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1、24.2.2直线与圆的位置关系（直线与圆的位置关系（3）切线长定理切线长定理1中小学复习复习1、切线的判定定理、切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。线是圆的切线。2、切线的性质归纳、切线的性质归纳如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件。这三个条件是：么它一定满足第三个条件。这三个条件是：(1)过圆心；过圆心；(2)过切点；过切点；(3)垂直于切线。垂直于切线。BOABOA知二求一知二求一2中小学活活 动动 一一如图，纸上有一如图，纸上有一 O ，PA为为 O的一条
2、切线，的一条切线，沿着直线沿着直线PO对折，设圆上与点对折，设圆上与点A重合的点为重合的点为B。1、OB是是 O的一条半径吗？的一条半径吗？2、PB是是 O的切线吗？的切线吗？OPAOPAB经过圆外一点，可以经过圆外一点，可以做圆的做圆的 条切线条切线23中小学OPAB经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。这点到圆的切线长。切线长概念切线长概念如右图，线段如右图，线段PA，PB叫做点叫做点P到到 O的切的切线长，对吗？线长，对吗？想一想：想一想：切线和切线长是一回事么？切线和切线长是一回事么？4中小学(1)
3、切线切线是一条与圆相切的直线，不能度量是一条与圆相切的直线，不能度量.(2)切线长切线长是一条线段的长，它是一个数量是一条线段的长，它是一个数量, 可以度量可以度量.OPAB注意：注意：切线和切线长是两个不同的概念切线和切线长是两个不同的概念概念辨析概念辨析5中小学活活 动动 二二如图，纸上有一如图，纸上有一 O ，PA为为 O的一条切线，的一条切线，沿着直线沿着直线PO对折，设圆上与点对折，设圆上与点A重合的点为重合的点为B。利用图形轴对称性解释利用图形轴对称性解释3、PA、PB有何关系？有何关系？4、 APO和和 BPO有何关系？有何关系？OPAOPABPA=PB APO= BPO6中小学
4、OPAB推理论证推理论证已知：从已知：从 O外的一点外的一点P引两条切线引两条切线PA， PB，切点分别是，切点分别是A、B.求证：求证： AP=BP， OPA= OPB证明：连接证明：连接OA，OB PA，PB与与 O相切，相切，点点A，B是切点是切点OA PA，OB PB 即即 OAP= OBP=90 OA=OB，OP=OP Rt AOP Rt BOP(HL) PA = PB OPA= OPB7中小学切线长定理切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的们的切线长相等切线长相等，这一点和圆心的连线，这一点和圆心的连线平平分两条切线的夹角分两条切线的夹角。
5、PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB符号语言符号语言:归纳归纳：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相等角相等提供新的方法提供新的方法BOPA8中小学应用新知应用新知1、判断、判断（1）过一点可以做圆的两条切线。（）过一点可以做圆的两条切线。（ ）（2）切线长就是切线的长。（）切线长就是切线的长。（ ）2、已知、已知PA、PB与与 O相切相切于点于点A、B， O的半径为的半径为2（1）若四边形）若四边形OAPB的周的周长为长为10，则，则PA= 。（2）若）若APB=60，则则PA= 。OPAB3223049中小学已知：已知：PAPA、PBPB分别
6、与分别与 O切于点切于点AB，连接，连接AB交交OP于于点点M，那么，那么OPOP除了平分除了平分APBAPB以外，还有什么作用？以外，还有什么作用？请说明理由。请说明理由。(1)OP垂直平分垂直平分AB思考思考(3)OP平分平分AOB即即 OP AB，AM=BM即即 AOP= BOP(2)OP平分平分 和和ACBAB切线长定理为证明切线长定理为证明线段相线段相等，角相等，弧相等，垂等，角相等，弧相等，垂直关系直关系提供了理论依据。提供了理论依据。APOBMC CD D10中小学（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连接圆心和切点）分别连接圆心和切点
7、在解决有关圆的切线长在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们问题时，往往需要我们构建基本图形。构建基本图形。归纳：作辅助线方法归纳：作辅助线方法APOBM11中小学练习：练习：PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点，为切点，直线直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C。ABPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（2）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（3）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB12中小学 例：如图，例：如
8、图，PAPA、PBPB分别切分别切 O O于于A A、B B， CDCD与与O O切于点切于点E E，分别交，分别交PAPA，PBPB于于C C、D D，已知，已知PA=7cmPA=7cm，求，求PCDPCD的周长的周长C OPBDAE证明：证明： PA PA、DCDC为为O O的切线的切线 DA=DE DA=DE （切线长定理切线长定理） 同理可证同理可证 CE=CBCE=CB，PA=PBPA=PB又又C CPCDPCD=PD+PC+CD=PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE =PD+PC+DE+CE =PA+PB =PA+PB =7+7 =7+7 =14 cm =14 cm 例题例题
9、13中小学 下图是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的下图是一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？用料，并且使圆的面积尽可能大呢？CABlCAB活活 动动 三三14中小学 假设符合条件的圆已经作出，那么它应当与三假设符合条件的圆已经作出，那么它应当与三角形的三边都相切，这个圆的圆心到三角形的距角形的三边都相切，这个圆的圆心到三角形的距离都等于半径，如何找到圆心？离都等于半径，如何找到圆心？CAB15中小学 三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，因此，如图，分别作出的距离相等，
10、因此，如图，分别作出B、C的平分线的平分线BM和和CN，设他们相交于点，设他们相交于点I，那么点，那么点I到到AB、BC、CA的距的距离都相等，以点离都相等，以点I为圆心，点为圆心，点I到到BC的距离的距离ID为半径做圆，为半径做圆，则则 I与与ABC的三条边都相切的三条边都相切.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的叫做三角形的内心内心.CABIDMNr与三角形各边都相切的圆叫做三角形的与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆，16中小学例例2 如图如图 ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于分别相切于点点D、E、
11、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF、BD、CE的长的长.解解: 设设 AF=x（cm），则），则AE=x，CD=CE=ACAE=13x，BD=BF=ABAF=9x，由由BD+CD=BC可得可得（13x）+（9x）=14.解得解得 x=4cm.因此因此 AF=4（cm），），BD=5 （cm），），CE=9 （cm）.CABEFOD活活 动动 四四17中小学变式：变式：如图，如图，RT ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相分别相切于点切于点D、E、F，且，且AB=5cm，BC=13cm，求，求ABC的内切圆的半径长？的内切圆的半径长？CABEFOD
12、直角三角形的两条直角边是直角三角形的两条直角边是a、b，斜边为，斜边为c.其内切圆的半径为：其内切圆的半径为：r=a+b-c/218中小学 1.如图，如图， ABC中中ABC=50 ACB=75，点点O是内心，求是内心，求BOC的读数的读数.解解 ：BOC=180 （ABC + ACB） =117.5 =180 （50+75）ACBO活活 动动 五五结论：结论： BOC= 90+1/2 A19中小学2. ABC的内切圆半径为的内切圆半径为r， ABC的周长为的周长为l，求，求ABC的面的面积积.（提示：设内心为（提示：设内心为O，连接，连接OA、OB、OC.）CABODMNrrr20中小学课堂小结课堂小结1、切线长概念、切线长概念经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。线段的长，叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。3 3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。等，垂直关系提供了理论依据。总结总结21中小学
