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1、第六单元第六单元 平面向量与复数平面向量与复数知识体系知识体系第四节第四节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入基础梳理基础梳理1. 复数的概念及分类(1)概念:形如a+bi(a,bR)的数叫复数,其中a,b分别为它的 和 。 实数:若a+bi为实数,则 。(2)分类 虚数:若a+bi为虚数,则 。 纯虚数:若a+bi为纯虚数,则 .(3)相等复数:a+bi=c+di a=c,b=d(a,b,c,dR).实部虚部b=0b0a=0,b=02. 复数的加、减、乘、除运算法则设 则(1)加法: =(a+bi)+(c+di)= ;(a+c)+(b+d)i(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(
2、c+di)= ;(3)乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= ;(4)乘方:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=zn1zn2;(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(bc+ad)i(5)除法 = . 3. 复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. 叫做实轴, 叫做虚轴.实轴上的点都表示 ;除原点外,虚轴上的点都表示 . 复数集C和复平面内 组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以 为起点的向量组成的集合也是一一对应的 x轴y轴实数纯虚数有序实数对(a,b)原点4. 共轭复数把 相等, 的两个复数叫做互为共轭复数,复数z=a+bi(a、bR)的
3、共轭复数记作 .实部虚部互为相反数4. 共轭复数把实部 相等, 虚部互为相反数 的两个复数叫做互为共轭复数,复数z=a+bi(a、bR)的共轭复数记作 ,即 = a-bi ( a,bR).5. 复数的模向量OZ的模叫做复数z=a+bi(a,bR)的模(或绝对值),记作 |z| 或|a+bi| ,即6. 复平面内两点间距离公式两个复数的 差的模 就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2,d为点Z1和Z2的距离,则d=|Z2Z1|.典例分析典例分析题型一题型一 复数的概念复数的概念【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为
4、何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.解 z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)(m-3)i.(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m-2且m3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;当m(0,3)时,z对应的点在第三象限.学后反思 利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也是化归思想的重要表现.举一反三举一反三1.已知复数 ，试添加a,b的条件，使之满足下列要求。(1)使复数z为纯叙述的
5、充要条件；(2)使复数z为纯虚数的一个充分必不要条件。解析：（1）由已知得 ，所以 z为纯虚数的充要条件是a=b,且ao.(2)由（1）得，条件a=bo和a=-b0都可以作为z为纯虚数的充分不必要条件。题型二题型二 复数代数形式的运算复数代数形式的运算【例2】 计算：分析: 熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的方幂的运算和 等运算结果，能使运算更加便捷。 解 原式=学后反思 在进行复数代数形式的运算时，要注意形式上的特点，寻找更简便的方法。举一反三举一反三2. 求7+24i的平方根.解析：设平方根为x+yi(x,yR),则 故7+24i的平方根为4+3i或-4-3i.题型三题型三 复数集上的代
6、数方程复数集上的代数方程【例3】(14分)已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根（b,cR）.(1)求b,c的值;(2)试证明1-i也是方程的根.分析 把方程的根代入方程，用复数相等的充要条件求解.解 (1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,(1+i)2+b(1+i)+c=0,即（b+c）+(2+b)i=0,2所以b,c的值分别为b=-2,c=2.6(2)证明：因为方程x2-2x+2=0, 把1-i代入方程左边,得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0 即方程成立, 1-i也是方程的根. 学后反思 (1)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),当b2-4ac0
7、时，在复数集上有两个共轭虚根 ,根与系数的关系在复数集上仍成立.(2)对于虚系数一元二次方程一般利用复数相等来求解.举一反三举一反三3. 已知关于x的方程x2-(2+i)x-a+3i=0有一实根，且a为实数.求a的值及方程的这个实根.解析 设实根为x0,则x20-(2+i)x0-a+3i=0，整理得x20-2x0-a+(3-x0)i=0,解得 ，故a=3，方程的实根为3.易错警示易错警示【例】m取何实数值时，复数 (1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？错解 (1)当 时，即m=2或m=-5时，z是实数.(2)当 时，即m-5且m2时，z是虚数.(3)当即 时，z是纯虚数.错解分析 本题出错的原因是漏掉了m2-25在分母上这一条件.m5在整个问题的解决中是个易错之处，应引起注意.正解 (1)当 即m=2,当m=2时，z是实数.(2)当 当m5且m2时,z是虚数.(3)当 即 时，z是纯虚数.考点演练考点演练10.若z(1+i)=2,则z的虚部是 。解析: 由答案：-111.已知复数 在复平面内对应的点在第三象限，求实数x的取值范围.解析：x为实数， 都是实数。由题意，得故x的取值范围是1x2.12.(2010.江苏启东模拟）已知复数则 的最大值解析：由 即得直线方程为kx-y=0圆 的圆心（2，0）到直线kx-y=0的距离 的最大值为答案：
