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1、第十一章第十一章 弯曲问题的进一步研究弯曲问题的进一步研究与组合变形与组合变形1 111-1 11-1 概述概述11-3 11-3 斜弯曲斜弯曲11-4 11-4 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲与弯曲 截面核心截面核心11-6 11-6 纵弯曲纵弯曲目目 录录11-2 11-2 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心11-5 11-5 弯曲与扭转弯曲与扭转2 211-1 11-1 概述概述我们曾在第四章介绍过平面弯曲的概念：我们曾在第四章介绍过平面弯曲的概念：纵向对称面纵向对称面对称轴对称轴梁变形后的轴线所在平梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重面与外力所在平面
2、相重合的这种弯曲称为合的这种弯曲称为平面平面弯曲弯曲。问题：问题：当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但外力的作用面与该纵向对称平面间有一夹角，则该梁发生什么变外力的作用面与该纵向对称平面间有一夹角，则该梁发生什么变形呢？形呢？3 3斜弯曲斜弯曲斜弯曲斜弯曲平面弯曲与扭转平面弯曲与扭转 工程中的许多受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形，工程中的许多受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形，称为称为组合变形。组合变形。轴向压缩和弯曲轴向压缩和弯曲轴向拉伸和扭转轴向拉伸和扭转偏心压缩偏心压缩（轴向压缩（轴向压缩和弯曲）和弯曲
3、）4 45 56 6水坝水坝qF7 7当组合变形是属于小变形的范畴时，且材料是在线弹性范围内工当组合变形是属于小变形的范畴时，且材料是在线弹性范围内工作，就可以利用作，就可以利用叠加法叠加法进行分析。进行分析。其其基本步骤基本步骤是：是：（1）将载荷分解，得到与原载荷等效的几组简单载荷，使构）将载荷分解，得到与原载荷等效的几组简单载荷，使构件在每组简单载荷作用下只产生一种基本变形。件在每组简单载荷作用下只产生一种基本变形。（2）分别计算构件在每种基本变形下的应力和位移。）分别计算构件在每种基本变形下的应力和位移。（3）将每种基本变形下的应力和位移叠加，就是组合变形的解。）将每种基本变形下的应力
4、和位移叠加，就是组合变形的解。本章讨论本章讨论斜弯曲斜弯曲、拉压与弯曲拉压与弯曲、弯曲与弯曲与扭转扭转等的组合变形情况等的组合变形情况8 811-2 11-2 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 一一 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲1. 对称截面梁的平面弯曲对称截面梁的平面弯曲zyCy、z为形心主轴为形心主轴xyz挠曲线M静力学条件静力学条件横截面不会绕横截面不会绕y轴转动，只会绕轴转动，只会绕z z轴转动，梁变形后的轴线一定位轴转动，梁变形后的轴线一定位于于xy平面内，与外力偶作用面共面，梁产生平面弯曲。平面内，与外力偶作用面共面，梁产生平面弯曲。9
5、 92. 非对称截面梁平面弯曲的条件非对称截面梁平面弯曲的条件xyzy、z为形心主轴为形心主轴平面弯曲平面弯曲非对称截面梁产生平面弯曲的条件：非对称截面梁产生平面弯曲的条件：当外力（包括外力偶和横当外力（包括外力偶和横向力）作用在梁的形心主惯性平面内（或作用在与形心主惯性向力）作用在梁的形心主惯性平面内（或作用在与形心主惯性平面平行的平面内）时，梁将产生平面弯曲。平面平行的平面内）时，梁将产生平面弯曲。1010二二 开口薄壁截面弯曲中心开口薄壁截面弯曲中心上述两个剪力上述两个剪力Fsy和和Fsz z作用线的交点称为横截面的作用线的交点称为横截面的弯曲中心弯曲中心（也称（也称剪切中心剪切中心，简
6、称，简称弯心弯心或或剪心剪心）只要横向力通过弯心并与一个形心主轴平行，则梁只发生平面弯只要横向力通过弯心并与一个形心主轴平行，则梁只发生平面弯曲。如果横向力与一个形心主轴平行但不通过弯心，则梁不仅发曲。如果横向力与一个形心主轴平行但不通过弯心，则梁不仅发生平面弯曲，还将发生扭转变形。生平面弯曲，还将发生扭转变形。1111由于由于 Fsy和和Fsz z 在横截面上的作用线位置与外力的位在横截面上的作用线位置与外力的位置、大小无关，故截面弯心的位置也与外力的位置、置、大小无关，故截面弯心的位置也与外力的位置、大小无关，仅与截面的形状和尺寸有关。这就是说，大小无关，仅与截面的形状和尺寸有关。这就是说
7、，弯心的位置是横截面的几何特性。弯心的位置是横截面的几何特性。常见开口薄壁截面的弯曲中心位置常见开口薄壁截面的弯曲中心位置A和和C重合重合A位于对称轴上位于对称轴上A位于两矩形中位于两矩形中心线的交点处心线的交点处12121313141415151616开口薄壁截面梁受横向力作用时，其变形形式可归纳为：开口薄壁截面梁受横向力作用时，其变形形式可归纳为：（1）若横向力和形心主轴平行或重合，且通过截面的弯心，则梁）若横向力和形心主轴平行或重合，且通过截面的弯心，则梁产生平面弯曲；产生平面弯曲；（2）若横向力和形心主轴平行或重合，但不通过截面的弯心，则）若横向力和形心主轴平行或重合，但不通过截面的弯
8、心，则梁同时产生平面弯曲和扭转变形；梁同时产生平面弯曲和扭转变形；（3）若横向力不和形心主轴平行或重合，但通过截面的弯心，则）若横向力不和形心主轴平行或重合，但通过截面的弯心，则梁产生斜弯曲；梁产生斜弯曲；（4）若横向力既不和形心主轴平行或重合，又不通过截面的弯心，）若横向力既不和形心主轴平行或重合，又不通过截面的弯心，则梁同时产生斜弯曲和扭转变形；则梁同时产生斜弯曲和扭转变形；1717例例11-1 悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由端受集中力端受集中力F作用，作用，F力均通过这些截面的形心力均通过这些截面的形心C。试指出这三。试指出这
9、三种截面梁各产生何种变形形式。种截面梁各产生何种变形形式。平面弯曲和扭转平面弯曲和扭转斜弯曲和扭转斜弯曲和扭转斜弯曲斜弯曲181811-3 11-3 斜弯曲斜弯曲a ahbyzq檩条檩条前面讲过只要作用在杆件上的横向力通过弯心，并与一个形心主轴前面讲过只要作用在杆件上的横向力通过弯心，并与一个形心主轴方向平行，杆件将只发生平面弯曲。但在工程实际中，有时横向力方向平行，杆件将只发生平面弯曲。但在工程实际中，有时横向力通过弯心，但不与形心主轴平行。例如屋架上倾斜放置的矩形截面通过弯心，但不与形心主轴平行。例如屋架上倾斜放置的矩形截面檩条，它所承受的屋面荷载檩条，它所承受的屋面荷载q就不沿截面的形心
10、主轴方向。就不沿截面的形心主轴方向。试验结果以及后面的分析均表明此时挠曲线不再位于外力所在的纵试验结果以及后面的分析均表明此时挠曲线不再位于外力所在的纵向平面内，这种弯曲称为向平面内，这种弯曲称为斜弯曲斜弯曲。1919(1) 将力将力F沿沿y、z z轴方向分解轴方向分解梁在竖直平面梁在竖直平面xy内发生平面内发生平面弯曲，弯曲，z z轴为中性轴轴为中性轴一一. 正应力计算及强度条件正应力计算及强度条件Fy单独作用：单独作用：Fz单独作用：单独作用：梁在水平平面梁在水平平面xz z内发生平面内发生平面弯曲，弯曲，y y轴为中性轴轴为中性轴斜弯曲：两个互相垂直方向的平面斜弯曲：两个互相垂直方向的平
11、面弯曲的组合弯曲的组合(2) 任意任意x截面上的弯矩截面上的弯矩2020(3) x截面上任一点截面上任一点C（y,z）处的正应力）处的正应力上两式弯矩均为绝对值上两式弯矩均为绝对值叠加叠加（代数和）：（代数和）：（11-1）(4) 危险截面（固定端）上的弯矩及正应力分布危险截面（固定端）上的弯矩及正应力分布2121危险截面（固定端）上正应力分布规律危险截面（固定端）上正应力分布规律a点点:（11-2）c点点:(5) 强度条件强度条件由于角点处切应力为零，应按单由于角点处切应力为零，应按单向应力状态建立强度条件向应力状态建立强度条件中性轴中性轴22222323 在在Fy和和Fz单独作用下自由端的
12、挠度分别为单独作用下自由端的挠度分别为总挠度为总挠度为若以若以b b角表示总挠度与角表示总挠度与y轴之间的夹角，则轴之间的夹角，则二二.挠度计算挠度计算yz F由于由于IyIz（矩形截面），所以（矩形截面），所以b b 表明：表明：梁在斜弯曲时的挠曲平面与外力所在的纵向平面不重合梁在斜弯曲时的挠曲平面与外力所在的纵向平面不重合(a)2424讨论：讨论：（1）若梁的截面是正方形，由于）若梁的截面是正方形，由于Iy=Iz，所以，所以b b = ，故梁不会，故梁不会发生斜弯曲，而发生平面弯曲。正多边形也是如此。发生斜弯曲，而发生平面弯曲。正多边形也是如此。yz F（2）若梁的截面是圆形，由于）若梁的
13、截面是圆形，由于Iy=Iz，所以，所以b b = ，故梁不会发，故梁不会发生斜弯曲，而发生平面弯曲。生斜弯曲，而发生平面弯曲。yz Fyz F2525例例11-2 外力外力F通过截面形心，且与通过截面形心，且与y方向的方向的夹角夹角 15，材料许用应力，材料许用应力=170=170MPa,试试校核此梁的强度。校核此梁的强度。2m2myzF解：解： 梁跨中截面上的弯矩最梁跨中截面上的弯矩最大，故为危险截面，该截面大，故为危险截面，该截面上的弯矩值为上的弯矩值为在两个形心主惯性平面内的弯矩分量分别为在两个形心主惯性平面内的弯矩分量分别为故此梁满足正应力强度条件故此梁满足正应力强度条件讨论：若讨论：
14、若F力的作用线与力的作用线与y轴重合，即轴重合，即 0，则梁的最大正应力为，则梁的最大正应力为查表查表25a号工字钢号工字钢2626若梁的横截面没有外棱角，例如图所示的椭圆形截面，若梁的横截面没有外棱角，例如图所示的椭圆形截面，y、z z轴为形心主轴。轴为形心主轴。以以y0、z0表示中性轴上任一点的坐标，因中表示中性轴上任一点的坐标，因中性轴上各点的正应力都为零，故将性轴上各点的正应力都为零，故将y0和和z0带带入（入（11-1）式，）式，（11-1）得得(11-3) （中性轴方程）（中性轴方程）可见斜弯曲时中性轴是一条通过横截面形心的直线。该直线的斜可见斜弯曲时中性轴是一条通过横截面形心的直
15、线。该直线的斜率（中性轴与率（中性轴与y轴的夹角的正切）为轴的夹角的正切）为(11-4)中性轴中性轴2727比较比较(a)式和式和(11-4)式式中性轴中性轴确定了中性轴的位置后，作两条与中性轴确定了中性轴的位置后，作两条与中性轴平行而与横截面周边相切的直线，将所得平行而与横截面周边相切的直线，将所得切点的坐标分别代入（切点的坐标分别代入（11-1）式，就可求）式，就可求得指定横截面上的最大拉应力和最大压应得指定横截面上的最大拉应力和最大压应力。而弯矩最大截面上的切点就是梁的危力。而弯矩最大截面上的切点就是梁的危险点。险点。(a)(11-4)故中性轴总是垂直于挠曲平面故中性轴总是垂直于挠曲平面
16、切点切点切点切点2828例例11-3 直径为直径为d的圆截面悬臂梁，在自由端受集中力的圆截面悬臂梁，在自由端受集中力Fy和和Fz作用。作用。试求该梁的最大弯曲正应力。试求该梁的最大弯曲正应力。解：绘弯矩图解：绘弯矩图由弯矩图可知：由弯矩图可知：A为危险截面为危险截面中性轴中性轴所以所以29293030课堂练习课堂练习：（1）圆形截面悬臂梁的直径为）圆形截面悬臂梁的直径为d，受力如图。对危险，受力如图。对危险截面截面A上的危险点位置，分别用上的危险点位置，分别用a点表示最大拉应力，点表示最大拉应力，b点表示最点表示最大压应力，则正确的危险点位置为（大压应力，则正确的危险点位置为（ ），其值为），
17、其值为3131（2）矩形截面简支梁受横向力）矩形截面简支梁受横向力F1和轴向力和轴向力F2作用，如图所示。危作用，如图所示。危险截面为跨中险截面为跨中D截面，截面，D截面上最大拉应力作用点位置为（截面上最大拉应力作用点位置为（ ），），梁的最大拉应力为梁的最大拉应力为yzxyz323211-4 11-4 拉伸（压缩）与弯曲拉伸（压缩）与弯曲 截面核心截面核心一、轴向拉伸一、轴向拉伸(压缩压缩)和弯曲的组合变形和弯曲的组合变形危险截面为固定端危险截面为固定端A截面截面在在F作用下作用下在在q作用下作用下中性轴中性轴在在F和和q共同作用下共同作用下3333由左图可知，由左图可知，A截面的上边缘各点
18、有最截面的上边缘各点有最大拉应力，这些点处于单向应力状态。大拉应力，这些点处于单向应力状态。设材料的抗拉和抗压强度相同，则拉伸设材料的抗拉和抗压强度相同，则拉伸与弯曲组合时的强度条件为与弯曲组合时的强度条件为在在F作用下作用下在在q作用下作用下中性轴中性轴在在F和和q共同作用下共同作用下34343535例例11-4 简易吊车，最大吊重简易吊车，最大吊重F=13kN， AB梁为工字钢，梁为工字钢，材料为材料为Q235钢，许用应力钢，许用应力s s=100MPa。试按正应力强。试按正应力强度条件选择工字钢型号。度条件选择工字钢型号。2.2m2m2mBACDFAxFAyBADM13xxFN11.8解
19、解（1）受力分析（取）受力分析（取AB）由受力分析可知，由受力分析可知，AB梁为轴梁为轴向压缩和弯曲的组合变形。向压缩和弯曲的组合变形。分解：分解：（2）变形分析）变形分析绘绘AB杆的弯矩图和轴力图杆的弯矩图和轴力图D截面为危险截面截面为危险截面3636初选：先不考虑轴力初选：先不考虑轴力FN的影的影响，由弯曲正应力强度条件响，由弯曲正应力强度条件进行选择。进行选择。查表，查表，16号：号：W=141cm3 A=26.1cm2再按压、弯组合进行强度校核，最大再按压、弯组合进行强度校核，最大应力为压应力（应力为压应力（D截面，上边缘）截面，上边缘）故无需重新选择截面型号故无需重新选择截面型号2.
20、2m2m2mBACDM13xxFN11.8（3）选择工字钢型号）选择工字钢型号3737当直杆受到与杆的轴线平行但不通过截面形心的拉力或压力作用当直杆受到与杆的轴线平行但不通过截面形心的拉力或压力作用时，即为时，即为偏心拉伸或偏心压缩偏心拉伸或偏心压缩。(1) 力力F向形心简化向形心简化实质：轴向拉伸和两个实质：轴向拉伸和两个平面弯曲的组合变形平面弯曲的组合变形(2) 任一截面上任一截面上C(y,z z)点应力点应力二、偏心拉伸二、偏心拉伸(压缩压缩)3838叠加得叠加得C点的应力为点的应力为(a)(3) 最大应力和强度条件最大应力和强度条件中性轴中性轴设材料的拉压强度不等，则偏设材料的拉压强度
21、不等，则偏心拉压的强度条件为心拉压的强度条件为39394040+=lFFlFFFl4141+=设材料的抗拉和抗压强度相同，则压设材料的抗拉和抗压强度相同，则压缩和弯曲组合时的强度条件为缩和弯曲组合时的强度条件为4242例例11-5 力力F平行于杆的轴线。求杆的平行于杆的轴线。求杆的s st,max和和s sc,max解解：（：（1）求形心位置）求形心位置 (设设z z1为参考轴为参考轴)y为对称轴，为对称轴，z zC=0(2) 外力向形心简化外力向形心简化(3) 计算截面的几何性质计算截面的几何性质4343(4) 求求s st,max和和s sc,max经分析可知，经分析可知，a点有最大拉应力
22、点有最大拉应力最大压应力可能在最大压应力可能在b点或点或c点点4444三、无棱角情况及截面核心三、无棱角情况及截面核心中性轴中性轴(1) 确定中性轴位置确定中性轴位置即即由由(I-9b)式式(11-5)（中性轴方程）（中性轴方程）可见中性轴是一条不通过横截面形心的直线。可见中性轴是一条不通过横截面形心的直线。以以y0、z0表示中性轴上任一点的坐标，将表示中性轴上任一点的坐标，将y0和和z0带入（带入（a）式，）式，(a)4545中性轴中性轴(11-5)(11-6)(2) 确定危险点位置确定危险点位置作两条与中性轴平行而与截面周边相切的直线，其切点即为危作两条与中性轴平行而与截面周边相切的直线，
23、其切点即为危险点，将两个切点的坐标分别带入险点，将两个切点的坐标分别带入(a)式，就可求得横截面上的式，就可求得横截面上的最大拉应力和最大压应力。最大拉应力和最大压应力。切点切点切点切点4646截面核心的概念截面核心的概念(11-6)由上式可知，中性轴在由上式可知，中性轴在y、z z轴上的截距（轴上的截距（ay，az z）与偏心力作用点）与偏心力作用点的坐标（的坐标（yF，z zF）符号相反，所以中性轴与偏心力的作用点总是位）符号相反，所以中性轴与偏心力的作用点总是位于形心的相对两侧。于形心的相对两侧。对于砖、石或混凝土等材料，由于它们的抗拉强度较低，在设计对于砖、石或混凝土等材料，由于它们的
24、抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。 因而当偏心力因而当偏心力的作用点位于形心附近的一个限界上时，可以使得中性轴恰与截的作用点位于形心附近的一个限界上时，可以使得中性轴恰与截面的周边相切，这时横截面上只出现一种性质的应力（偏心拉伸面的周边相切，这时横截面上只出现一种性质的应力（偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力）。截面形心附近的这样一个时为拉应力，偏心压缩时为压应力）。截面形心附近的这样一个界限所围成的区域就称为截面核心。界限所围成的区域就称为截面核心。中性轴中性轴 同时，同时， ay与与yF及及az
25、z与与z zF的绝对值分别成反比，的绝对值分别成反比，表明偏心力作用点离形心越近，中性轴就离形心越远。作为极端表明偏心力作用点离形心越近，中性轴就离形心越远。作为极端情况，当偏心距为零时，中性轴就位于无穷远处。情况，当偏心距为零时，中性轴就位于无穷远处。4747例例11-6 求直径为求直径为d的圆截面的截面核心的圆截面的截面核心 解：过解：过B点作圆周的切线点作圆周的切线，将它看作是，将它看作是中性轴，它在形心轴中性轴，它在形心轴y、z z上的截距分别为上的截距分别为圆截面的圆截面的将它们带入（将它们带入（11-6）式，得）式，得由于截面对于圆心是极对称的，因而核心边界对于圆心也应该由于截面对
26、于圆心是极对称的，因而核心边界对于圆心也应该是极对称的，所以圆截面核心边界是一个半径为是极对称的，所以圆截面核心边界是一个半径为d/8的圆。的圆。4848例例11-7 确定边长为确定边长为h和和b的矩形截面的截面核心的矩形截面的截面核心 解：作矩形截面解：作矩形截面BC边的切线边的切线，将它看作是中性轴，它在，将它看作是中性轴，它在y、z z上的截距分别为上的截距分别为将它们带入（将它们带入（11-6）式，得）式，得再作再作CD边的切线边的切线，它在，它在y、z z轴上的截距分别为轴上的截距分别为ay2=， az z2=b/2，由此可得核心边界上点由此可得核心边界上点2的坐标为的坐标为4949
27、当中性轴当中性轴按逆时针方向绕按逆时针方向绕C点点旋转到旋转到时，有无数多中性轴时，有无数多中性轴通过通过C点，但均未进入横截面之点，但均未进入横截面之内。将内。将C点的坐标带入中性轴方点的坐标带入中性轴方程程(11-5)(11-5)式，式，(11-5)可见，中性轴绕可见，中性轴绕C点旋转过程中，偏心力作用点移动的轨迹为直点旋转过程中，偏心力作用点移动的轨迹为直线，因此，连接点线，因此，连接点1与点与点2的直线，即为核心边界的一部分。的直线，即为核心边界的一部分。因为因为y、z z轴为横截面的对称轴，所以核心边界对轴为横截面的对称轴，所以核心边界对y轴和轴和z z轴应分别轴应分别对称。于是得到
28、矩形截面的截面核心为一菱形。菱形的对角线长对称。于是得到矩形截面的截面核心为一菱形。菱形的对角线长度分别为度分别为h/3和和b/3。得得5050练习：练习： 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力用拉应力 t30MPa，许用压应力，许用压应力 c120MPa。试按立柱的。试按立柱的强度计算许可载荷强度计算许可载荷F。解：（解：（1）计算截面的几何性质）计算截面的几何性质（2）立柱横截面的内力）立柱横截面的内力5151（3）立柱横截面的最大应力）立柱横截面的最大应力5252（4）求压力）求压力F535311-5 11-5 弯曲与扭
29、转弯曲与扭转 弯曲与扭转的组合变形是机械工程中常见的情况。本节主要研究弯曲与扭转的组合变形是机械工程中常见的情况。本节主要研究圆截面杆（实心、空心）在弯曲与扭转组合时的强度计算问题。圆截面杆（实心、空心）在弯曲与扭转组合时的强度计算问题。OalBACF研究研究AB杆杆（1）外力）外力F向向B截面形心简化，得截面形心简化，得（2）作）作AB杆的内力图杆的内力图M图图T图图FS图图AB由内力图可知，固定端由内力图可知，固定端A截面为危险截面。截面为危险截面。5454M图图T图图FS图图AB（3）危险截面）危险截面A的应力分布及危险点的应力分布及危险点AA12yz zT3123危险点：危险点：1点，
30、点，2点点1235555（4）强度条件）强度条件A12yz zT1212若材料为拉、压屈服极限相若材料为拉、压屈服极限相同的塑性材料，则应采用第同的塑性材料，则应采用第四强度理论，也可以用第三四强度理论，也可以用第三强度理论来建立强度条件。强度理论来建立强度条件。式中：式中： 可以看出，对于许用应力相同的材料，可以看出，对于许用应力相同的材料，1、2两点同等两点同等危险，只需对其中一点进行强度校核即可。危险，只需对其中一点进行强度校核即可。（11-9）（11-10）5656式中，式中，Wz为圆截面的弯曲截面系数；为圆截面的弯曲截面系数；M和和T分别是危险截面上的分别是危险截面上的弯矩和扭矩。弯
31、矩和扭矩。由于圆截面的由于圆截面的WP2Wz，为计算方便，将相当应力表达式改写为，为计算方便，将相当应力表达式改写为(11-11a)称为按第三强度理论得到的相当弯矩。称为按第三强度理论得到的相当弯矩。(11-12a)称为按第四强度理论得到的相当弯矩。称为按第四强度理论得到的相当弯矩。5757 以上的分析和计算公式同样适用于空心圆截面杆的弯曲与扭转以上的分析和计算公式同样适用于空心圆截面杆的弯曲与扭转组合变形，因为空心圆截面的扭转截面系数也是其弯曲截面系数组合变形，因为空心圆截面的扭转截面系数也是其弯曲截面系数的两倍。的两倍。注意：注意：(11-11a)和和(11-12a)只适用于圆杆的弯曲和扭
32、转组合变形。只适用于圆杆的弯曲和扭转组合变形。（ ）圆轴在危险截面上为两向弯曲（圆轴在危险截面上为两向弯曲（Mz z 、My ）与扭转（）与扭转（T）组合）组合强度条件：强度条件：58585959例例11-8 图示一图示一45号钢制的实心号钢制的实心圆轴。齿轮圆轴。齿轮C的直径的直径dC200mm，齿轮，齿轮D的直径的直径dD100mm。材。材料的许用应力料的许用应力 =90MPa，试按，试按第四强度理论求轴的直径。第四强度理论求轴的直径。120mm200mm500mmBACD120mm200mm500mmBACD0.874210.7282.4解：解：将齿轮上的切向力向将齿轮上的切向力向轴线简
33、化，得计算简图。轴线简化，得计算简图。由于圆截面不会发生斜弯由于圆截面不会发生斜弯曲，故可以把曲，故可以把My与与Mz按矢按矢量合成的方法求出总弯矩，量合成的方法求出总弯矩，经分析，经分析，B截面总弯矩最大。截面总弯矩最大。6060求第四强度理论的相当弯矩求第四强度理论的相当弯矩根据公式所建立强度条件为根据公式所建立强度条件为代入数据有代入数据有所以所以取轴的直径为取轴的直径为68mm。6161例例11-9 图示结构中，图示结构中，AB杆为直径杆为直径d101mm的圆截面杆，其许用正的圆截面杆，其许用正应力应力s s=170MPa。试。试校核校核AB杆的强度。杆的强度。解：解： 将作用在将作用
34、在BC杆上的载杆上的载荷向荷向B截面的形心简化。截面的形心简化。根据简化后的载荷图，作根据简化后的载荷图，作出相应的内力图出相应的内力图ABT图图FN图图M图图2m3mBACO6262T图图FN图图M图图由内力图可知由内力图可知A为危险截面为危险截面A截面总弯矩截面总弯矩A截面上的最大弯曲正应力为截面上的最大弯曲正应力为A截面上的轴向拉伸应力为截面上的轴向拉伸应力为A截面总的拉应力截面总的拉应力6363T图图危险点的应力状态如图所示危险点的应力状态如图所示用第四强度理论校核其强度用第四强度理论校核其强度故故AB杆的强度满足要求。杆的强度满足要求。A截面上的最大扭转切应力为截面上的最大扭转切应力
35、为也可用第三强度理论校核其强度也可用第三强度理论校核其强度64646565练习：练习： 直径为直径为200mm的圆杆受力如图所示。已知材料为的圆杆受力如图所示。已知材料为Q235钢，许用应力钢，许用应力 170MPa。试用第四强度理论校核该杆的强度。试用第四强度理论校核该杆的强度。6666* 例例11-10 两根材料相同且直径均为两根材料相同且直径均为d的立柱，上、下两端分别与的立柱，上、下两端分别与强劲的顶、底板刚性连接，如同（强劲的顶、底板刚性连接，如同（a）所示。在顶板面内施加扭转）所示。在顶板面内施加扭转力偶矩力偶矩Me，试求两杆顶端的内力。，试求两杆顶端的内力。(b)(c)aMe(a
36、)解：由于两杆的材料及几何特性完全相同，所以顶板将在其自身解：由于两杆的材料及几何特性完全相同，所以顶板将在其自身平面内绕两杆之间的中点转动某平面内绕两杆之间的中点转动某 角角。如图（。如图（b）所示。）所示。由于顶板转动由于顶板转动 角，从而带动每根杆的顶端在角，从而带动每根杆的顶端在水平面内也转动了水平面内也转动了 角，并产生了水平线位移角，并产生了水平线位移。如。如图（c）所示。）所示。（1）6767aMe(a)a(d)(e)(c)取顶板为分离体（图取顶板为分离体（图e）每一根杆作为悬臂梁，在自由端在每一根杆作为悬臂梁，在自由端在Fs和和M时，其自时，其自由端的挠度为由端的挠度为，转角角
37、为零。零。（2）（3）（4）6868a(d)每一根悬臂梁其自由端的扭转角与杆每一根悬臂梁其自由端的扭转角与杆端的扭矩的关系为端的扭矩的关系为（5）联立求解（联立求解（1）（5）式，得杆端内力为）式，得杆端内力为696911-6 11-6 纵弯曲纵弯曲xyxzyxyll/2 本节讨论小挠度的情形，即小刚度秆本节讨论小挠度的情形，即小刚度秆在小偏心压缩问题。在小偏心压缩问题。挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程7-1 为了考虑由挠度引起的附加弯矩，需为了考虑由挠度引起的附加弯矩，需要求出偏心压杆的挠曲线方程。要求出偏心压杆的挠曲线方程。 w w为任一为任一x截面处的挠度，则截截面处的挠度，则截面上
38、的弯矩为面上的弯矩为引入记号引入记号则上式可以改写为二阶齐次线性微分方程则上式可以改写为二阶齐次线性微分方程7070通解为通解为xyll/2两端铰支压杆的位移边界条件两端铰支压杆的位移边界条件x0处，处，w w0xl处，处，w w0从而从而w w与与F及及EIz之间的关系隐含在之间的关系隐含在k之中。之中。由对称性可知，最大挠度由对称性可知，最大挠度d d发生在杆的中点，将发生在杆的中点，将xl/2代入，得代入，得7171由由 知，最大弯矩也在知，最大弯矩也在xl/2处处xyll/2 横截面上最大压应力发生在杆中点的凹横截面上最大压应力发生在杆中点的凹侧边缘，其表达式为侧边缘，其表达式为 由前面可以看出，尽管材料在线弹性范围由前面可以看出，尽管材料在线弹性范围内工作，但是由于考虑了挠度对内力的影响，内工作，但是由于考虑了挠度对内力的影响，从而使位移、内力和应力均与压力从而使位移、内力和应力均与压力F成非线性成非线性关系，也就不能在用叠加法进行计算。关系，也就不能在用叠加法进行计算。这种非线性问题通常称为这种非线性问题通常称为几何非线性问题几何非线性问题。书中还有关于强度计算的说明。书中还有关于强度计算的说明。(P227)7272
