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1、第三章第三章 扭转扭转3.5 等直圆杆在扭转时的变形、刚度计算等直圆杆在扭转时的变形、刚度计算3.2 传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图传动轴的外力偶矩、扭矩及扭矩图3.3 纯剪切（薄壁圆筒的扭转）纯剪切（薄壁圆筒的扭转）3.4 等直圆杆在扭转时的应力、等直圆杆在扭转时的应力、强度条件强度条件3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例作用在垂直于杆件轴线的平面内作用在垂直于杆件轴线的平面内的力偶矩，使得杆件的任意两个的力偶矩，使得杆件的任意两个横截面都发生了绕轴线的相对转横截面都发生了绕轴线的相对转动。动。 扭转变形扭转变形3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 扭转变形杆件的内力扭转变形杆件的内
2、力 扭矩（扭矩（T ） 轴轴 主要承受扭矩的构件主要承受扭矩的构件ABAB mm扭转扭转的变形特征：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线的变形特征：杆件的任意横截面都发生绕杆件轴线 的相对转动。的相对转动。扭转扭转的受力特征的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、：在杆件的两端作用两个大小相等、 转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。实例实例电电动动机机传传动动轴轴扭扭转转工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如示的攻丝丝锥，桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。传动轴传动轴机器的传动轴、机器的传动轴、水轮发电机的水轮发电机的主轴、石油钻主轴、石油钻机中的
3、钻杆、机中的钻杆、桥梁及厂房等桥梁及厂房等空间结构中的空间结构中的某些构件等，某些构件等，扭转是其主要扭转是其主要变形之一。变形之一。3-2 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图一、一、 传动轴的外力偶矩的计算传动轴的外力偶矩的计算转速转速：n(转转/分分)输入功率输入功率：P(kW)T图示的传动机构，通常外力偶矩m不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率P和转速n计算得到的。若功率若功率 P 采用公制马力（采用公制马力（PS）表示，则外力偶矩为表示，则外力偶矩为轴在轴在m作用下匀速转过角度，则功：作用下匀速转过角度，则功：1PS=735.5Nm/s,1HP=745.7Nm
4、/s,1kW=1.36PS3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTx4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。绘制扭矩图基本步骤：绘制扭矩图基本步骤：绘制扭矩图基本步骤：绘制扭矩图基本步骤：1. 1.确定外力确定外力确定
5、外力确定外力2. 2.建立轴线坐标建立轴线坐标建立轴线坐标建立轴线坐标3. 3.根据外力确定外力影响控制面、分段根据外力确定外力影响控制面、分段根据外力确定外力影响控制面、分段根据外力确定外力影响控制面、分段4. 4.应用截面法分段在各控制面内求扭矩应用截面法分段在各控制面内求扭矩应用截面法分段在各控制面内求扭矩应用截面法分段在各控制面内求扭矩5. 5.绘制扭矩图绘制扭矩图绘制扭矩图绘制扭矩图例题例题 图示圆轴，受到四个绕轴线的外力偶图示圆轴，受到四个绕轴线的外力偶矩的作用，各力偶的大小和方向如图所矩的作用，各力偶的大小和方向如图所示，力偶矩的单位为示，力偶矩的单位为N m，试画出该圆，试画出
6、该圆轴的扭矩图。轴的扭矩图。解：解： 1.确定控制面，分段确定控制面，分段2.应用截面法确定圆轴各段内的扭矩应用截面法确定圆轴各段内的扭矩讨论：讨论：如何布置外力偶使圆轴受力更合理？如何布置外力偶使圆轴受力更合理？例题例题 3-1 图图dmml解：其计算简图如图所示。为求解：其计算简图如图所示。为求得横截面上的扭矩得横截面上的扭矩T，先计算外先计算外力偶矩力偶矩 m .由截面法求得横截面上的扭矩由截面法求得横截面上的扭矩T一水轮机的功率一水轮机的功率 P =10000 PS。连结水轮机与发电机的竖轴是连结水轮机与发电机的竖轴是直径直径 d = 650 mm、长度长度 l = 6000 mm 的
7、等截面实心钢轴。求当的等截面实心钢轴。求当水轮机转速水轮机转速 n = 57.7 r/min扭转时横截面上的扭矩。扭转时横截面上的扭矩。 例题例题一传动轴如图所示，其转速一传动轴如图所示，其转速 n = 300r/min ，主动轮输入的功主动轮输入的功率为有率为有 P1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为动轮输出的功率分别为 P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW及及P4 = 200 kW。试做轴力图。试做轴力图。(a)ABCDP1P2P3P4n例题例题3-2图图 例题例题BCDP1P2P3P4n解解:1.计算外力
8、偶矩计算外力偶矩AABCD(b)2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图+4.789.566.37(d)ABCD最大扭矩在最大扭矩在 CA段内。段内。例例、试作轴的扭矩图。、试作轴的扭矩图。解：根据载荷分布情解：根据载荷分布情况，应分三段研究。况，应分三段研究。AB段：段：Mx=0：T1- -3x=0 T1=3xBC段：段：Mx=0：- -T2+9- -3=0 T2=- -6kN.mCD段：段：Mx=0：T3+3=0T3=- -3kN.m33 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：一、
9、实验：1.实验前：实验前：预先在圆筒的表面画上预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，等间距的纵向线和圆周线，从而形成一系列的正方格从而形成一系列的正方格子。子。施加一对外力偶施加一对外力偶 m。2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线。3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。横截面保持为形状
10、，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆横截面保持为形状，大小均无改变的平面，相邻两横截面绕圆筒轴线发生相对转动。筒轴线发生相对转动。圆周线保持不变；纵向线发生倾斜圆周线保持不变；纵向线发生倾斜平面假设平面假设成立成立相邻截面绕轴线作相对转动相邻截面绕轴线作相对转动横截面上没有正应力，只有剪应力横截面上没有正应力，只有剪应力,剪应力在截面剪应力在截面上均匀分布，各点的剪（切）应力的方向必与圆周上均匀分布，各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切线相切(垂直于半径垂直于半径)。结论结论lmm(c)ABCD圆筒两端截面之间相对转动圆筒两端截面之间相对转动的角位移，称为的角位移，称为 相对扭转相对扭转相
11、对扭转相对扭转角角角角 ，用，用 表示。表示。圆筒表面上每个格子的直角圆筒表面上每个格子的直角的改变量，称为的改变量，称为 剪应变剪应变剪应变剪应变。用用 表示表示 (c,d) 。 acddxbdy 无正应力横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：由静力关系，得到由静力关系，得到得到得到l 与与 的关系：的关系：二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小：三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理：上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应在单
12、元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。T=m 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。剪应力与剪应变成正比关系。四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 式中：G是
13、材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。v外力的功：外力的功：v功能原理：功能原理：V=Wv单位体积的剪切变形能（应变能密度）：单位体积的剪切变形能（应变能密度）：剪切应变剪切应变 能能34 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方
14、面物理关系方面静力学方面静力学方面（1）. 横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面； （2）. 轴向无伸缩；轴向无伸缩；（3）. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。等直圆杆扭转实验观察：等直圆杆扭转实验观察： 一一、横截面上的应力、横截面上的应力1. 变形几何关系：变形几何关系：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。扭转角沿长度方向变化率。 mmdxabdxabTTO2 r r r r2. 物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得：v剪应力方向垂直于半径剪应力方向垂直于半径根据剪切胡克定律根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料的剪
15、切比例极限时当剪应力不超过材料的剪切比例极限时2、物理关系物理关系(剪切虎克定律剪切虎克定律)极惯性矩极惯性矩3.静力学关系静力学关系3. 静力学关系：静力学关系：OdA令代入物理关系式得：OrdAdA横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：单
16、位：mm4，m4。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。对于实心圆截面：DdO对于空心圆截面：dDOd 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。 确定最大剪应力：确定最大剪应力：由知：当Wt抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：应力公式应力公式1)横截面上任意点：横截面上任意点：2)横截面边缘点：横截面边缘点：其中：其中：d/2OT抗扭截面模量抗扭截面模量D/2OTd/2空心圆空
17、心圆空心圆空心圆实心圆实心圆实心圆实心圆一厚度为一厚度为30mm、内直径为内直径为230mm 的空心圆管，承受扭的空心圆管，承受扭矩矩 T=180 kNm 。试求管中的最大剪应力，使用：试求管中的最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。解：解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得(2) 利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得 例题例题在强度相同的条件下，用在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴
18、的直径为解：设实心轴的直径为 d1 ，由，由得：得：0.80.81.1920.80.512 例题例题二、等直圆杆扭转时斜截面上的应力二、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。1.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b) (c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d) x(d) xnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：解得：分析：当 =0时，当 =45时，当 =45时，当 =90时， 45由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角 =45的斜
19、截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。低碳钢扭转破坏低碳钢扭转破坏铸铁扭转破坏铸铁扭转破坏三、圆轴扭转时的强度计算三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：( 称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：某某汽汽车车主主传传动动轴轴钢钢管管外外径径D=76mm，壁壁厚厚t=2.5mm，传传递递扭扭矩矩T=1.98kNm， =100MPa，试校核轴的强度。试校核轴的强度。 解解：计算截面参数：计算截面参数： 由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。 例题例题故
20、轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。 同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实空心轴较实心轴合理心轴合理。若将空心轴改成实心轴，仍使若将空心轴改成实心轴，仍使，则，则由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截面空心轴与实心轴的截面面积比面积比(重量比重量比)为：为： 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmmx 例题例题一传动轴如图所示，其转速
21、一传动轴如图所示，其转速 n = 300r/min ，主动轮输入的功主动轮输入的功率为有率为有 P1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为轮输出的功率分别为 P2 = 150 kW 、P3 = 150 kW及及P4 = 200 kW。试做轴力图。试做轴力图。(a)ABCDP1P2P3P4n例题例题3-2图图 例题例题解解:1.计算外力偶矩计算外力偶矩AABCD(b)+4.789.566.37(d)（同前面例题）实心等截面直轴，（同前面例题）实心等截面直轴，d=110mm，(1) 试求截面试求截面上距轴线上距轴线40mm40m
22、m处的点的剪应力。处的点的剪应力。(2) 若已知若已知=40MPa，试校核轴的强度。试校核轴的强度。解：解：内力分析内力分析由扭矩图得知由扭矩图得知T2=9.56kN.m危险横截面在危险横截面在AC段，段，Tmax=9.56kN.m应力计算应力计算 例题例题 强度计算强度计算若若AD轮互换位置，试校核轴的强度。轮互换位置，试校核轴的强度。解：互调解：互调AD轮位置轮位置后，扭矩图如图所后，扭矩图如图所示示: 强度不符合要求。强度不符合要求。Tmax=15.9 kN.m 例题例题若若BD轴改用内外径之比为轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保证同样强度条件的空心轴，在保证同样强度条件下，试确定
23、空心轴的内外径下，试确定空心轴的内外径d与与D；并计算空心与实心轴的材料并计算空心与实心轴的材料消耗之比。消耗之比。解：解：由得d=0.9D=141mm 例题例题一、扭转时的变形一、扭转时的变形相对扭转角相对扭转角：GIp抗扭刚度抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。3-5等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件单位长度的扭转角单位长度的扭转角：或图图3-6 所示等直圆杆，所示等直圆杆，AB 两截面的相对扭转角为：两截面的相对扭转角为： 图图 3-6 图图3-7 所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，所示阶梯圆杆，如各段材料也不同，AB 两截面的两
24、截面的相对扭转角为：相对扭转角为： 图图3-7从中取从中取 dx 段，段，dx 段段两相邻截面的扭转角为：两相邻截面的扭转角为： 图图3-8 图图3-8 所示等直圆杆受分布扭矩所示等直圆杆受分布扭矩 t 作用，作用，t 的单位为的单位为 。AB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为： 从中取从中取 dx 段，该段相邻两截面的扭转角为：段，该段相邻两截面的扭转角为： AB 截面相对扭转角为：截面相对扭转角为：式式中：中：图图3-9所示为变截面圆杆，所示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为两端直径分别为 d1、d2 。 图图3-9 二、二、刚度条件刚度条件取值可根据有关设计标淮或规范确定。取值可根据
25、有关设计标淮或规范确定。或 称为许用单位扭转角。刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。下列框图表示了求解过程：下列框图表示了求解过程： 解：解： 刚度计算刚度计算所以刚度符合要求。所以刚度符合要求。例例2（同例（同例2）d=110mm，若各轮之间距离均为若各轮之间距离均为 l=2m，G=80GPa， =0.5/m，(1)试校核轴的刚度；试校核轴的刚度；(2)计算相邻两轮之间的计算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。Tmax=9560N.m 例题例题变形计算变形计算计计算算变变形形
26、时时，扭扭矩矩T应应取取代代数数值值。轴两端截面之间的相对扭转角为：轴两端截面之间的相对扭转角为： 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径 例题例题40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度40NmxT右端面转角为：图图实心圆轴受力如图示，已知材料的实心圆轴受力如图示，已知材料的试设计轴的直径试设计轴的直径 D 。 例题例题扭矩图扭矩图解解 （一）绘制扭矩图如图。（一）绘制扭矩图如图。 （
27、二）由强度条件设计（二）由强度条件设计 D 。 解得：解得： （三）由刚度条件设计（三）由刚度条件设计 D 。 从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。 解得：解得： 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得：
28、500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) 例题例题由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) 综上：全轴选同一直径时 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx4.21(kNm)2.814传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为和。若轴的转速为，材料为45钢，。根据强度确定轴的直径。1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m解解: (1) 计算力偶距计算力偶距 (2)根据强度条件计算直径根据强度条件计算直径从扭矩图上可
29、以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。 例题例题若上题规定 且已知 按刚度条件确定轴的直径，并求齿轮3对齿轮1的转角。解：1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m 例题例题1.分析轴的扭矩分析轴的扭矩:解解:621外力偶计算：外力偶计算：外力偶计算：外力偶计算：1432-2.强度校核：强度校核：621-1432该轴满足强度要求。该轴满足强度要求。扭转轴刚度设计扭转轴刚度设计3.刚度校核：刚度校核：621-1432该轴满足刚度要求。该轴满足刚度要求。扭转轴刚度设计扭转轴刚度设计提高圆轴扭转强度和刚度的措施提高圆轴扭转强度和刚度的措施为了使为了使 与与 下降，有两条途径。下降，有两条
30、途径。使使Tmax降低。降低。(通过调整主动轮的位置通过调整主动轮的位置)提高提高Wt 和和 IP。(b)(b)采用空心轴。采用空心轴。( (a)a)加大直径；加大直径； 若若d2dd2d，则则 Wt 8Wt IP 16IP1、5o2、dD可以用直杆公式进行计算可以用直杆公式进行计算弹簧丝横截面弹簧丝横截面上的应力上的应力3.6* 圆柱形密圈螺旋弹簧圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形的应力和变形剪力剪力Q在截面上均匀分布在截面上均匀分布扭矩扭矩T在截面上产生的应力与直线圆轴相同在截面上产生的应力与直线圆轴相同弹簧丝横截面弹簧丝横截面上的应力上的应力3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧圆柱形密圈螺旋弹簧的应力
31、和变形的应力和变形考虑第一项剪应力的非均匀分布考虑第一项剪应力的非均匀分布弹簧丝的强度条件弹簧丝的强度条件弹簧丝横截面弹簧丝横截面上的应力上的应力3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形的应力和变形弹簧的变形弹簧的变形3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？解：最大剪应力的近似值： 例题例题最大剪应力的精确值：弹簧圈数：（圈）矩形截面杆的扭转
32、矩形截面杆的扭转3.7 *非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转横截面将发生横截面将发生翘曲翘曲矩形截面轴的扭转变形特征矩形截面轴的扭转变形特征矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转矩形截面轴横截面上的切应力矩形截面轴横截面上的切应力角点的应力为零角点的应力为零边缘上各点的应力沿切线方向边缘上各点的应力沿切线方向矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转狭长矩形截面典型非圆截面的最大剪应力自由扭转与约束扭转自由扭转与约束扭转自由扭转与约束扭转自由扭转与约束扭转自由扭转与约束扭转自由扭转与约束扭转自由扭转与约束扭转自由扭转与约束扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆
33、的自由扭转杆件截面中心线是一条不封闭的折线或曲线杆件截面中心线是一条不封闭的折线或曲线杆件截面中心线是一条封闭的折线或曲线杆件截面中心线是一条封闭的折线或曲线薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁杆的自由扭转薄壁圆筒扭转实验薄壁圆筒扭转实验剪切虎克定律剪切虎克定律剪应力互等定理剪应力互等定理剪切变形比能剪切变形比能dxtdy本节小结本节小结
