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1、优秀学习资料欢迎下载因式分解精读定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。理解因式分解的要点：1 是对多项式 进行因式分解； 2 每个因式必须是 整式；3 结果是积的形式； 4 各因式要分解到不能再分解为止。因式分解和整式乘法的关系。1分解因式技巧掌握：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式分解因式的结果必须是以乘积的形式表示每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。例 1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（5 个式子均不是）（1）1122yxyxyx；（2
2、）2122xxxx；（3）232236xyxyyx；分解因式的方法：（5）.96962xxxyyxyyx（6） （4）221ayxaxyyx；1. 提公因式法 形如 mambmcm abc()2. 运用公式法 平方差公式：ababab22()()，完全平方公式：aabbab2222()2222222abcabbccaabc3. 十字相乘法xpq xpqxpxq2()()()22apq abp qbapbaqb4. 分组分解法（适用于四次或四项以上，分组后能直接提公因式分组后能直接运用公式） 。提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式：第一步找公因式可按照确定公因式的方
3、法先确定系数再确定字母第二步提公因式并确定另一个因式， 注意要确定另一个因式， 可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载下的另一个因式提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。确定公因式的一般步骤（1）如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“- 提取。（2）取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。1.
4、把下列各多项式的公因式填写在横线上。 (1)x2-5xy _ (2)-3m2+12mn _ (3)12b3-8b2+4b _ (4)-4a3b2-12ab3 _ (5)-x3y3+x2y2+2xy _ 2. 在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( ) (2)8x2y-12xy3=4xy( ) (3)9m3+27m2=( )(m+3) (4)-15p4-25p3q=( )(3p+5q) (5)2a3b-4a2b2+2ab3=2ab( ) (6)-x2+xy-xz=-x( ) (7)21a2-a=21a( ) 3、因式分解（ 本题只给出最后答案 ）(1) ;823x
5、x2 (2)(2)x xx(2) .9622224yyxyx222(3)yx(3) ;6363223abccabaa3 ()(2 )a ac ab(4) .4222222acbcb()()()()bca bcabca bca(5) 121164nnaba=14(2 )(2 )naba ba(6) ;361222422yxyyyx2(6)(6)yxyxy(7) .2939622yxyxyx(31)(32)xyxy例 3、因式分解（ 本题只给出答案 ）1、;742 xx=(3)(5)xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页
6、优秀学习资料欢迎下载2、;563412422xxxx22(44)(45)xxxx3、566321xxxx22(44)(45)xxxx4、.566)67(22xxxx22(44)(45)xxxx小结：1、因式分解的意义左边= 右边多项式整式整式（单项式或多项式）2、因式分解的一般步骤第一步提取公因式法第二步看项数1 两项式：平方差公式2 三项式：完全平方公式、十字相乘法3 四项或四项以上式： 分组分解法3、多项式有因式乘积项 展开 重新整理 分解因式因式分解练习：1、;25942nm22(35)(35)mnmn2、;4482aa24(21)aa24(21)aa24(1)a3、;44yxyx222
7、2()() ()() xyxyxyxy22(22) 4xyxy228()xy xy4、;12222cbaab222(2)aabbc22()abc()()cab cab5、;2222bacddcab2222abcabdcdacdb2222()()abccdaabdcdb()()ac bcadbd adbc()()bcadacbd6、;4215322222yaxyaxa2223(514)axxyy23(2 )(7 )axyxy7、;186323babbaba32(6)(318 )a baba bb22(6)3 (6)ab ab a2(6)(3)b aa8、.41422aba22( 414)aab精
8、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载22(21)ab(21)(21)baba9、.20158122aaa(1)(1)(3)(5)20aaaa(1)(3)(1)(5)20aaaa22(43)(45)20aaaa222(4 )2(4 )1520aaaa222(4 )2(4 )35aaaa22(45)(47)aaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载因式分解强化练习答案1.填写下列各式的空缺项，使它能用完全平方
9、公式分解因式。(1) 221()36136xxx(2) 2229(4)6329314xyxxyy(3) 224914(7)aaa(4) 2236369(3 )6bbb(5) 22()18)66(4xyxyxy2.选择(1) 用分组分解法把4221aaa分解因式，正确的分组方法是：（ D ）A. 42()(21)aaaB. 42(2 )(1)aaaC. 42(1)(2 )aaaD. 42(21)aaa(2) 多项式2xaxbxab可分解因式为（C ）A. ()()xaxbB. ()()xaxbC. ()()xaxbD. ()()xa xb(3) 计算)1011)(911 ()311)(211 (
10、2232的值是（D ）A. 12B. 120C. 110D. 1120(4) 将22233xxyxy分解因式，结果是（B ）A. (1)(3 )xxyB. 2(1)(3)xxyC. 2(1)(3)xxyD. 22(1)(3)xxy3.填空(1) 若多项式243()()xxxmxn，则 m= -1，n= -3。(2) 210(12)(24)2xxxx(3) 2295)(32(14)xxyyxx(4) 2_21xx，给 x 添加系数，使该式可以十字相乘。答案： 10，-10，22，-22 (5) 22244xxyya分组后，先用 完全平方公式分解，再用 平方差公式 分解。精选学习资料 - - -
11、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载(6) ()()xa xbk中有因式x+b，则 k=2b(a+b)。4.应用因式分解计算(1) 299899801629981099816(9982)(9988)1006000(2) 9879879879871232644565251368136813681368987(123 264456525)1368987136898713685.因式分解(1) 42109xx=22(1)(9)xx=(1)(1)(3)(3)xxxx(2) 327()5()2()xyxyxy=2() 7()5()2x
12、yxyxy=() ()1 7()2xyxyxy=()(1)(772)xyxyxy(3) 222(8 )22(8 )120aaaa=22(810)(822)aaaa(4) 222241xyx yxy=2222(2)(21)xyxyx yxy=22()(1)xyxy=(1)(1)xyxyxyxy(5) (1)(2)(3)(4)48xxxx=(1)(4) (2)(3)48xxxx=22(54)(56)48xxxx=222(5 )10(5 )2448xxxx=222(5 )10(5 )24xxxx=22(512)(52)xxxx(6) 2222abbcc=222(2)abbcc=22()abc=()(
13、)abc abc(7) 322288aa bba22()4 () aabab22 () (4 )aba2 () (2 ) (2abaa(8) 3223636xx yx zxyz23(22)x xx yx zy z3(2)(2 )x x xyz xy3(2) ()x xyxz(9) 222432aabbbcc2222(44)(2)aa bbbb cc22(2 )()abbc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载(2) (2)abbcabbc(10) 222212xyzyzx222(21)(2)xxyzy
14、 z22(1)()xyz(1) (1)xyzxyz(11) 2269103025xxyyxy22(69)(1030 )25xxyyxy2(3)1 0 (3)2 5xyxy2 (3)5 xy2(35 )xy(12) 2222aa bababb2222()()()aa ba babb2(1)(1 ) (1 )(1)aba bbbb2(1) (1 )baa bb(1) (1) (baab(13) 43364xxx4322(32)( 264 )xxxxx222(32 )2 (32 )xxxxx22(2)(32)xxx(14) 222222()4abcb c222222(2) (2)abcb cabcb
15、 c222222(2) (2) abcb cabcb c2222() () abcabc() () () (abcabcabcabc(15) 2()4(1)xyxy2()4 ()4xyxy22()2(2)xyxy(16) 444xy42242444xx yyx y22222(2)4xyx y2222(22) (22)xyx yxyx y6.已知2(1)()1a aab，求222abab的值。解：222(1)()1a aabaaabab所以1ab222abab2222()1222ababab7.设 n 为整数，用因式分解说明2(21)25n能被 4 整除。精选学习资料 - - - - - - -
16、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载解：2(21)25n(215)(215)(26)(24)nnnn4(3)(2)nn4 是2(21)25n的一个因式，所以能被4 整除。8.在六位数abcdef 中， a=d, b=e, c=f, 求证这个六位数必能被7、11、 13 整除。解： abcdef=100000a+10000b+1000c+100d+10e+f 因为 a=d, b=e, c=f, 所以 abcdef=100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c =100100a + 10010b + 10
17、01c = 1001(100a+10b+c) = 711 13(100a+10b+c) 所以这个六位数能被7、 11、13 整除。9.已知 a, b, c 为三角形的三边， 且满足2220abcabbcac， 试说明该三角形是等边三角形。解：2222()0abcabbcac222222(2)(2)(2)0ababacacbcbc222()()()0abacbc0ab0ac0bc所以 a=b, a=c, b=c 即 a=b=c 所以该三角形是等边三角形。10. 小明曾作出判断，当k 为正整数时，5354kkk一定能被120整除，你认为小明的判断正确吗？说说你的理由。解：53422254(54)(
18、1)(4)kkkk kkk kk(1)(1)(2)(2)k kkkk因式分解的结果说明5354kkk是 5 个连续正整数的乘积，5 个连续的正整数中必然包括5，也必然包括3 或 3 的倍数（ 6、 9） ，必然包括4 或 4 的倍数（ 8） ，还必然有至少2 个偶数，所以5、 3、4、2 是5354kkk的因子， 5 3 4 2=120，所以5354kkk一定能被 120 整除。补充题：计算 (22 + 42 + 62 + +20002)(12 + 32 + 52 + +19992). 解：平方差公式原式 =(2212)+( 4232)+( 6252)+.+( 2000219992) = 3 + 7 + 11 + + 3999（首尾相加， 共有 500 个 4002）= 4002 500 = 2001000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
