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1、1.2 测量误差基本理论测量误差基本理论 u测量的目的测量的目的测量的目的测量的目的: : : : 获得被测量的真值。获得被测量的真值。获得被测量的真值。获得被测量的真值。 u真值真值真值真值: : : : 在一定的时间和空间环境条件下，被测量本在一定的时间和空间环境条件下，被测量本在一定的时间和空间环境条件下，被测量本在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值。理论真值、约定真值、相对身所具有的真实数值。理论真值、约定真值、相对身所具有的真实数值。理论真值、约定真值、相对身所具有的真实数值。理论真值、约定真值、相对真值。真值。真值。真值。u误差公理：所有测量结果都带有误差。误差
2、公理：所有测量结果都带有误差。误差公理：所有测量结果都带有误差。误差公理：所有测量结果都带有误差。u误差来源：仪器误差、理论方法误差、环境影响误误差来源：仪器误差、理论方法误差、环境影响误误差来源：仪器误差、理论方法误差、环境影响误误差来源：仪器误差、理论方法误差、环境影响误差等。差等。差等。差等。u测量的目标：减小测量误差，使测量结果尽可能接测量的目标：减小测量误差，使测量结果尽可能接测量的目标：减小测量误差，使测量结果尽可能接测量的目标：减小测量误差，使测量结果尽可能接近真值近真值近真值近真值。1.2.11.2.1测量误差的基本概念测量误差的基本概念1传感器与测试技术第一章：测试的基础知识
3、1.2.21.2.2真值与误差真值与误差1 1）真值）真值真值是指在某一时刻和某一位置的某个物理量真值是指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。客观存在的真实值。研究者在特定条件下用某种测量仪器和方法，研究者在特定条件下用某种测量仪器和方法，对某物理量进行测量，可得到一系列测量值，但对某物理量进行测量，可得到一系列测量值，但由于受测量仪器、方法、环境、操作等因素的影由于受测量仪器、方法、环境、操作等因素的影响，严格讲都不是真值。响，严格讲都不是真值。真值通常是无法测得的，只能测得真值的近似真值通常是无法测得的，只能测得真值的近似值。这个近似值就是一组重复测量数据的算术平值。这个近似
4、值就是一组重复测量数据的算术平均值。均值。2传感器与测试技术第一章：测试的基础知识2 2 2 2）绝对误差绝对误差绝对误差绝对误差uu实际应用中常用实际值实际应用中常用实际值实际应用中常用实际值实际应用中常用实际值A A A A（高一级以上的测量仪器或计量器（高一级以上的测量仪器或计量器（高一级以上的测量仪器或计量器（高一级以上的测量仪器或计量器具测量所得之值）来代替真值（相对真值）。具测量所得之值）来代替真值（相对真值）。具测量所得之值）来代替真值（相对真值）。具测量所得之值）来代替真值（相对真值）。 测量精度不仅与它的绝对误差的大小，而且与这个量本身测量精度不仅与它的绝对误差的大小，而且与
5、这个量本身的大小有关。例如：如何比较测量长度为的大小有关。例如：如何比较测量长度为10m10m和和1m1m（绝对误差（绝对误差为为1cm1cm）的测量精度？）的测量精度？3传感器与测试技术第一章：测试的基础知识3 3 3 3）相对误差：相对误差：相对误差：相对误差：绝对误差与真值之比百分数表示。绝对误差与真值之比百分数表示。真值相对误差：真值相对误差：真值相对误差：真值相对误差：示值相对误差：示值相对误差：示值相对误差：示值相对误差：A A A A为相对真值为相对真值为相对真值为相对真值x x x x为测量值为测量值为测量值为测量值分贝误差分贝误差分贝误差分贝误差相对误差的对数表示相对误差的对
6、数表示相对误差的对数表示相对误差的对数表示( ( ( (单位：分贝单位：分贝单位：分贝单位：分贝dB)dB)dB)dB) 评定精度：相对误差越小，测量精度越高。评定精度：相对误差越小，测量精度越高。4传感器与测试技术第一章：测试的基础知识4 4）引用）引用相相对误差：差： 是是指指仪表表的的最最大大示示值误差差 与与仪表表的的测量量 上上限限或或量程量程A A之之比比值，即：，即： 若某仪表为若某仪表为0.50.5级，就是指该仪表的引用相对误级，就是指该仪表的引用相对误差为差为0.5%0.5%。但要注意，由于引用误差是以测量上限（量程）但要注意，由于引用误差是以测量上限（量程）为基准，故测量时
7、应使读数尽量在量程的三分之为基准，故测量时应使读数尽量在量程的三分之一以上。若使用不当，则会使测量值的相对误差一以上。若使用不当，则会使测量值的相对误差大于表的级别。大于表的级别。5传感器与测试技术第一章：测试的基础知识 如表的量程为如表的量程为1010A A，级别为级别为1.01.0级，当测量级，当测量1.01.0A A电流时，则测量值的相对误差可达到：电流时，则测量值的相对误差可达到：6传感器与测试技术第一章：测试的基础知识根据测量误差的性质和特点，可将误差分为系统根据测量误差的性质和特点，可将误差分为系统误差、随机误差和疏失误差（或称粗大误差）三大误差、随机误差和疏失误差（或称粗大误差）
8、三大类。类。1.2.31.2.3误差的分类误差的分类1 1系统误差系统误差 系统误差概念：指在相同条件下，多次测量同系统误差概念：指在相同条件下，多次测量同一被测量时，测量误差的大小和符号保持不变或一被测量时，测量误差的大小和符号保持不变或按一定的函数规律变化，服从确定的分布规律。按一定的函数规律变化，服从确定的分布规律。 系统误差产生原因：主要是由于测量设备的缺系统误差产生原因：主要是由于测量设备的缺陷、测量环境变化、测量时使用的方法不完善、陷、测量环境变化、测量时使用的方法不完善、所依据的理论不严密或采用了某些近似公式等造所依据的理论不严密或采用了某些近似公式等造成的误差。成的误差。7传感
9、器与测试技术第一章：测试的基础知识1 1）根据系统误差变化与否分为恒值系统误差与）根据系统误差变化与否分为恒值系统误差与变值系统误差。变值系统误差。 （1 1）恒值系统误差不随实验条件变化而保持）恒值系统误差不随实验条件变化而保持恒定的系统误差。如仪表的零点偏移、刻度不恒定的系统误差。如仪表的零点偏移、刻度不准而产生的测量误差。准而产生的测量误差。（2 2）变值系统误差）变值系统误差 随着实验条件的变化而变随着实验条件的变化而变化的系统误差。如测量电路中各种电气元件的化的系统误差。如测量电路中各种电气元件的参数随温度而变化所产生的测量误差。参数随温度而变化所产生的测量误差。8传感器与测试技术第
10、一章：测试的基础知识2 2）按系统误差产生的原因可分为以下五类：）按系统误差产生的原因可分为以下五类：（1 1）工具误差：也称为仪器误差。这是由于测）工具误差：也称为仪器误差。这是由于测量所用工具（仪器、量具等）本身不完善而产生量所用工具（仪器、量具等）本身不完善而产生的误差。的误差。（2 2）装置误差：由于测量设备和电路的安装、）装置误差：由于测量设备和电路的安装、布置及调整不得当而产生的误差。如测试设备没布置及调整不得当而产生的误差。如测试设备没有调整到水平、垂直、平行等理想状态，应对中有调整到水平、垂直、平行等理想状态，应对中的未能对中，方向不准等所产生的误差。的未能对中，方向不准等所产
11、生的误差。（3 3）环境误差：由于外界环境（温度、湿度、）环境误差：由于外界环境（温度、湿度、电磁场等）的影响而产生的误差，各类仪器仪表电磁场等）的影响而产生的误差，各类仪器仪表都有在一定条件下的性能参数或者精度指标，即都有在一定条件下的性能参数或者精度指标，即所谓基本精度。而使用时如果环境条件不满足使所谓基本精度。而使用时如果环境条件不满足使用要求，其误差会增加，即所谓附加误差。用要求，其误差会增加，即所谓附加误差。9传感器与测试技术第一章：测试的基础知识（4 4）方法误差）方法误差 也称理论误差。是由于测量方也称理论误差。是由于测量方法本身所形成的误差，或者由于测量所依据的法本身所形成的误
12、差，或者由于测量所依据的理论本身不完善等原因而产生的误差。理论本身不完善等原因而产生的误差。（5 5）人员误差）人员误差 视差、观测误差、估读误差视差、观测误差、估读误差和读数误差等都属于人员误差。和读数误差等都属于人员误差。10传感器与测试技术第一章：测试的基础知识3 3）根据误差的变化规律分为常值、累进性的、）根据误差的变化规律分为常值、累进性的、周期性的以及按复杂规律变化的系统误差。周期性的以及按复杂规律变化的系统误差。上述是从不同的角度对误差进行分类，由于每一上述是从不同的角度对误差进行分类，由于每一种具体的误差，其产生的原因、自身的规律以及种具体的误差，其产生的原因、自身的规律以及人
13、们对其掌握的程度都各不相同，所以，对其分人们对其掌握的程度都各不相同，所以，对其分析研究以及消除和补偿方法也不尽相同。析研究以及消除和补偿方法也不尽相同。由于系统误差具有一定的规律性，因此它是可以由于系统误差具有一定的规律性，因此它是可以预测的，也是可以消除的。预测的，也是可以消除的。11传感器与测试技术第一章：测试的基础知识2 2随机误差随机误差概念：在同一测试条件下，多次重复测量同一量时，概念：在同一测试条件下，多次重复测量同一量时，误差大小、符号均随机变化的误差称为随机误差。误差大小、符号均随机变化的误差称为随机误差。产生随时机误差的因素：未被发现和无法控制的因素产生随时机误差的因素：未
14、被发现和无法控制的因素所引起。有些因素虽然知道，但无法准确控制。所引起。有些因素虽然知道，但无法准确控制。随机误差的抵偿性：由于随机误差无规律性，导致了随机误差的抵偿性：由于随机误差无规律性，导致了众多随机误差之和有正负抵消的可能。随着测量次数的众多随机误差之和有正负抵消的可能。随着测量次数的增加，随机误差平均值愈来愈小。这种性质通常称为抵增加，随机误差平均值愈来愈小。这种性质通常称为抵偿性。因此，如果不存在系统误差，通常采用增加测量偿性。因此，如果不存在系统误差，通常采用增加测量次数来消除随机误差的影响。次数来消除随机误差的影响。12传感器与测试技术第一章：测试的基础知识随机误差的统计特征：
15、随机误差的统计特征： 随机误差既不能用实验方法消去，也不能随机误差既不能用实验方法消去，也不能修正。虽然它的变化无一定规律可循，但是在修正。虽然它的变化无一定规律可循，但是在多次重复测量时，其总体服从统计规律。多次重复测量时，其总体服从统计规律。 实践证明，随机误差的统计特性大多服从实践证明，随机误差的统计特性大多服从正态分布，根据随机误差的统计规律，便可以正态分布，根据随机误差的统计规律，便可以对其大小及测量结果的可靠性等作出估计。随对其大小及测量结果的可靠性等作出估计。随机误差的大小表明测量结果的精密度。机误差的大小表明测量结果的精密度。13传感器与测试技术第一章：测试的基础知识3 3疏失
16、误差疏失误差 概概念念：疏疏失失误误差差是是指指在在一一定定的的测测量量条条件件下下，测测得得的的值值明明显显偏偏离离其其真真值值，既既不不具具有有确确定定分分布布规规律律，也不具有随机分布规律的误差。也不具有随机分布规律的误差。 原原因因：疏疏失失误误差差是是由由于于测测试试人人员员对对仪仪器器不不了了解解、或或因因思思想想不不集集中中、粗粗心心大大意意导导致致错错误误的的读读，使使测测量量结果明显地偏离了真值的误差称为疏失误差。结果明显地偏离了真值的误差称为疏失误差。 坏值：疏失误差就数值大小而言，通常明显地坏值：疏失误差就数值大小而言，通常明显地超过正常条件下的系统误差和随机误差。含有疏
17、失超过正常条件下的系统误差和随机误差。含有疏失误差的测量值称为坏值或异常值。正常的测量结果误差的测量值称为坏值或异常值。正常的测量结果中不应含有坏值，应予以剔除，但不能主观随便除中不应含有坏值，应予以剔除，但不能主观随便除去，必须根据检验方法的某些准则判断哪个测量值去，必须根据检验方法的某些准则判断哪个测量值是坏值。是坏值。14传感器与测试技术第一章：测试的基础知识4 4三种误差的处理方法三种误差的处理方法注注意意：在在实实际际测测量量中中，系系统统误误差差、随随机机误误差差和和疏疏失失误误差差并并不不是是一一成成不不变变的的，它它们们在在一一定定条条件件下下可可以以相相互互转转化化。较较大大
18、的的系系统统误误差差或或随随机机误误差差都都可可以以当当成成疏疏失失误误差差来来处处理理。就就是是同同一一种种因因素素对对测测量量数数据据的的影影响响，也也要要视视其其影影响响的的大大小小和和对对这这种种影影响响规规律律掌掌握握的的程程度度，当当成成不不同同的的误差来处理。误差来处理。三种误差的处理方法不同：三种误差的处理方法不同： 对于含有疏失误差的测量值应予以剔除；对于含有疏失误差的测量值应予以剔除； 对于随机误差的影响用统计的方法来消除或减弱；对于随机误差的影响用统计的方法来消除或减弱； 对于系统误差则主要靠测量过程中采取一定的技术对于系统误差则主要靠测量过程中采取一定的技术措施来削弱或
19、对测量值进行必要的修正来减弱其影响措施来削弱或对测量值进行必要的修正来减弱其影响。15传感器与测试技术第一章：测试的基础知识精度：测得值与真值的接近程度。通常用误差值来精度：测得值与真值的接近程度。通常用误差值来表征。这里的误差是系统误差与随机误差综合后的总表征。这里的误差是系统误差与随机误差综合后的总误差。精度又可进一步划分成精密度、准确度和精确误差。精度又可进一步划分成精密度、准确度和精确度。度。精密度：表示在多次重复测量中所测数据的重复性精密度：表示在多次重复测量中所测数据的重复性或分散程度，或表示测量结果中随机误差大小的程度。或分散程度，或表示测量结果中随机误差大小的程度。随机误差小、
20、随机误差小、 重复测量的结果就密集，重复性好，重复测量的结果就密集，重复性好，即精密度高或重复精度高。即精密度高或重复精度高。 5.精密度、准确度及精确度16传感器与测试技术第一章：测试的基础知识准确度：表示测量结果与被测量真值之间的准确度：表示测量结果与被测量真值之间的偏离程度，或表示测量结果中的系统误差大小偏离程度，或表示测量结果中的系统误差大小的程度。系统误差小，准确度高。的程度。系统误差小，准确度高。 精确度：测量结果的精密度与准确度的综合精确度：测量结果的精密度与准确度的综合反映。或者说，测量结果中系统误差与随机误反映。或者说，测量结果中系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的
21、一致程度。差的综合，表示测量结果与真值的一致程度。 17传感器与测试技术第一章：测试的基础知识精密度高，准确度不一定高，反之，准确度高，精密精密度高，准确度不一定高，反之，准确度高，精密度也不一定高。如果精密度和准确度都高，则测量的精度也不一定高。如果精密度和准确度都高，则测量的精确度一定高。通常所说的精度，实际上是精确度的概念，确度一定高。通常所说的精度，实际上是精确度的概念，而常用的而常用的“重复精度重复精度”是精密度的概念。是精密度的概念。c c）精精密密度度和和准确度都高准确度都高. . .a a）精密度高精密度高 准确度不高准确度不高b b）准确度高，准确度高，精密度不高精密度不高1
22、8传感器与测试技术第一章：测试的基础知识精度等级：用来表达装置在符合一定的计量要精度等级：用来表达装置在符合一定的计量要求情况下，能保持其误差在规定的极限范围内。求情况下，能保持其误差在规定的极限范围内。 工程上常采用引用误差作为判断精度等级工程上常采用引用误差作为判断精度等级的尺的尺度。以允许引用误差值作为精度级别的代号。例度。以允许引用误差值作为精度级别的代号。例如，如，0.20.2级电压表表示该电压表允许的示值误差不级电压表表示该电压表允许的示值误差不超过电压表量程的超过电压表量程的 0.2%0.2%。 注意：精度等级标志代表允许误差的大小，注意：精度等级标志代表允许误差的大小， 并不是
23、实际测量中出现的误差。并不是实际测量中出现的误差。 19传感器与测试技术第一章：测试的基础知识1.31.3 测量数据处理测量数据处理 被测量的估计值被测量的估计值被测量的估计值被测量的估计值 - - - - 可信程度（评定）可信程度（评定）可信程度（评定）可信程度（评定）1.3.1系统误差的消除系统误差的消除：1 1 1 1）分析系统误差产生的根源）分析系统误差产生的根源）分析系统误差产生的根源）分析系统误差产生的根源测量前，采取相应措施；测量前，采取相应措施；测量前，采取相应措施；测量前，采取相应措施；2 2 2 2）分析系统误差的具体数值和变化规律）分析系统误差的具体数值和变化规律）分析系
24、统误差的具体数值和变化规律）分析系统误差的具体数值和变化规律确定修正值；确定修正值；确定修正值；确定修正值；3 3 3 3）测量方法上消除或减小）测量方法上消除或减小）测量方法上消除或减小）测量方法上消除或减小更有效的测量方法（替代法、更有效的测量方法（替代法、更有效的测量方法（替代法、更有效的测量方法（替代法、差动法等）。差动法等）。差动法等）。差动法等）。多次测量求平均不能减少系统误差多次测量求平均不能减少系统误差 20传感器与测试技术第一章：测试的基础知识1.3.21.3.2粗大误差的判断和剔除粗大误差的判断和剔除：明显与事实不符的异常值明显与事实不符的异常值 歪曲测量结果歪曲测量结果
25、剔除剔除1 1 1 1、判别方法、判别方法、判别方法、判别方法1 1）物理判别法物理判别法物理判别法物理判别法测量过程中测量过程中测量过程中测量过程中人为因素（读错、记录错、操作错）人为因素（读错、记录错、操作错）不符合实验条件不符合实验条件/ /环境突变（突然振动、电磁干扰等）环境突变（突然振动、电磁干扰等）随时发现，随时剔除随时发现，随时剔除 重新测量重新测量 2 2 2 2）统计判别法）统计判别法）统计判别法）统计判别法测量完毕测量完毕测量完毕测量完毕统计方法处理数据统计方法处理数据-超过超过误差限误差限-判为异常值判为异常值-剔除剔除在一定的置信概率下确定的置信区间在一定的置信概率下确
26、定的置信区间21传感器与测试技术第一章：测试的基础知识2 2 2 2、剔除准则、剔除准则、剔除准则、剔除准则1 1） 拉依达准则（拉依达准则（3 3 准则）准则）测量值的残余误差的绝对值测量值的残余误差的绝对值 | | | 3| 3 坏值坏值 剔除剔除计算算术平均值计算算术平均值x残余误差残余误差均方误差均方误差 剔除坏值剔除坏值2)2)格罗布斯准则格罗布斯准则测量值的残余误差的绝对值测量值的残余误差的绝对值| | | | g g( ( ,n,n) ) 坏值坏值剔剔除除 g g( ( ,n,n) ) 由重复测量次数由重复测量次数n n及置信概率及置信概率P P查表确定查表确定例例1 11 1：
27、P15P15（粗大误差的判断和剔除）（粗大误差的判断和剔除）22传感器与测试技术第一章：测试的基础知识1.3.31.3.3测量数据的表示方法测量数据的表示方法：1 1 1 1、表格法、表格法、表格法、表格法简单、方便，数据易于参考比较简单、方便，数据易于参考比较简单、方便，数据易于参考比较简单、方便，数据易于参考比较 ，但对数据变化的趋势不如，但对数据变化的趋势不如，但对数据变化的趋势不如，但对数据变化的趋势不如图示法明了和直观，列表法是图示法和经验公式法的基础。图示法明了和直观，列表法是图示法和经验公式法的基础。图示法明了和直观，列表法是图示法和经验公式法的基础。图示法明了和直观，列表法是图
28、示法和经验公式法的基础。 2 2 2 2、图示法、图示法、图示法、图示法形象、直观，从图形中可直观地看出函数的变化规律，如递形象、直观，从图形中可直观地看出函数的变化规律，如递形象、直观，从图形中可直观地看出函数的变化规律，如递形象、直观，从图形中可直观地看出函数的变化规律，如递增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等。增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等。增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等。增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等。 作图时采用直角坐标或极座标，连接成光滑曲线，并尽作图时采用直角坐标或极座标，连接成光滑曲线，并尽作图时采用直角坐标或极
29、座标，连接成光滑曲线，并尽作图时采用直角坐标或极座标，连接成光滑曲线，并尽量使曲线于所有点接近，不强求通过各点，要使位于曲线两边量使曲线于所有点接近，不强求通过各点，要使位于曲线两边量使曲线于所有点接近，不强求通过各点，要使位于曲线两边量使曲线于所有点接近，不强求通过各点，要使位于曲线两边的点数尽量相等；的点数尽量相等；的点数尽量相等；的点数尽量相等； 坐标比例尺的选取，应反映极值和曲线的变化趋势等。坐标比例尺的选取，应反映极值和曲线的变化趋势等。坐标比例尺的选取，应反映极值和曲线的变化趋势等。坐标比例尺的选取，应反映极值和曲线的变化趋势等。23传感器与测试技术第一章：测试的基础知识3 3 3
30、 3、经验公式法、经验公式法、经验公式法、经验公式法数学模型数学模型数学模型数学模型经验公式法就是通过对实验数据的计算，采用数理统计的方经验公式法就是通过对实验数据的计算，采用数理统计的方经验公式法就是通过对实验数据的计算，采用数理统计的方经验公式法就是通过对实验数据的计算，采用数理统计的方法，使用数学表达式表示各变量之间关系法，使用数学表达式表示各变量之间关系法，使用数学表达式表示各变量之间关系法，使用数学表达式表示各变量之间关系回归方程。回归方程。回归方程。回归方程。 一元线性一元线性回归回归一元非线一元非线性回归性回归多元线性多元线性回归回归多元非线多元非线性回归性回归变量个数变量个数1
31、111方次方次1111y=a+bx 有些一元非线性回归可采用变量代换，将其转化为线有些一元非线性回归可采用变量代换，将其转化为线有些一元非线性回归可采用变量代换，将其转化为线有些一元非线性回归可采用变量代换，将其转化为线性回归方程来解。性回归方程来解。性回归方程来解。性回归方程来解。24传感器与测试技术第一章：测试的基础知识建立经验公式的步骤：建立经验公式的步骤：1 1 1 1）在适当的坐标系中，把数据点）在适当的坐标系中，把数据点）在适当的坐标系中，把数据点）在适当的坐标系中，把数据点( ( ( (x x x xi i i i,y,y,y,yi i i i i i i i=1,2,=1,2,
32、=1,2,=1,2,n),n),n),n)描绘成测描绘成测描绘成测描绘成测量曲线。量曲线。量曲线。量曲线。 2 2 2 2）分析描绘的曲线，确定公式）分析描绘的曲线，确定公式）分析描绘的曲线，确定公式）分析描绘的曲线，确定公式y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)的基本形式的基本形式的基本形式的基本形式直线，可用一元线性回归方法确定直线方程直线，可用一元线性回归方法确定直线方程直线，可用一元线性回归方法确定直线方程直线，可用一元线性回归方法确定直线方程；曲线，先将该曲线方程变换为直线方程，再按一元曲线，先将该曲线方程变换为直线方程，再按一元曲线，先将该曲线方程变换为直线方程，再按一元
33、曲线，先将该曲线方程变换为直线方程，再按一元线性回归方法处理；线性回归方法处理；线性回归方法处理；线性回归方法处理；曲线类型未知，按曲线多项式回归方程处理曲线类型未知，按曲线多项式回归方程处理曲线类型未知，按曲线多项式回归方程处理曲线类型未知，按曲线多项式回归方程处理 3 3 3 3）由测量数据确定拟合方程（公式）中的常量。）由测量数据确定拟合方程（公式）中的常量。）由测量数据确定拟合方程（公式）中的常量。）由测量数据确定拟合方程（公式）中的常量。 25传感器与测试技术第一章：测试的基础知识4)4)4)4)检验所确定的方程的准确性检验所确定的方程的准确性检验所确定的方程的准确性检验所确定的方程
34、的准确性 用测量数据中的自变量代入拟合方程计算出函数值用测量数据中的自变量代入拟合方程计算出函数值用测量数据中的自变量代入拟合方程计算出函数值用测量数据中的自变量代入拟合方程计算出函数值yyyy计算拟合残差计算拟合残差计算拟合残差计算拟合残差计算拟合曲线的标准偏差计算拟合曲线的标准偏差计算拟合曲线的标准偏差计算拟合曲线的标准偏差拟合精度拟合精度拟合精度拟合精度式中：式中：式中：式中：mm为拟合曲线未知数个数，为拟合曲线未知数个数，为拟合曲线未知数个数，为拟合曲线未知数个数，n n为测量数据列长度。为测量数据列长度。为测量数据列长度。为测量数据列长度。 如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式
35、有错误，如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式有错误，如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式有错误，如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式有错误，应建立另外形式公式重做。应建立另外形式公式重做。应建立另外形式公式重做。应建立另外形式公式重做。26传感器与测试技术第一章：测试的基础知识1.3.41.3.4一元线性回归一元线性回归 用一个直线方程用一个直线方程用一个直线方程用一个直线方程y=a+bxy=a+bxy=a+bxy=a+bx来表达测量数据来表达测量数据来表达测量数据来表达测量数据( ( ( (x x x xi i i i,y,y,y,yi i i i i i i i=1,2,
36、=1,2,=1,2,=1,2,n),n),n),n)之之之之间的相互关系，求出间的相互关系，求出间的相互关系，求出间的相互关系，求出a a a a和和和和b b b b，确立拟合方程即为一元线性回归，确立拟合方程即为一元线性回归，确立拟合方程即为一元线性回归，确立拟合方程即为一元线性回归。 1.1.1.1.端点法端点法端点法端点法 将测量数据中两个端点，起点和终点（即最大量程点）的测将测量数据中两个端点，起点和终点（即最大量程点）的测量值（量值（x x1 1,y,y1 1）和（）和（x xn n,y,yn n），代入），代入y=a+bx y=a+bx ，则，则a,ba,b分别为分别为 27传感
37、器与测试技术第一章：测试的基础知识2.2.2.2.平均法平均法平均法平均法 将全部将全部将全部将全部n n n n个测量值个测量值个测量值个测量值 ( ( ( (x x x xi i i i,y,y,y,yi i i i i i i i=1,2,=1,2,=1,2,=1,2,n),n),n),n)分成数目大致相同分成数目大致相同分成数目大致相同分成数目大致相同的两组，前半部的两组，前半部的两组，前半部的两组，前半部k k k k个测量点为一组，其余的个测量点为一组，其余的个测量点为一组，其余的个测量点为一组，其余的n-kn-kn-kn-k个测量点为另个测量点为另个测量点为另个测量点为另一组，两
38、组测量点都有自己的一组，两组测量点都有自己的一组，两组测量点都有自己的一组，两组测量点都有自己的“ “点系中心点系中心点系中心点系中心” ”，其坐标分别为，其坐标分别为，其坐标分别为，其坐标分别为 通过两个通过两个通过两个通过两个“ “点系中心点系中心点系中心点系中心” ” 的直线即是拟合直线的直线即是拟合直线的直线即是拟合直线的直线即是拟合直线y=a+bxy=a+bxy=a+bxy=a+bx，其中其中其中其中a a a a，b b b b分别为：分别为：分别为：分别为：28传感器与测试技术第一章：测试的基础知识3.3.3.3.最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法重要！重要！重要！重要！
39、基本原理：残差平方和为最小的条件下，求出最佳直线基本原理：残差平方和为最小的条件下，求出最佳直线基本原理：残差平方和为最小的条件下，求出最佳直线基本原理：残差平方和为最小的条件下，求出最佳直线 测量数据中的任何一个数据测量数据中的任何一个数据测量数据中的任何一个数据测量数据中的任何一个数据y y y yi i i i与拟合直线上与拟合直线上与拟合直线上与拟合直线上y=a+bxy=a+bxy=a+bxy=a+bx对应的理对应的理对应的理对应的理想值想值想值想值y y y yi i i i 之残差之残差之残差之残差( ( ( (i i i i=1,2,=1,2,=1,2,=1,2,n n n n
40、为测量点数）为测量点数）为测量点数）为测量点数） 求求求求a a a a和和和和b b b b的偏导数，并令其为零，即可解得的偏导数，并令其为零，即可解得的偏导数，并令其为零，即可解得的偏导数，并令其为零，即可解得a a a a和和和和b b b b的值。的值。的值。的值。29传感器与测试技术第一章：测试的基础知识例：量程为例：量程为例：量程为例：量程为10Mpa10Mpa10Mpa10Mpa的压力传感器所测量点的输出值列于的压力传感器所测量点的输出值列于的压力传感器所测量点的输出值列于的压力传感器所测量点的输出值列于下表中。试用端点法、平均选点法和最小二乘法拟合下表中。试用端点法、平均选点法
41、和最小二乘法拟合下表中。试用端点法、平均选点法和最小二乘法拟合下表中。试用端点法、平均选点法和最小二乘法拟合线性方程，并计算各种拟合方程的拟合精度。线性方程，并计算各种拟合方程的拟合精度。线性方程，并计算各种拟合方程的拟合精度。线性方程，并计算各种拟合方程的拟合精度。压力压力（MPa）246810输出输出（mV）10.04320.09330.13540.12850.072最小二乘法精确度最高，平均法次之，端点法较差最小二乘法精确度最高，平均法次之，端点法较差 计算结果见下页表计算结果见下页表30传感器与测试技术第一章：测试的基础知识压力压力MPa输出输出mV端点法端点法平均法平均法最小二乘法最
42、小二乘法理想直线理想直线残差残差理想直线理想直线残差残差理想直线理想直线残差残差210. .04310.0440. .00110. .950. .05210. .0800. .0337420. .09320. .0520. .04120. .0970. .00420. .0900. .003630. .13530. .0600. .09330. .0990. .05430. .1000. .053840. .12840. .0680. .06040. .1010. .02740. .1100. .0181050. .07250. .0680. .00450. .1030. .03150. .1200. .048拟合直线方程拟合直线方程拟合误差拟合误差0. .0680. .0490. .048计算结果：计算结果：y=0.036+5.004xy=0.093+5.001xy=0.070+5.005x31传感器与测试技术第一章：测试的基础知识本章小结：本章小结：1.1.测试的基本概念（测试系统的组成）测试的基本概念（测试系统的组成） 2.2.测量误差基本理论（评定及其结果表达）测量误差基本理论（评定及其结果表达）3.3.测量数据处理（一元线性回归测量数据处理（一元线性回归最小二乘法）最小二乘法）32传感器与测试技术第一章：测试的基础知识
