《高等数学：5-4 换元积分与分部积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：5-4 换元积分与分部积分（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节第四节 定积分的换元法定积分的换元法 与分部积分法与分部积分法一、定积分的换元法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 1一、定积分的换元法一、定积分的换元法定理定理1. 设函数设函数函数函数满足满足:1)2)则则证证: 所证等式两边被积函数都连续所证等式两边被积函数都连续, 因此定积分都存在因此定积分都存在,且它们的原函数也存在且它们的原函数也存在.是是的原函数的原函数, 因此有因此有则则且且2说明说明:1) 必须注意必须注意 换元必换限换元必换限, 原函数中的变量原函数中的变量 不必代回不必代回.2) 换元公式也可反过来使用换元公式也可反过来使用, 即即或凑微
2、分或凑微分凑微分不换限凑微分不换限3例例1. 计算计算解解: 令令则则 原式原式 =且且4例例2. 计算计算5例例3. 计算计算6例例4. 求求解解: 令令则则原式原式 7例例5. 计算计算解解: 令令则则 原式原式 =且且 8例例6. 设设解解: 令令则则且且 9例例7.证证:(1) 若若(2) 若若偶倍奇零偶倍奇零10例例8.11例例9.解：解：12证明证明: (1)例例10. 设设f (x)是连续的以是连续的以T(0)为周期的周期函数，为周期的周期函数，(1)证证明明:对对任任何何实实数数a，有有 13例例11.证明：证明：14证明：证明：用此结论可简化用此结论可简化15例例12. 计算计算解：解：16二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2. 则则例例13. 计算计算解解:17例例14.解：解：18例例15. 证明证明 n 为偶数为偶数 n 为奇数为奇数证明证明: 令令则则19由此得递推公式由此得递推公式于是于是而而故所证结论成立故所证结论成立.20例例16. 例例17. 21
