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1、3. 11. 1 3. 11. 1 曲线的渐近线曲线的渐近线3. 11. 2 3. 11. 2 函数图形的描绘函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数图形的描绘 第3章 3 . 113. 11. 3 3. 11. 3 弧微分弧微分3. 11. 4 3. 11. 4 曲曲率及其计算公式率及其计算公式3. 11. 5 3. 11. 5 曲曲率圆与率圆与曲曲率半径率半径与平面曲线的曲率无渐近线无渐近线 .当曲线当曲线 C 上的点上的点M 沿着该曲线无限地远离坐标原点时，沿着该曲线无限地远离坐标原点时，3.3. 11.11. 1 1 曲曲 线线 的的 渐渐 近近 线线定定 义义 ：则称直
2、线则称直线例如例如, 双曲线：双曲线：有渐近线：有渐近线：但抛物线：但抛物线：机动 目录 上页 下页 返回 结束 点点 M 与某一直线与某一直线 L 的距离（的距离（纵或横坐标差纵或横坐标差）趋于）趋于L 为曲线为曲线C 的的渐近线渐近线 。1. 1. 水平与铅（垂）直渐近线水平与铅（垂）直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例例1. 的渐近线。的渐近线。解解:为水平渐近线为水平渐近线;为垂直渐近线。为垂直渐近线。机动 目录 上页 下页 返回 结束 求曲线求曲线2. 2. 斜渐近线斜渐近线有斜渐近线若机动 目录 上页 下页 返回 结束 则例例 2. 的渐近线的渐近线 。解解:又又为曲
3、线的一条斜渐近线为曲线的一条斜渐近线 。机动 目录 上页 下页 返回 结束 求曲线求曲线为其两条铅直渐近线；为其两条铅直渐近线；而而3.3. 11.2 11.2 函数图形的描绘的步骤函数图形的描绘的步骤设函数设函数1. 确定作图的区域，确定作图的区域，的定义域：的定义域：奇偶性、对称性、周期性奇偶性、对称性、周期性 、有界性、有界性;2. 计算计算并分别求出并分别求出及及3. 列表判别增减及上、下凸区间列表判别增减及上、下凸区间 , 4. 求曲线求曲线5. 确定某些特殊点确定某些特殊点等于等于 0和它们不可导的点和它们不可导的点机动 目录 上页 下页 返回 结束 并考虑函数并考虑函数（可疑的极
4、值点与可疑的拐点）（可疑的极值点与可疑的拐点） ;的渐近线的渐近线 ;即函数即函数求出极值和拐点求出极值和拐点 ;（与纵、横轴的交点）（与纵、横轴的交点） , 描绘函数的图形。描绘函数的图形。例例3. 描绘的图形.解解: 1) 定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 描绘方程的图形.解解: 1)定义域为2) 求关键点机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 判别曲线形态(极大极大)(极小极小)4) 求渐近线为铅直渐近线无无定定义义机动 目录 上页 下页 返回 结束 又因即5) 求特殊点为斜渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结
5、束 6）绘图(极大极大)(极小极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点机动 目录 上页 下页 返回 结束 无无定定义义例例5. 描绘函数的图形. 解解: 1) 定义域为图形对称于 y 轴.2) 求关键点机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)(极大极大)(拐点拐点)为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.3. 11.11. 3 3 弧弧 微微 分分设函数设函数内连续可导，内连续可导， 其其图形为图形为 AB,其弧长其弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束 在开区间在开区间则则弧长微分公式为：弧长微分公式为：或或若若曲线由参数方程表
6、示曲线由参数方程表示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何意义：几何意义：3.11.4 3.11.4 曲率及其计算公式曲率及其计算公式在光滑弧上自点在光滑弧上自点 M 开始取弧段开始取弧段, 其长为：其长为：对应切线对应切线定义定义点点 M 处的曲率处的曲率注意注意: 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为 0 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为转角为弧段弧段上的平均曲率上的平均曲率例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .机动 目录 上页 下页 返
7、回 结束 有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: (1) 若曲线由参数方程给出, 则(2) 若曲线方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 , 因此铁道的曲率应连续变化 . 例例2. 我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且 l R. 处的曲率
8、.其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:显然例例3. 求椭圆在何处曲率最大?解解:故曲率为K 最大最小机动 目录 上页 下页 返回 结束 求驻点: 设从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点处曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值:最大.3.3. 11.11. 5 5 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(
9、1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为且求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心设点M 处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可得曲率中心公式(注意与异号 )当点 M (x , y) 沿曲线 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例例4. 设一工
10、件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为由例3可知, 椭圆在处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为显然, 砂轮半径不超过时, 才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.例3 目录 上页 下页 返回 结束 ( 仍为摆线 )例例5. 求摆线的渐屈线方程 . 解解:代入曲率中心公式 , 得摆线 目录 上页 下页 返回 结束 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2. 函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 弧长微分或2. 曲率公式3. 曲率圆曲率半径曲率中
11、心机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1. 曲线(A) 没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 拐点为 ,凸区间是 ,2. 曲线的凹区间是 ,提示提示:及渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 P75 13 (2); P166 2 ; 5作业作业第七节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 求笛卡儿叶形线的渐近线 . 解解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 笛卡儿叶形线笛卡儿叶形线参数的几何意义参数的几何意义:图形在第四象限图形在第二象限图形在第一象限点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束
