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1、 第六章第六章 定积分定积分6.1定积分的定义与性质一一 引入实例引入实例1 曲边三角形的面积计算 因而将曲边三角形分成了n个小曲边梯形（第一个除外，因为第一个还是一个曲边三角形）。【6-1-1】XYO1【6-1-2】【6-1-3】2 曲边梯形的面积计算（1）分割分割：（2）近似计算近似计算：【6-1-4】 （3）求和求和：因而整个曲边梯形的面积就可近似计算为（4）取极限取极限：求S的准确值【6-1-5】3 变速直线运动的路程计算 直线运动的路程计算，若为匀速运动，则路程的计算为速度乘以时间即可，但若为变速运动，则不能这样计算，因为速度是在随时间的变化而变化，如（1）分割： （2）近似求和：【
2、6-1-6】（3）取极限：二二 定积分的定义定积分的定义1 定义：【6-1-7】 因此按定义有：前述引例中的问题均可变为定积分： 曲边三角形面积为： 曲边梯形面积为： 变速直线运动的路程为：【6-1-8】2 定义中应注意的问题 （1）有关概念：积分号、被积函数、积分变量、被积表达式、积分限、积分上下限、积分区间。（2）定积分的结果是一个数，与不定积分不一样。（3）定积分仅与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，即有： 因为将一个区间段分成无穷段不能保证每一小段都非常小，但每一小段都非常小则必须是无穷段，当然，若对区间采用平均划分，则两者是一样的，此时可以代替。【6-1-9】3 可积函数的几
3、个结论（1）可积函数一定有界；（2）有限闭区间a,b上的连续函数一定可积；（3）在有限区间a,b上只有有限个间断点的有界函数一定可积。【6-1-10】三三 定积分的几何意义定积分的几何意义 1 若f(x)0，则为曲边梯形的面积，体现为正面积。 2 若f(x)0，则为曲边梯形的面积的相反数，体现为负面积。 3 若f(x)在a,b上有正有负，则为正负面积的代数和。例：例：教材例3即是引入例中第一个令b=1即可。四四 定积分的基本性质定积分的基本性质 1 性质1：线性运算性质【6-1-11】注：注：此性质可以推广到更多的有限个函数上去。 2 性质2：定积分具有对区间的可加性 理解：在曲边梯形面积上来
4、理解，一个曲边梯形可以分解为两个曲边梯形，且面积等于它们面积的合计。【6-1-12】 3 性质3：不等式关系性质理解：用第148页平面图形的面积来理解。 注：注：此性质的结论常用作积分值的估计。如【6-1-13】证明：证明：因此有：4 性质4：绝对值不等式注注：可用定积分的几何意义进行理解，代数和与绝对值的和。【6-1-14】5 性质5：积分中值定理 （2）证明：依闭区间上连续函数的性质中的介值定理有【6-1-15】（3）说明： 积分中值定理的几何意义：存在同底矩形，使其面积与曲边梯形的面积相等，如第149页图示。 本节作业：第186页第2（2，4，5），3（1，4，6）题下一节【6-1-16】
