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1、空间两点间的距离空间两点间的距离已知长方体的长、宽、高分别是已知长方体的长、宽、高分别是a、b、c,则对角线的长为:,则对角线的长为:abclABCDD1C1B1A1复习回顾:复习回顾:问题问题1:在平面直角坐标系中:在平面直角坐标系中,A(x1,y1)、B(x2,y2)两点间的距离两点间的距离?xyA(x1,y1)B(x2,y2) C一、问题引入一、问题引入给出空间两点给出空间两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)可否类比得到一个距离公式?可否类比得到一个距离公式?(1)特殊情况:特殊情况:若两点分别为若两点分别为:P1(x1,y1,z1),O(0,0,0)xyzOP1(x1
2、,y1,z1)OBCDx1y1z1二、建构数学二、建构数学1.空间两点间的距离空间两点间的距离:一般情况:一般情况:1.空间两点间的距离空间两点间的距离:二、建构数学二、建构数学特殊地:特殊地:若两点分别为若两点分别为记忆方法:记忆方法:同名坐标差的平方和的算术根同名坐标差的平方和的算术根.问题问题2:平面上两点:平面上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)则线段则线段P1P2中点中点M的坐标为的坐标为( ).那么空间两点那么空间两点 P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2) 、则线段则线段P1P2中点中点M的坐标为的坐标为 例例1.(1)求空间求空间P1(3,-2,5)、P2(
3、6,0,-1) 两点之间的距离两点之间的距离.三、例题分析三、例题分析变式变式1:求:求P1关于关于P2的对称点的对称点P的坐标的坐标;变式变式2:已知平行四边形:已知平行四边形ABCD的顶点的顶点A(4,1,3), B(2,5,1), C(3,7,5),求顶点求顶点D的坐标。的坐标。(2).若空间中两点若空间中两点P1(x,2,3)和和P2(5,4,7)的距离为的距离为6,则,则x的值为的值为_.变式变式2.在在xoy平面内的直线平面内的直线x+y=1上确定一上确定一点点M,使,使M到到N(6,5,1)的距离最小的距离最小.变式变式1.给定空间直角坐标系中,在给定空间直角坐标系中,在x轴上轴
4、上找一点找一点P,使它与点,使它与点P0(4,1,2) 距离为距离为 例例2.平面到坐标原点的距离为平面到坐标原点的距离为1的点的轨迹的点的轨迹是单位圆,其方程为是单位圆,其方程为x2+y2=1; 那么,在空间中到坐标原点的距离为那么,在空间中到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么?试写出它的方程的点的轨迹是什么?试写出它的方程.三、例题分析三、例题分析解:与坐标原点的距离为解:与坐标原点的距离为1的点的点P(x,y,z)的轨迹是一个球面,满足的轨迹是一个球面,满足OP=1,即即 x2+y2+z2=1球面方程为:球面方程为:x2+y2+z2=1注意:轨迹与轨迹方程的区别!注意:轨迹与轨迹方程的区
5、别!练习练习1.1.在空间直角坐标系中,方程在空间直角坐标系中,方程 x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=r=r2 2(r0r0为常数)表示什为常数)表示什么图形是什么?么图形是什么? O Ox xy yz zP P 例例2. 在空间中到坐标原点的距离为在空间中到坐标原点的距离为1的点的点的轨迹是什么?试写出它的方程的轨迹是什么?试写出它的方程.三、例题分析三、例题分析变式变式1:点点(x,y,z)满足满足则点的轨迹表示的图形是则点的轨迹表示的图形是_变式变式2:求到两点求到两点A(2,3,0),B(3,5,1)距离相等的距离相等的点的坐标点的坐标P(x,y,z)满足什么条件及表示什么满
6、足什么条件及表示什么图形图形?以以(1,1,-1)为球心,为球心,4为半径的球面为半径的球面中垂面中垂面例例2.平面上到坐标原点的距离为平面上到坐标原点的距离为1的点的轨的点的轨迹是单位圆,其方程为迹是单位圆,其方程为x2+y2=1; 在空间中,到坐标原点的距离为在空间中,到坐标原点的距离为1的点的点的轨迹是什么?试写出它的方程的轨迹是什么?试写出它的方程思考思考1:在空间中在空间中,A点的坐标为点的坐标为(1,2,4),问问满足条件满足条件|PA|=5的点的点P的轨迹是什么?的轨迹是什么? 练练.解释方程解释方程(x-12)2+(y+3)2+(z-5)2=36的几的几何意义。何意义。思考思考
7、2:在平面在平面xoy中中,A点的坐标为点的坐标为(1,2,0),问满足条件问满足条件|PA|=5的点的点P的轨迹是什么?的轨迹是什么? 例例2 例例3.(1)已知已知A(1,-2,11), B(4,2,3), C(6,-1,4),求证:求证:ABC为直角三角形为直角三角形; (2)已知已知A(-1,0,1), B(2,4,3), C(5,8,5),求证:求证:A、B、C三点共线三点共线.三、例题分析三、例题分析小结:距离公式的应用小结:距离公式的应用判断(证明)三角形的形状;判断(证明)三角形的形状;证明三点共线。证明三点共线。例例4.如图正四棱锥如图正四棱锥S-ABCO中中,底面边长为底面
8、边长为4,侧棱与底面成侧棱与底面成60角角, P、Q分别是分别是BO、SC的中点的中点,求求PQ的长的长.OzxyABCQSP460zxyABCOA1D1C1B1PP练习练习1 1: :如图,棱长为如图,棱长为1 1的正方体的正方体OABC-DOABC-D1 1A A1 1B B1 1C C1 1中,中,对角线对角线OBOB1 1于于BDBD1 1相交于点相交于点P.P.顶点顶点O O为坐标原点,为坐标原点,OAOA,OCOC分别在分别在x x轴、轴、y y轴的正半轴上轴的正半轴上. .试写出点试写出点P P的坐标的坐标. .练习练习2 2. .三个平面两两垂直,它们的三条交线交三个平面两两垂
9、直,它们的三条交线交于一点于一点O O,P P到三个平面的距离分别是到三个平面的距离分别是6 6,8 8,1010,则,则OPOP的长为的长为_._.OACDBAPCO.Pxyz668810101.P(1,2,-2)和和Q(-1,0,-1)的距离是的距离是_3.给定空间直角坐标系,在给定空间直角坐标系,在x轴上找一点轴上找一点P,使它与点,使它与点P0(4,1,2) 距离为距离为 .2.设设A(3,3,1) , B(1,-1,5), C(0,1,0),则则AB的的中点中点M到到C的距离为的距离为_.四、课堂练习四、课堂练习(9,0,0)或或(-1,0,0)34.已知已知:A在在y轴上轴上,点点
10、B(1,2,0),且且 则点则点A的坐标为的坐标为_. 5.已知三角形已知三角形ABC 的三个顶点为的三个顶点为A(2,-1,4),B(3,2,-6), C(5,0,2),则则BC边上的中线长为边上的中线长为_.四、课堂练习四、课堂练习6.直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1,底面底面ABC中,中,CA=CB=1,BCA=90,棱棱AA1=2,MN分分别是别是A1B1、A1A的中点,求的中点,求MN的长。的长。四、课堂练习四、课堂练习课堂小结:课堂小结:(一)知识:(一)知识:1.空间两点间的距离公式、中点坐标公式空间两点间的距离公式、中点坐标公式;2.距离公式、中点坐标公式的应用距离公式、中点坐标公式的应用.(二)思想方法:(二)思想方法:数形结合、类比思想、构造法等数形结合、类比思想、构造法等