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1、人教版八年级数学(上)11.3.1角平分线角平分线的性质（的性质（2）ADBCE角平分线的判定角平分线的判定 我们知道，角的平分线上的点到角的两边我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那么反过来，到一个角的两的距离相等，那么反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？分线上呢？已知：如图已知：如图,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，QDQDQEQE求证：点求证：点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上【课题引入课题引入】【探究新知探究新知】活动一：活动一：要在区建一个集贸市场，使它到公
2、路，铁路距离要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺处？（比例尺 1：20 000）公路铁路应建在两条路所组成的夹角的平分线上应建在两条路所组成的夹角的平分线上公路铁路公路理论依据理论依据是什么？是什么？证明证明: QD OA，QE OB（已知），（已知）， QDOQEO90（垂直的定义）（垂直的定义）在在Rt QDO和和Rt QEO中中 QOQO（公共边）（公共边） QD=QE Rt QDO Rt QEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QD
3、QE求证：点Q在AOB的平分线上角平分线的判定定理角平分线的判定定理:到角的两边的到角的两边的距离相等距离相等的点的点在在角的平分线上角的平分线上。 QDOAQDOA，QEOBQEOB，QDQDQEQE点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上用数学语言表示为：X应用角平分线性质定理的逆定理应用角平分线性质定理的逆定理ABOQMN1判断题：判断题： （1）如图，若）如图，若QM = =QN，则，则OQ 平分平分AOB；( )( )X应用角平分线性质定理的逆定理应用角平分线性质定理的逆定理ABOQMN 1判断题：判断题： （2）如图，若）如图，若QMOA 于于M，QNOB 于于N，则，则OQ
4、是是AOB 的平分线；的平分线； ( )( ) 应用角平分线性质定理的逆定理应用角平分线性质定理的逆定理ABOQMN 1判断题：判断题： （3）已知：）已知：Q 到到OA 的距离等于的距离等于2 cm， 且且Q 到到OB 距离等于距离等于2 cm，则，则Q 在在AOB 的平分线上的平分线上( )( ) 问题问题1如图，要在如图，要在S 区建一个广告牌区建一个广告牌P，使它到，使它到 两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上应建于何处（在图上 标出它的位置，比例尺为标
5、出它的位置，比例尺为1：20 000）？）？ S引言引言应用角平分线性质定理的逆定理应用角平分线性质定理的逆定理2在问题在问题1中，在中，在S 区建一个广告牌区建一个广告牌P，使它到两，使它到两条公路的距离相等条公路的距离相等 （1） 这个广告牌这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可应建于何处？这样的广告牌可 建多少个？建多少个？ S应用角平分线性质定理的逆定理应用角平分线性质定理的逆定理S2在问题在问题1中，在中，在S 区建一个广告牌区建一个广告牌P，使它到两，使它到两条公路的距离相等条公路的距离相等 （2） 若这个广告牌若这个广告牌P 离两条公路交叉处离两条公路交叉处500 m（在（在图
6、上标出它的位置，比例尺为图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌），这个广告牌 应建于何处？应建于何处？PABCMN应用角平分线性质定理的逆定理应用角平分线性质定理的逆定理2在问题在问题1中，在中，在S 区建一个广告牌区建一个广告牌P，使它到，使它到两两条公路的距离相等条公路的距离相等 （3）如图，点如图，点P是是ABC的两条角平分线的两条角平分线BM， CN 的交点，的交点， 点点P 在在BAC的平分线上吗？这说明三的平分线上吗？这说明三 角形的三条角平分线有什么关系？角形的三条角平分线有什么关系？ 应用角平分线性质定理的逆定理应用角平分线性质定理的逆定理问题问题3如图，要在
7、如图，要在S 区建一个广告牌区建一个广告牌P，使它到两，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等这个广告牌条公路和一条铁路的距离都相等这个广告牌P 应建在应建在 何处？何处？公路公路 公路公路 铁路铁路 S变式变式1如图，如图，ABC 的一个的一个外角的平分线外角的平分线BM 与与BAC的平分的平分线线 AN 相交于点相交于点P，求证：点，求证：点 P 在在ABC另一个外角的平分线上另一个外角的平分线上变式拓展变式拓展NABCPM变式变式2如图，如图，P 点是点是ABC 的两个外角平分线的两个外角平分线 BM，CN 的交的交点，求证：点点，求证：点 P 在在BAC 的平分的平分线上线上 变式拓展
8、变式拓展NABCPM变式变式3如图，将问题如图，将问题3中中“S 区区”去掉，广告牌去掉，广告牌P 到两条公路和一条铁路的距离相等这个广告牌到两条公路和一条铁路的距离相等这个广告牌P 应建应建在何处？在何处？公路公路 公路公路 铁路铁路 变式拓展变式拓展例例 已知：如图，已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P.P.求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等. .证明：过点证明：过点P P作作PD PD 、PEPE、PFPF分别垂直分别垂直于于ABAB、BCBC、CACA，垂足为垂足为D D、E E、F FBMBM
9、是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P P在在BMBM上上（已知）（已知）PD=PEPD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离在角平分线上的点到角的两边的距离相等）相等）同理同理 PE=PF.PE=PF. PD=PE=PF. PD=PE=PF.即点即点P P到边到边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等DEFABCPMN活动二活动二: :画一个任意三角形，并作出两个角的平分线，画一个任意三角形，并作出两个角的平分线，观察交点与这个三角形三边的距离，你发现了什么？观察交点与这个三角形三边的距离，你发现了什么？ABCPMNABCPMN问题1：PC是否平分ACB？问题2：三角形的
10、三条角的平分线有什么关系？结论：三角形的三条角的平分线相交于三角形内部一点，并且这一点到三角形三条边所在的直线的距离相等。. .如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分的平分线相交于点线相交于点F F，求证：点，求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：证明： 过点过点F F作作FGAEFGAE于于G G，FHADFHAD于于H H，FMBCFMBC于于M MG GH HM M点点F F在在BCEBCE的平分线上，的平分线上， FGAEFGAE， FMBCFMBCFGFGFMFM又又点点F F在在CBDCBD的平分线上，的平分线上， FHA
11、DFHAD， FMBCFMBCFMFMFHFHFGFGFHFH点点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上如图，如图，的的的外角的平分线的外角的平分线与与的外角的平分线相交于点求的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线证：点到三边，所在直线的距离相等的距离相等F FGH练一练练一练 1 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村条公路围成的一块平地上修建一个度假村. .要使这要使这个度假村到三条公路的距离相等个度假村到三条公路的距离相等, ,应在何处修建应在何处修建? ?到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE
