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1、1.4 标量场的梯度标量场的梯度1.4.1 1.4.1 等值面（线）等值面（线） 由所有场值相等的点所构成的面由所有场值相等的点所构成的面( (线线) )，即为等值面，即为等值面( (线线) )。即。即若标量函数为若标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为： 1.4.2 1.4.2 标量场的梯度标量场的梯度下面由函数定义梯度。设有一标量场，若从场中某一下面由函数定义梯度。设有一标量场，若从场中某一点位移到另一点，标量函数将变化到点位移到另一点，标量函数将变化到,在直角坐标系内，在直角坐标系内，增量可表示为增量可表示为又线元矢量又线元矢量于是可以表示为于是可以表示为7/21/20241 标
2、量场的梯度为一标量场的梯度为一矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数 标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：方向为标量标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：方向为标量场增加最快的方向（垂直于等值面），幅度表示标量场的最场增加最快的方向（垂直于等值面），幅度表示标量场的最大增加率大增加率 梯度的性质梯度的性质矢量称为标量场的矢量称为标量场的梯度梯度，也可用，也可用gradu表示表示7/21/20242例：例：试试证明证明其中其中yxoz7/21/20243证：7/21/202447/21/202451.4.3 1.4.3 标量场的方向导数标量场的方向导数也就是说，也就是说，u沿某个
3、方向的方向导数等于沿某个方向的方向导数等于u的梯度在这个方的梯度在这个方向的投影。向的投影。其中其中 为为 沿沿 方向的变化率，称为标量场方向的变化率，称为标量场 沿沿 方向方向的方向导数。的方向导数。7/21/20246例例1.5 已知标量场已知标量场 。求空间一点（求空间一点（1,0,1）的梯度和沿方向）的梯度和沿方向 的方向导数。的方向导数。 解解 由梯度公式由梯度公式(1.28)有有7/21/20247方向的单位矢量为故沿方向的方向导数为7/21/202481.4.4 矢量场的重要性质(两个重要公式)旋度的散度旋度的散度恒恒等于零。等于零。证明：证明： 旋旋度与散度的度与散度的定义都与坐标系无关。定义都与坐标系无关。应用：应用：7/21/20249梯度的旋度梯度的旋度恒恒等于零。等于零。证明：证明： 旋旋度度与梯度与梯度的的定义都与坐标系无关。定义都与坐标系无关。应用：应用：7/21/202410
