有：有：(1)若若(D)的最优值的最优值VD1，则决策单元，则决策单元j0为弱为弱DEA有效。有效。(2)若若(D)的最优值的最优值VD1，且每个最优解，且每个最优解0 =(10, 20,n0)T, s0+，s0-,0都满足都满足s0+ s0- =0，则决策单元，则决策单元j0为为DEA有效。有效。161实际中，评价系统的投入、产出指标均有不实际中，评价系统的投入、产出指标均有不同的量纲。同的量纲。定理定理6.8：决策单元的最优效率指标决策单元的最优效率指标VP与投入指与投入指标标xij及产出指标及产出指标yrj的量纲选取无关

84、。的量纲选取无关。实际应用中，无论利用线性规划实际应用中，无论利用线性规划(P)根据定义根据定义1、2，或利用对偶规划，或利用对偶规划(D)根据定理根据定理2判定决策单判定决策单元是否元是否DEA有效都不是容易的。有效都不是容易的。为使判定决策单元是否为使判定决策单元是否DEA有效更简便、实有效更简便、实用，查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小用，查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小，带有，带有的的C2R 模型能用单纯形法求解。模型能用单纯形法求解。162带有带有的的C2R模型模型其中：其中：163（P）的对偶规划为164决策单元的决策单元的DEA有效性判定：有效性判定：利用带有利用带有的的C2R

85、 模型模型D，容易判断决策单，容易判断决策单元的元的DEA有效性。有效性。定理定理6.9：设设为非阿基米德无穷小，线性规划为非阿基米德无穷小，线性规划D的最为优解的最为优解0, s0+，s0-,0，有：，有：(1)若若01，则决策单元，则决策单元j0为弱为弱DEA有效。有效。(2)若若01，且，且s0+ s0- =0，则决策单元，则决策单元j0为为DEA有效。有效。利用模型利用模型D一次计算即可判定决策单元是否一次计算即可判定决策单元是否DEA有效，实际操作中，只要取有效，实际操作中，只要取足够小就足够小就可以了。可以了。165例例 6.15设有设有 4个决策单元，个决策单元， 2个投入指标和

86、个投入指标和 1个产个产出指标的评价系统，其数据如下图出指标的评价系统，其数据如下图 所示。所示。试写出评价每个决策单元相对效率的试写出评价每个决策单元相对效率的 C2R模模型并判定其型并判定其DEA有效性。有效性。产出产出决策单元决策单元166解解:评价第评价第1个决策单元相个决策单元相对效率对效率C2R模型的线性模型的线性规划（规划（P），对偶规划），对偶规划（D）分别为）分别为 解得：解得：故决策单元故决策单元1为为DEA有效。有效。167评价第评价第2个决策单元相个决策单元相对效率对效率C2R模型的线性模型的线性规划和对偶规划分别规划和对偶规划分别为：为： 解得：解得：故决策单元故决策

87、单元2为为DEA有效。有效。168评价第评价第3个决策单元相个决策单元相对效率对效率C2R模型的线性模型的线性规划和对偶规划分别规划和对偶规划分别为：为： 解得：解得：故决策单元故决策单元3不是不是弱弱DEA有效。有效。169评价第评价第4个决策单元相个决策单元相对效率对效率C2R模型的线性模型的线性规划和对偶规划分别规划和对偶规划分别为：为： 解得：解得：故决策单元故决策单元4不是不是弱弱DEA有效。有效。1704.DEA有效决策单元的构造有效决策单元的构造定义定义6.8：设设0，s0-,s0+,0是对偶问题是对偶问题( (D) )的最的最优解。令：优解。令： 称称为为决决策策单单元元j0对

88、对应应的的( (x0 0, ,y0 0) )在在DEA的的相对有效面上的投影。相对有效面上的投影。定理定理6.10：设设 为决策单元为决策单元j0对应的对应的( (x0 0, ,y0 0) )在在DEA的相对有效面上的投影。的相对有效面上的投影。则新则新决策单元相对于原来的决策单元相对于原来的n个决策单元个决策单元来说，是来说，是DEA有效的。有效的。 171例例 6.15解解决策单元决策单元3、4均不是均不是DEA有效的有效的决策单元决策单元3对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D2）的解为）的解为构造新的决策单元：构造新的决策单元：新新决决策策单单元元相相对对于于原原有有的的4个个决决

89、策策单单元元是是DEA有效的。有效的。172决策单元决策单元4对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D4）的解为）的解为构造新的决策单元：构造新的决策单元：新新决决策策单单元元相相对对于于原原有有的的4个个决决策策单单元元是是DEA有效的。有效的。1736.6.2DEA有效性的经济意义有效性的经济意义1生产函数和生产可能集生产函数和生产可能集 生生产产函函数数: y=f( (x) )表表示示理理想想的的生生产产状状态态，即即( (在在单单投投入入和和单单产产出出的的情情况况下下) )投投入入量量x所所能能获得的最大产出量获得的最大产出量y。技技术术有有效效：当当企企业业用用现现有有的的投投入

90、入无无法法得得到到更更大大的的产产出出，或或无无法法以以更更少少的的投投入入获获得得现现有的产出时，称其处于技术有效状态有的产出时，称其处于技术有效状态。生生产产函函数数曲曲线线上上的的点点( (x, y) )所所对对应应的的决决策策单单元，是处于元，是处于技术有效技术有效状态的状态的。174规规模模有有效效（最最佳佳生生产产规规模模）：边边际际产产量量最最大大的的状状态态，此此时时的的投投入入量量产产生生最最大大的的产产出出量量递递增增速速度度。是是生生产产函函数数的的拐拐点点（y=0）,左边左边y0, 右边右边y0）。）。v规规模模收收益益递递减减：增增加加投投入入量量使使产产出出量量以以

91、递递减的速度增加（减的速度增加（ y0）。）。175图图6.20 6.20 生产函数生产函数xy点点A：既技术有效又规模有效；：既技术有效又规模有效；点点C：技术有效但非规模有效；：技术有效但非规模有效；点点B：既非技术有效又非规模有效。：既非技术有效又非规模有效。176生产可能集生产可能集生产可能集定义为所有可能的生产活动构生产可能集定义为所有可能的生产活动构成的集合，记作成的集合，记作T。 T(x,y)|产出产出y可由可由x生产出来生产出来记记xj=(x1j, x2j, , xmj )T为决策单元为决策单元j的的投入向投入向量量； yj=(y1j, y2j, , ypj )T为决策单元为决

92、策单元j的的产出产出向量向量；则：；则： (xj , yj) T，(j=1,2, ,n)177生产可能集应该满足下面的四条公理：生产可能集应该满足下面的四条公理：即是说，如果即是说，如果x1, x2分别以分别以和和( (1-) )的加权和的加权和为投入量，则为投入量，则y1, y2以同样的加权和作为产出量。以同样的加权和作为产出量。 即是说，如果以即是说，如果以x的的倍作为投入量，则产出量倍作为投入量，则产出量y是的同样倍数。是的同样倍数。 公理公理6.6.2 ( (锥性锥性) )：对任意对任意(x,y)T，0，均，均有有(x, y)(x, y)T公公理理6.16.1( (凸凸性性) )：对对

93、任任意意(x1, y1)T，(x2, y2)T以及以及0,1，均有均有(x1, y1)( (1) )(x2, y2)T178即是说，在原生产活动中，单方面的增加投入即是说，在原生产活动中，单方面的增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。量或者减少产出量，生产活动总是可能的。 公理公理6.3(无效性无效性)：对于任意（对于任意（x,y)T，公理公理6.6.4( (最小性最小性) )：生产可能集生产可能集T是满足公理是满足公理6.16.3的所有集合的交集。的所有集合的交集。179由由n个决策单元（个决策单元（xj, yj）的生产活动所描述的）的生产活动所描述的生产可能集，满足公理生产可能集，

94、满足公理6.16.4是唯一确定的。是唯一确定的。这个生产可能集可以表示为这个生产可能集可以表示为 180例例 6.18设有设有 3个决策单元，个决策单元， 1个投入指标和个投入指标和 1个产个产出指标的评价系统，其数据如下图出指标的评价系统，其数据如下图 所示。所示。产出产出决策单元决策单元生产可能集为：生产可能集为：1 2 31812.DEA有效性的经济意义有效性的经济意义用线性规划模型用线性规划模型( (D) )评价决策单元评价决策单元j0的的DEA有效性，模型有效性，模型 182为了清楚起了清楚起见，考，考虑不含松弛不含松弛变量的量的线性性规划划模型模型由于由于( (x0 0, ,y0

95、0) ) T ，即（，即（x0 0, ,y0 0）满足条件）满足条件183线性规划模型线性规划模型(D)表示，在生产可能集内，表示，在生产可能集内，当产出当产出y0保持不变的情况下，尽量将投入量保持不变的情况下，尽量将投入量x0按同一比例按同一比例减少。减少。如果投入量如果投入量x0不能按同一比例减少，即模型不能按同一比例减少，即模型(D)最优值最优值VD=0=1在单投入和单产出的情在单投入和单产出的情况下，决策单元况下，决策单元j0同时技术有效和规模有效。同时技术有效和规模有效。如果投入量如果投入量x0能按同一比例减少，模型能按同一比例减少，模型(D)最优值最优值VD=00,(i1,2,m)

96、,或或者至少有某个者至少有某个sr0+0,(r1,2, ,p), ,此时此时决策单元决策单元j0不是不是DEA有效，其经济意义是，决策单元有效，其经济意义是，决策单元j0技技术有效，但不是规模有效。术有效，但不是规模有效。设模型（模型（D）的最优解为）的最优解为0，0，s0-, ,s0+：(1)(1)0=1,且s0- =s0+ =0时时决策决策单元元j0 0为为DEA有效，有效，其经济意义是：决策单元其经济意义是：决策单元j0 0同时技术有效和规同时技术有效和规模有效。模有效。(3)(3)01，决策单元决策单元j0不是不是DEA有效，其经济意有效，其经济意义是，决策单元义是，决策单元j0 的生

97、产活动既不是技术效率最的生产活动既不是技术效率最佳，也不是规模收益最佳。佳，也不是规模收益最佳。185例例 6.19讨论例讨论例6.18中各决策单元的中各决策单元的DEA有效性。有效性。解：解：决策单元决策单元1对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D1）为）为最优解为：最优解为：因因此此决决策策单单元元1既既是是技技术术有有效效的的，又又是是规规模模有效的。有效的。186 决策单元决策单元2对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D2）为）为最优解为：最优解为：因因此此决决策策单单元元2既既不不是是技技术术有有效效的的，也也不不是是规模有效的。规模有效的。187 决策单元决策单元3对应的对

98、偶线性规划（对应的对偶线性规划（D3）为）为最优解为：最优解为：因因此此决决策策单单元元3既既不不是是技技术术有有效效的的，也也不不是是规模有效的。规模有效的。188定理定理6.11：设线性规划（设线性规划（D）的最优解为）的最优解为0，0，s0-，s0+ 。3.生产活动规模收益的判定生产活动规模收益的判定（1）若）若 , 则决策单元则决策单元j0规模收益不变；规模收益不变；（2）若）若 , 则决策单元则决策单元j0规模收益递增；规模收益递增；（3）若）若 , 则决策单元则决策单元j0规模收益递减。规模收益递减。189例例 6.19讨论例讨论例6.18中各决策单元的规模收益。中各决策单元的规模

99、收益。解：解：由决策单元由决策单元1对应的对偶线性规划（对应的对偶线性规划（D1）的的最优解最优解得：得：决策单元决策单元2，故，故决策单元决策单元1规模收益不变；规模收益不变；, 故决策单元故决策单元2规模收益递减；规模收益递减；决策单元决策单元3, 故决策单元故决策单元3规模收益递减。规模收益递减。190第第6章小结章小结一一. 基本知识基本知识1多目标准则体系的三种类型多目标准则体系的三种类型 二建模问题二建模问题1线性目标规划方法建模线性目标规划方法建模2化多为少方法建模化多为少方法建模 （1）主要目标法）主要目标法 （2）线性加权和法）线性加权和法 （3）平方和加权法）平方和加权法 （4）理想点法）理想点法 （5）步骤法）步骤法3多维效用并合方法建模多维效用并合方法建模4. 建立评价决策单元的相对有效性的建立评价决策单元的相对有效性的DEA模型模型191