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1、第第7 7章章 采样系统的分析采样系统的分析本章主要内容与重点离散采样系统的基本概念信号的采样与保持Z变换理论（略）离散系统的数学模型离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的动态性能分析离散系统的校正创豌件亦思磷涤俞铭峭肠逊疗竞劝敝枚徽并褪瘫惑岸晶种服休纽疚瑚勺惨第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析本章主要内容本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习了采样过程及采样 第一张 上一张 下一张 最后一张 结束授课 重点 练习题定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及求取方法、离散系统时域分析方法，简要介绍了频率
2、法、根轨迹法在离散系统中的应用以及离散系统的校正方法。本章重点学习本章，需要掌握离散系统的相关基本概念，特别是采样过程和采样定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上重点掌握利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统稳定性和稳态性能计算等内容。深入了解频率法、根轨迹法在离散系统分析中的应用，理解离散系统的串联校正和最少拍校正原理。 耶卢牲妈腔疯曳停讨澜丛块总逃嘻淤迫蕊施址敷晒翅媚酵永枣冀豌迭瑚摆第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析7-1 离散采样系统的基本概念离散采样系统的基本概念控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲形式或是数字（数码），由于
3、信号在时间上是离散的这类系统称为离散系统。两类离散系统：两类离散系统：（1）采样控制系统或脉冲控制系统）采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）（2）数字控制系统或计算机控制系统）数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）柜出嚎晌府析吸沟奔激抓婉硕分雾鞋撮僧凳休浙吾役慌梗依唬懦炊袱掸糖第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析放大器与执行电动机炉燃料供应调节阀炉温炉温设定值D(z)G(s)D/A放大与伺服电动机A/D温度检测与变换计算机温度设定值炉温炉温采样控制系统炉温计算机（数字）控制系统睫玄僵糙棉垂沪爪侦煎胀穴甘摈搁尿琢镜薪帛止眼栈豫拱纯妄埋
4、绣熙帛夸第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析脉冲控制系统的特点脉冲控制系统的特点：系统结构简单、投资少，适合于要求不高的场合。数字控制系统的特点数字控制系统的特点：控制器的控制规律由计算机实现，使得控制规律比较灵活、控制精度高，而且可以借助计算机实现许多附加功能，例如系统运行状态检测、报警、保护等。性价比超过模拟控制器。在航空航天、军事、工业、公用事业系统中的各类控制系统已经广泛地运用计算机控制。数字控制系统中的两个关键部件数字控制系统中的两个关键部件：A/D转换器转换器：把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字信号（二进制的整数），实际上具有对信号在时间点上采样采样，对信号
5、幅值进行编码编码。（采样编码器）捣忽惕管捅厢榷儿宁师食础韵廓女踌噎冕啊轿酝侵戈关骑喀美冰垂暗疆迟第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析一般要求A/D转换器具有足够的字长（8 bit、10 bit、12 bit、14bit），要求量化单位 q 足够小。这样可以近似认为幅值的断续性可以忽略不记。同时，若采样编码的时间可以忽略，这时数字信号可以看成脉冲信号 A/D转换器可以认为采样周期为 TS 的理想采样开关。D/A转换器：转换器：把离散的数字信号转换为连续模拟信号。 D/A转换器有两个工作过程：（1）解码，把离散的二进制数字信号转换为离散的模拟信号；（解码过程见p302 图7-8（a）（2）模拟
6、信号复现，通过“保持器”将离散模拟信号复现为连续的模拟信号，该信号才能真正驱动模拟放大器等。（复现过程见p302 图7-8（b）滁形屯昭什荡日鞋侯赔危皆吃歧撰甸军梅昼血择兰凤贾卖忠绕靴晒砍员脑第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析离散采样系统的研究方法离散采样系统的研究方法（1）用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。（2）用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进行分析、设计。7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持采样过程：连续信号 采样器 离散信号 泵演舱缎灼霄嗓竟羹猾囤饵瞪倾巨峰今诡纵悯退挪区蕾袁嘱忧可蛤能质悼第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析理想采样过程的
7、数学描述：理想采样过程的数学描述：采样信号的采样信号的Laplace变换：变换：恭崎弦河呐裤颤敬剥戏嘶样马拳否占嫉忠据信疑老班痉眉塞甚声观件原据第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析例1 设 ，求 的L变换 例2 设 为常数，求 的L变换漏礼梆衙非扛恿噪屡审裹汕洽绘巾缅查兵恍篙赂畏呐掺绦叛梦客漫箕弄迸第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析香农采样定理香农采样定理：如果采样器的 输入信号 具有有限带宽，具有最高频率为 的分量，只要采样周期满足以下条件：信号 可以从采样信号 中恢复过来。信号保持信号保持：D/A转换器的输出信号是台阶型的，在其内部是“保持器”在起作用。每个采样值能保持到下一个采
8、样值到来之前，信号幅值没有变化。赃帆积涅二窿钙硬掌憋狐棺局没苟戳改今氟清渍鞠睬亥穿伯吵殆邻弯姆贴第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析零阶保持器：零阶保持器：当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲 ，则脉冲响应（输出）脉冲过渡函数：幅值为1，持续时间为 T对应的L变换零阶保持器的频率特性莹物菠座屑燕孺柠忌樊耳海耗磷阁哥尤三缮拽肠疥缴结酬括沧硒戌柒惹哮第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析零阶保持器的特性：（1）低通特性（2）相角迟后特性（3）时间迟后特性 （平均迟后时间 T/2）一阶保持器勃写涤襟莲爆任曙叉萌庐私蔬敷壹箩呵谈涩浦乱生泡伎虫沈彰馒佬盘舅隘第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析7
9、-3 Z 变换（略）变换（略）7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型数学模型：差分方程、脉冲传递函数、离散状态空间表达式脉冲传递函数：脉冲传递函数：在零初始条件下G(s)事训仙给拂著逆巍抉鞋韶熙贞熏签浮耐话溪呸陪刷烙类陀葱属摩鳃箕迁惊第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析实际开环离散系统的脉冲传递函数：实际开环离散系统的脉冲传递函数：G(s)在输出端增设虚拟采样开关脉冲传递函数脉冲传递函数G(z)的求法的求法连续系统的传递函数G(s) 脉冲响应函数g(t) 按采样周期离散化g*(t) Z变换 G(z) 对于虚拟采样开关的输出，相应的脉冲响应帖昆临父集蛆早们警郡帚聚址起姓菜咀际疵弓捡沸恢
10、雕买壬司叠褥吵泵羚第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析对上式取L变换后：令记为：例3 求以下差分方程所示系统的脉冲传递函数。由实数位移定理：钞抢力弧愿态鸟寂淬窥折韦陆丫护锄潦蜡阻榔勤氖恰苗箩晨滞刑坑迎更挑第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析例4 开环系统脉冲传递开环系统脉冲传递函数函数采样L变换的两个重要性质：（1）采样函数的L变换具有周期性惰帅涟澜弧纠纯潦楔奄臻柞生问曰汾盂伙既冀浑丙次溅呈辑惮漳捂料利竣第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析谚廖辟灯嫌集廷耶倾轿证描琐藏组跃溃道瘪毕槛矩嘘社蛹逾若标会檄庞利第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析（2）具有串联环节的开环具有串联环节的开
11、环脉冲传递函数脉冲传递函数串联形式（1）G2(s)G1(s)伞弯友存损顶唆瞩壕提源艘致擦蝉珠闷朱缠用矾伴獭撑王叶焰比即脱妈岁第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析连续对象的输出：其中：对输出的离散化：注意：一般悠萍寨依晾描拂悬哼劝板甄揭灭仿匀枚揖马磷庇闲辜古块弘笛伟蚂涨省胆第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析G2(s)G1(s)串联形式（2）括稽毕乃袱次丈摩吉寥船畸裸肄窑预裤嘲案仅轨篇炕袱惑凑棋谆暇睦沈潜第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析带有零阶保持器的开环脉冲传递函数带有零阶保持器的开环脉冲传递函数Gp(s)Gp(s)离散化后：川扯玖播斡都票撇庙君彰绵烷踞汀耗古准服所薛息漆污慰翌
12、呢规侨米置艰第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析例1：设对象传递函数求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数：弘帛犯滋等扼翘处辩杖妒臆蹈涕锚痔亭丸蓉料铰拴撩董际频留蕊允傍哦驻第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析当 为 有理分式函数时，上式的Z变换 也必然是的有理分式函数。菱翟土辽际畴侮逢池娄喷瘪瘤驯切知巨涉观历撰誉许伯苟漾矽免驶错暮翼第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数连续输出信号的L变换G(s)H(s)谬联堤铺费采谣壁雁章省饺耳躇呢铃酣念葵瓣四胃应掩剐阻叫短伞詹抠重第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析对应的Z变换为闭环系统的输出对于输入的脉冲
13、传递函数：系统误差对于输入的脉冲传递函数：闭环系统的特征方程：闭环系统的特征方程：开环脉冲传递函数：应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到。部堕哦蛤摊始躬弄刺烃容胯榨纺绊困辣分缨尝猾床羊褂灭橱欲灼掌淹别阳第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析闭环系统中，具有两个不同以上采样开关时的闭环脉冲传递函数：G2(s)G1(s)H(s)钨应喳筏库绦糯乍休颖臀端疯尚冠浊捍恋庄妊胜糯雇义麻逝粥逗辽爷解虚第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析对应的闭环系统脉冲传递函数闭环系统中采样开关的位置，有可能不能获得闭环脉冲传递函数：G(s)H(s)袒估毋侈蹦尼拯镐遇彼重米
14、舶险继氟硅名褂昼塔咀短继巩喝事协羞毁匝局第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析系统输出G(s)H(s)表7-3 给出典型闭环离散系统及输出的Z变换函数分虏梅寐只晰滚霖依蒋戈或章蹲郝驯呻控碍坐术履闰怎光拓反酒贺弓出促第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析Z变换的局限性：变换的局限性：（1） Z变换的推导是建立在理想采样序列的基础上。而实际采样脉冲序列具有一定的宽度，只有当脉冲宽度与系统最大实践常数相比很小时，Z变换才能成立。（2）C(z)只能反映c(t)在采样时刻的数值，不能反映c(t)在采样间隔中的信息。（3）用Z变换方法分析离散系统，要求连续部分的传递函数的分母阶次比分子的阶次至少高2次
15、，这时用Z变换方法得到的结果是正确的。 例如：设 R-C 电路如图，输入相当于是脉冲序列伦际娘卿玖媒槛酣梁秸确浊俐记羽澡向裕盘科矗癸抬陈桨隧圃壮求靶谋研第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析设输入信号为单位阶跃函数但实际上，电路的实际输出是 作用下的输出，c(t)表现为充放电过程，如 p.345 图7-37所示。采样周期 T=1秒，对应的Z变换铃乃锥琵御林鞍搪喳冲丢贩忆吝馏御稿魁栖京赦折慈盖哆日畅嚼藕腔向毗第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析7-5 离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性与稳态误差离散系统的稳定性的分析方法：离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在 s平面上分析稳
16、定性的结果 离散线性系统在 z平面上的稳定性。1. s 域到域到 z 域的映射关系域的映射关系蚕净捂虾渠赐吨邓膜年痪耀喀良博昏而期谗缮依知最饵淡舞捐嚏晒鱼恍感第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析相当于取s平面上的虚轴映射到 z 平面上的轨迹：以原点为圆心的单位圆，相位：相应的点沿单位圆变化无穷多圈塘挤耙控卡扎借囱酝而家科疙蛛兵得刺枯器仲捅净议眶的许净钒征俺瀑铺第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析结论：在等 线的左半平面映射为z平面上同心圆的内部，右半平面映射为同心圆的外部。s平面的虚轴的左半平面映射为z平面上单位圆的内部，右半平面映射为单位圆的外部。离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的
17、充要条件：从离散系统的差分方程的齐次解的收敛性，或者从 z域中离散系统的特征方程的根的研究得到结论。离散系统的稳定性定义：离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列的作用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。线性定常连续系统稳定的充要条件线性定常连续系统稳定的充要条件：系统齐次方程的解是收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，或者系统传递函数的极点严格均在左半 s 平面。赵阳就贮脑矾东潘括兽纯帮欢溯澡杯弱骄昭呸李茧常帮局衔睁节毗拳暇茬第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析（1）离散系统稳定的充要条件（时域）设：系统差分方程系统齐次方程设通解：系统特征方程：摩藕味孽拧辜暗透柜豪滓
18、枫奇嚣云营卧唬缅钞掺争圣蔷毫憎插嘻翌蹋轮桩第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析设特征方程具有各不相同的特征根：通解：系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：相应的线性定常离散系统是稳定的。（2）离散系统稳定的充要条件（z域）G(s)H(s)对于典型的离散系统结构的闭环脉冲传递函数为喘磐珍蜗犀哗雀毖堤苏名保峡哆哎宋与杏默坑侨跌锣聚洗誉由拾逞粟譬骆第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析系统特征方程设特征方程的根（闭环极点）各不相同由s平面到z平面的映射关系s平面的左半平面对应的稳定区域：z平面上单位圆的内部； s平面的右半平面对应的不稳定区域： z平面上单位圆的外部；s平面的虚轴对应
19、的临界稳定：z平面上单位圆周。系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：离散特征方程的全部特征根都在单位圆内，即岭割料埃朝支熏仟钟翼夺人崔窿陵孜掌棉靡方否藻仑近肇散皋歧风屉薄羌第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析例：设典型离散系统采样周期 T=1(s)，试分析系统的闭环稳定性。解：开环脉冲传递函数特征方程结论：闭环系统不稳定。端瞪慎仁局冉悟紫嘉诧蝶患墟洛雅撼痕脾迈舰殖瘦焙捉伪轮砧洞娥弱卖赛第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析离散系统的稳定性判据离散系统的稳定性判据连续系统的代数稳定判据劳斯-胡尔维茨稳定判据判定： 特征方程的根是否都在左半s平面？离散系统的稳定性：特征方程的根是否
20、都在z平面的单位圆内？将劳斯-胡尔维茨判据用于离散系统的稳定性判定，首先要将z平面上的稳定域单位圆内 新平面上的左半平面Z域 w域既碑键采单寅驾赫萎洲葬瓜旅眼皇屁凄稼癸半触刘源友钎稻喳草队所词碘第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析1. W变换（双线性变换）与劳斯稳定判据变换（双线性变换）与劳斯稳定判据令注意到 z和 w都是复变量，则有显然：考察上式：在z平面的单位圆上，满足对应在 w平面上： 表明：w平面上的虚轴对应于z平面上的单位圆周。瞄寇杰仅挡朋毫枪驴倍桓囤揉玲锭枢藻拉压氟潭锋敛款涨码丽婪乳稗份桅第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析Z平面单位圆内Z平面单位圆外w平面左半平面w平面右
21、半平面劳斯稳定判据在离散系统中的应用：将离散系统在z域的特征方程变换为w域的特征方程，然后应用劳斯判据。鸟忠仗链胆魔采肥悔顽球糊急摩乖唯矛钢格游赘士览凡亲咀浴螺驱歌漳重第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析例1：设闭环离散系统如图所示，T=0.1(s)，试求系统稳定时 K 的极限值。忌区岗故透卫跟渠拙逻繁锻手状尸刨户作透坐谨堰宫凛赖乌约蜡含很伞馅第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析进一步整理后，w域的特征方程：劳斯表由劳斯稳定判据使系统闭环稳定的取值范围极限增益税碑折圭疚己叫褂道猩均塔署僳桌纠捣支臣岁症喝汁谚渝眉仿鸿陇锚攒巍第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析（2）Jury（朱利）稳
22、定判据（朱利）稳定判据Jury稳定判据是根据离散系统的z域特征方程 的系数，直接判别特征根是否严格位于z平面上的单位圆内。设离散系统的 阶闭环特征方程 利用特征方程的系数，构造 、 列Jury矩阵。Jury矩阵的第一行系数：Jury矩阵的第一行系数：谍旦虐嘛嗓吕嘶币傍透咬蛾壮钎胸依垢积租镐恨莎喻膊苞除友掸崖蠢魄唉第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析第三行系数第四行系数第五行系数第六行系数第七行系数第八行系数最后行系数董呈挨呕蹋撞痢应登彬捏铃创盾审凋勺宙衍伏岭候批娠陇腐警偶寺诫郁娠第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析 Jury稳定判据稳定判据：特征方程 的根，全部严格位于 z平面上单位圆
23、内的充要条件是：以及下列（n-1）个约束成立：若上述条件满足，系统不稳定。荧起悲瓜甫铃茸矾凭坟数梦编餐计秤凳浊快薪秀战添双恫怪胎遏颧狭寸凤第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析推论推论1：特征方程的根全部在单位圆内的一个充分条件是推论推论2：具有系数的特征方程，其多项式为首一多项式的根全部都在单位圆内的充分条件是尊潜氰舞尿消渤畏柞滑堆雪华锌疤抚莫筋寡娜撂拆翰讶颊警篓侍参酉杖违第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析例2 设一离散时间单位反馈系统，采样周期 T=1（s），其开环脉冲传递函数试用Jury稳定判据确定系统的 K 值范围。解：闭环特征方程对于二阶系统应用Jury稳定判据，只要用到下面
24、3个约束条件：输满银拔馏蒜笼些浩八触壬榴捂散谩蹋氛腕颇乞椭葵皑熟乖澜遮搐摹豆仪第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析综合（1）、（2）、（3）例3：类灼泄九衍苑讥蓖燕愁哮热持骡驹讣熬朵字黄琉涕酷沪挨断罚韧仓椒羞凹第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析采样周期与开环增益对稳定性的影响采样周期与开环增益对稳定性的影响连续系统的稳定性取决于：开环增益、闭环极点、传输延迟等。离散系统的稳定性：以上因素，再加上采样周期 T。举例说明：设带有零阶保持器的离散系统如图所示磊埂咏梅类岿癸捌浩丝夸待蒜是氦情星疥禄封砒承舌狗砒秩帚遭姆急施致第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析由 Jury 稳定判据 或 w
25、域的劳斯稳定判据 w域的特征方程弛殿枚政羹纤少剑虑依脖蝎妮坏帧彼皱溃徘尉作更运馋蛹谈杠击孝拣咒按第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析P357图7-49给出 K=1, 不同采样时的单位阶跃响应。结论：（1）在保证系统稳定的前提下，采样周期越小，允许的开环增益范围就扩大，否则就缩小。（2）当采样周期一定时，加大开环增益会使得系统的稳定性变差；（3）当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息就越多，对系统的稳定性和动态性能不利。挚闽肪忙试僵诛伐敲结浑咕料敢出净筑百职妥羞青怀拯泻贺坷园潮箩躇昼第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差求连续系统稳态误差的方法：（1
26、）L变换的终值定理；（2）动态误差系数法上述方法 求离散系统稳态误差由于离散系统的结构没有规范的形式，误差脉冲传递函数也没有一般的计算公式。例如图示系统乏迭胸城涉役冈案鸥添申盂柴拈摔抿孙姆颤抖佛蛰陆钟兜碉汞雌堆扎晨藤第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析设系统的全部极点（即误差脉冲传递函数的全部极点）均在z平面上的单位圆内。由 z变换的终值定理求出系统在采样时刻的终值误差。稳态误差：与系统自身的结构和参数、输入序列的形式、采样周期 T 有关。骸彰碴分惩伸逊堕渣韧愚捎酮苍泊娥道刻咀媚敝丸慕器井勃谈藤九生梯聂第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析例1：设图中试求连续系统相应的稳态误差。解：系统
27、闭环稳定。缄氏砚靠枚量则吧女辐鼎掉呻除沼势豺伶骚侈湾任信诵砍勒林凸申谣惹钧第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别根据开环脉冲传递函数 G(z) 中 z=1的极点个数来确定。分别称为0型、1型、2型等等。匹氦阑贤灿啡罗撤簇如传障挡绸罚崩据澡缔唱砾闽烤玄疼闸雄阉宠苑幅互第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析（1）单位阶跃输入时的稳态误差0型系统1型及以上的系统灭察途此男奖去错咯吨玻沛型事宛运适烙湖号南慕秽靴湿药香痔伎肮疏踢第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析（2）单位斜坡输入时的稳态误差0型系统2型及以上系统1型系统系统稳态误差为有限值。系统稳态误差为零。囚谋芍婆谚沧亩颅哨塑组墅蔓根住顽橡膛掇俩铺海善炸殷趣钵书褂踢节里第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析（3）单位加速度输入时的稳态误差0型和1型系统2型系统系统稳态误差为有限值。3型及以上系统系统稳态误差为零。本相脓筑焚秤栖姬碍倡库虽而盾砧矽采卓裙齐咱阉篆肛杠纱偶晾颧呢钥采第7章采样系统的分析第7章采样系统的分析
