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1、曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题提出问题提出1.1.任何一个平面图形都有面积，其中矩任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算公式进行计算. .2.2.如果函数如果函数y yf(xf(x) )在某个区间在某个区间I I上的图上的图象是一条连续不断的曲线，则称函数象是一条连续不断的曲线，则称函数f(xf(x) )为区间为区间I I上的连续函数上的连续函数. . 3.3.如图所示的平面图形，是由直线如图所示的平面图形，是由直线 x xa a，x xb(abb(a
2、b) )，y y0 0和曲线和曲线y yf(xf(x) )所围成的，称之为所围成的，称之为曲边梯形曲边梯形，如何，如何计算这个曲边梯形的面积是一个需要探计算这个曲边梯形的面积是一个需要探讨的课题讨的课题. .x xy ya aby yf(xf(x) )O探究：探究：曲边梯形面积的算法曲边梯形面积的算法 思考思考1 1：由抛物线由抛物线y yx x2 2与直线与直线x x1 1， y y0 0所围成的平面图形是什么？它与我所围成的平面图形是什么？它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？x xy y1 1y yx x2 2O O 直线直线x x0 0，x x1
3、1，y y0 0和曲线和曲线y yx x2 2所围成的是所围成的是曲边梯形曲边梯形. .平面多边形的平面多边形的每条边都是直线段，上每条边都是直线段，上图中有一边是曲线段图中有一边是曲线段. .思考思考2 2：设想把该曲边梯形分作若干个小设想把该曲边梯形分作若干个小梯形，具体如何操作？梯形，具体如何操作？ 垂线，把曲边梯形分成垂线，把曲边梯形分成n n个小曲边梯形个小曲边梯形它们的面积分别为它们的面积分别为则所求面积为则所求面积为1 1、分割、分割思考思考3 3：上述上述n n个矩形，从左到右各矩形个矩形，从左到右各矩形的高分别为多少？宽为多少？的高分别为多少？宽为多少？x xy yO Oy
4、yx x2 21 1 即第即第i i个矩形的高为个矩形的高为 ， 每个矩形的宽为每个矩形的宽为 . . 第第i i个区间为个区间为区间长度为区间长度为第第i i个矩形高为个矩形高为思考思考4 4：计算，这计算，这n n个小矩形的面积之和个小矩形的面积之和S Sn n等于多少？等于多少？x xy yO Oy yx x2 21 13 3、求和、求和思考思考4 4：计算，这计算，这n n个小矩形的面积之和个小矩形的面积之和S Sn n等于多少？等于多少？x xy yO Oy yx x2 21 1思考思考5 5：如何利用各小矩形的面积之和求如何利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积曲边梯形的面积S S
5、？所得的结果是什么？所得的结果是什么？ 4 4、取极限、取极限思考思考6 6：上述用极限逼近思想求曲边梯形上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程有哪几个基本步骤面积的过程有哪几个基本步骤? ? 分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限. . 思考思考7 7：若按如图所示作小矩形，那么这若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？形的面积吗？ y yx x2 2x xy yO O1 1思考思考8 8：若分别以区间若分别以区间内任意一点对应的函数值为高作矩形，内任意一点对应的函数值为高作矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于那么
6、这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？曲边梯形的面积吗？ 相等相等x xy yO Oy yx x2 21 1p42练习练习例例1 1、求、求y=2x-xy=2x-x2 2，y=0,0x2y=0,0x2围成的图形的面积围成的图形的面积. .解：解：(1)(1)分割分割在区间在区间0 0，2 2上等间隔地插入上等间隔地插入n-1n-1个个点，将区间点，将区间0 0，2 2等分成等分成n n个小区间：个小区间：记第记第i i个区间为个区间为其长度为其长度为分别过上述分别过上述n-1n-1个分点作个分点作x x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n n个小曲边梯个小曲边梯形，他们的面积分别记
7、作：形，他们的面积分别记作：SS1 1,S,S2 2, ,，SSn n例例1 1、求、求y=2x-xy=2x-x2 2，y=0,0x2y=0,0x2围成的图形的面积围成的图形的面积. .当当n n很大，即很大，即xx很小时，在区间很小时，在区间 上，上，用小矩形的面积用小矩形的面积SSi i近似地代替近似地代替SSi i，即在局部范围，即在局部范围内内“以直代取以直代取”，则有，则有SSi iSSi i(2)(2)近似代替近似代替(3)(3)求和求和(4)(4)取极限取极限例例1 1、求、求y=2x-xy=2x-x2 2，y=0,0x2y=0,0x2围成的图形的面积围成的图形的面积. .例例2
8、 2、如图所示的图形为一隧道的截面，其中四边形、如图所示的图形为一隧道的截面，其中四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，CDECDE是抛物线的一段是抛物线的一段. .在工程的设计中，要在工程的设计中，要计算开凿隧道挖出的土石方量，需要计算这个截面的面计算开凿隧道挖出的土石方量，需要计算这个截面的面积积. .试根据图中所给的数据计算这个截面的面积试根据图中所给的数据计算这个截面的面积. .解：如图建立平面直角坐标系，可解：如图建立平面直角坐标系，可得抛物线的方程为得抛物线的方程为xy先求曲边三角形先求曲边三角形CEOCEO的面积的面积. .第一步：分割第一步：分割分点把区间分点把区间0,40,4
9、分成分成n n个小区间，个小区间，过各个分点作过各个分点作x x轴的垂线，把整个图轴的垂线，把整个图形分成形分成n n个小曲边梯形，它们的面积个小曲边梯形，它们的面积记为记为SS1 1, S, S2 2SSn n. .把区间把区间0,40,4n n等分，各分点的坐标依次为等分，各分点的坐标依次为第二步：近似代替第二步：近似代替. .取每个小区间右端点对应的函数值取每个小区间右端点对应的函数值为小矩形的高，宽为为小矩形的高，宽为 可得可得SSi iff(x(xi i) )xxi i. .第三步：求和第三步：求和. .求出这求出这n n个小矩形的面积的和个小矩形的面积的和第四步：取极限第四步：取极
10、限设设CEOCEO的面积为的面积为S S，则，则小结作业小结作业2.2.求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成n n个小曲边梯形个小曲边梯形用小矩形近似替代小曲边梯形用小矩形近似替代小曲边梯形求各小矩求各小矩形的面积之和形的面积之和求各小矩形面积之和的极限求各小矩形面积之和的极限. . 1.1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以直代曲以直代曲”的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系. . 3. 3. 上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形的面积形的面积. .作业、作业、 1 1、 求直线求直线x x0 0，x x3 3，y y0 0与曲线与曲线 y yx x2 22x2x3 3所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积. . 2 2、课时练、课时练
