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1、二次函数在闭区间上的最值问题问题：问题：3.若不等式若不等式 对于任意的对于任意的x【-2,3】恒】恒成立，则实数成立，则实数a的取值范围是的取值范围是上述三个问题，虽然情景不同，但最终都转化为上述三个问题，虽然情景不同，但最终都转化为求二次函数在区间上的最值问题求二次函数在区间上的最值问题1.已知已知f（x）=x2-2x+2的定义域和值域都为的定义域和值域都为【1，b】，则】，则b的值为的值为 2.关于已知关于已知x的方程的方程 有实数解，有实数解，则则a的取值范围是的取值范围是X=tmnoxyAX=tmnpoxyBX=tmnpoxyCmnX=toxyD设二次函数设二次函数 的对称轴为的对称
2、轴为x=t，闭区，闭区间【间【m，n】的中点为】的中点为p=（m+n)/2,则则 y=f（x）在【）在【m，n】上的最值情况如下：上的最值情况如下：探究1.最大值：最大值：f(m)或或f(n)当当tp时，时， ；当当tp时，时， ；2.最小值：最小值： f(m)或或f(n)或或f（t）当当tm时，时， ；当当mtn时，时， ； 当当tn时，时， ；左侧右端点，右侧左端点左侧右端点，右侧左端点左侧左端点，右侧右端点，中间取顶点左侧左端点，右侧右端点，中间取顶点X=tmnoxyAX=tmnpoxyBX=tmnpoxyCmnX=toxyD3.值域：值域：当当tm时，为【时，为【f（m），），f（n）
3、】；）】；当当mtp时，为【时，为【f（t），），f（n）】；）】；当当ptn时；为【时；为【f（t），），f（m）】；）】；当当tn时，为【时，为【f（n),f(m).X=tmnoxyAX=tmnpoxyBX=tmnp0xyCmnX=toxyD四种情况四种情况思考：若抛物线开口向下，最值情况又如何呢？思考：若抛物线开口向下，最值情况又如何呢？和开口向上相反，最大值有三种情况，最小值有和开口向上相反，最大值有三种情况，最小值有两种情况，值域仍然有四种情况，讨论方法相同。两种情况，值域仍然有四种情况，讨论方法相同。两种：左右相反取端点两种：左右相反取端点三种：左右相伴取端点，中间取顶点三种：左右
4、相伴取端点，中间取顶点2.设函数设函数f(x)=- x2+2x,x【2,a】(a2),则函数则函数f（x) 的最小值为（的最小值为（ ）A.f（1）B. f（2） C. f（a） D. 1.设函数设函数f（x）=x2-2ax+1,且且x，a【-1,1】，则函】，则函数数f（x）的最小值是（）的最小值是（ ）A. f（-1）B. f（0）C. f（1）D.f（a）CD练习3.设函数设函数f（x）=x2+4x+3，x【2a，4】，其中】，其中- 4a2,则则f（x）的最大值为（）的最大值为（ ）A. f（-2） B. f（2a） C. f（4） D. f（a+2）4.设函数设函数则函数则函数f（x
5、）最大值是（）最大值是（ ）A. f（-a/2）B.f（0） C. f（1） D. f（2）CB练习例题分析例题分析解：解：抛物线开口向上，对称轴为抛物线开口向上，对称轴为x=t，区间【，区间【-1,5】的中点为】的中点为p=（-1+5）/2=2（1）当）当t2时，时，y最大值最大值=f（5）=2t2-16t+50；（2）当）当t2时，时， y最大值最大值=f（-1）=2t2+8t+2.先求最大值（分二种情况）：先求最大值（分二种情况）：再求最小值（分三种情况）：再求最小值（分三种情况）：（1）当）当t-1时，时，y最小值最小值=f（-1）= 2t2+8t+2； （2）当）当-1t5时，时，y
6、最小值最小值=f（t）= 4t；（3）当）当t5时，时，y最小值最小值= f（5）=2t2-16t+50.综上所述，综上所述，例例1.已知函数已知函数 x【-1,5】,求函数求函数f（x）的）的最大值和最小值。最大值和最小值。动动轴轴定定区区间间基本步骤：基本步骤：1.判断开口方向，求对称轴和区间中点。判断开口方向，求对称轴和区间中点。2.讨论：若是两种情况，分对称轴讨论：若是两种情况，分对称轴 在区间中点左右在区间中点左右讨论；若是三种情况，分对称轴在区间左端、区间讨论；若是三种情况，分对称轴在区间左端、区间内、区间右端讨论；若是四种情况，则分对称轴在内、区间右端讨论；若是四种情况，则分对称
7、轴在区间左端、左半区间、右半区间、区间右端讨论。区间左端、左半区间、右半区间、区间右端讨论。3.结论结论例例2.求二次函数求二次函数f（x）=-x2+2x,x【a,5a】的值域，其中】的值域，其中a0.解解:（1）当）当1a，即，即a1时，值域为【时，值域为【f（5a），），f（a）】，即）】，即【- 25a2+10a,- a2+2a】;（2）当）当a13a，即，即1/3a1时，值域为【时，值域为【f（5a），），f（1）】）】，即【，即【- 25a2+10a,1】;（3）当）当3a1 5a，即，即1/5 a 1/3时，值域为【时，值域为【f（a），），f（1）】）】，即【，即【- a2+2a
8、,1】;（4）当）当15a，即，即0a1/5时，值域为【时，值域为【f（a），），f（5a）】）】，即【，即【-a2+2a, -25a2+10a 】.抛物线开口向下，对称轴为抛物线开口向下，对称轴为x=1，区间【，区间【a,5a】中点为】中点为p=3a定轴动区间例例3.已知函数已知函数 求函数求函数f（x）的最小值。）的最小值。 解：抛物线开口向上，对称轴为解：抛物线开口向上，对称轴为x=a/2（1）当）当a/20时，时，y最小值最小值=f（a）=2；（2）当）当aa/2a+2,即即-4a0时，时，y最小值最小值=f（a/2)= (3)当当a/2a+2，即，即a- 4时，时，y最小值最小值=f（a+2）=2a+6.综上所述，综上所述，动轴动区间小结1.注意三点一线：区间端点和中点，对称轴；注意三点一线：区间端点和中点，对称轴；2.根据抛物线的开口方向，对称轴与区间的相对位置根据抛物线的开口方向，对称轴与区间的相对位置进行讨论；进行讨论；3.两种情况：两种情况：左右相反取端点左右相反取端点；三种情况：；三种情况：左右相伴左右相伴取端点，中间取顶点取端点，中间取顶点。4.体会分类讨论、数形结合思想在解题中的应用。体会分类讨论、数形结合思想在解题中的应用。
