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1、高等数学公式导数公式：导数公式：(tgx)sec2x(ctgx) csc2x(secx)secxtgx(cscx) cscxctgx(ax) axlna(logax)基本积分表：基本积分表：(arcsin x) 11xlna1 x21(arccosx) 1 x21(arctgx) 1 x21(arcctgx) 1 x2tgxdx lncosx Cctgxdx lnsinx Csecxdx lnsecxtgx Ccscxdx lncscxctgx Cdx1xarctgCa2 x2aadx1xalnx2a22axaCdx1a xa2 x22alna xCdxx arcsinCa2 x2a2ndx2
2、 seccos2xxdx tgxCdx2sin2xcsc xdx ctgxCsecxtgxdx secxCcscxctgxdx cscxCaxa dx lnaCxshxdx chxCchxdx shxCdxx2a2 ln(xx2a2)C2Insin xdx cosnxdx 00n1In2nx2a22x a dx x a ln(xx2a2)C22x2a2222x a dx x a ln xx2a2C22x2a2x222a x dx a x arcsinC22a22三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：2u1u2x2dusin x ，cosx ，u tg，dx 21u21u21u2高阶导数公
3、式莱布尼兹（高阶导数公式莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式：(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk 1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ()(ba)f (b) f (a)f ()柯西中值定理：F(b)F(a)F()定积分的近似计算：定积分的近似计算：b当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。矩形法：f (x) abba(y0 y1 yn1)nba 1 (y0 yn) y1 yn1n2ba(y0 yn)2(y2
4、 y4 yn2)4(y1 y3 yn1)3n梯形法：f (x) ab抛物线法：f (x) a多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用全微分：dz zzuuudxdydu dxdydzxyxyz全微分的近似计算：z dz fx(x,y)x fy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzz uz vz fu(t),v(t) dtu tv tzz uz vz fu(x,y),v(x,y) xu xv x当u u(x,y)，v v(x,y)时，uuvvdu dxdydv dxdyxyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y) 0， ，2(x)(x)dxFyxFyyFydxdxFyFzz
5、隐函数F(x,y,z) 0， x， xFzyFzFF(x,y,u,v) 0(F,G)u隐函数方程组：J GG(x,y,u,v) 0(u,v)uu1 (F,G)v1 (F,G) xJ(x,v)xJ(u,x)u1 (F,G)v1 (F,G) yJ(y,v)yJ(u,y)多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：FvFuGGuvFvGv设fx(x0,y0) fy(x0,y0) 0，令：fxx(x0,y0) A,fxy(x0,y0) B,fyy(x0,y0) CA 0,(x0,y0)为极大值2AC B 0时，A 0,(x0,y0)为极小值2则：值AC B 0时，无极AC B2 0时,不确定曲线积
6、分：曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x (t)设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(t ),则：y (t)L x tf (x,y)ds f(t),(t)2(t)2(t)dt()特殊情况：y (t)第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x (t)设L的参数方程为，则：y (t)P(x,y)dxQ(x,y)dy P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy (PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式： ()dxdy PdxQdy格林公式： ()dxdy PdxQdyxyxyDLDLQP1
7、当P y,Q x，即： 2时，得到D的面积：Adxdy xdy ydxxy2LD平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：QP在时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇点，如(0,0)，应xyu(x,y) (x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0 y0 0。常数项级数：常数项级数：1qn等比数列： 1qq q1q(n1)n等差数列： 123n 2111调和级数： 1是发散的23n2n1级数审敛法：级数审敛法：
8、1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设： limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛Un1设： lim，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理：unun1如果交错级数满足，那么级数收敛且其和s u ,其余项r的绝对值r u。limu 01nnn1nn绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1 u2 u3 un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收
9、敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp 1时收敛幂级数：幂级数：1x 1时，收敛于1 x1 x x2 x3 xnx 1时，发散对于级数(3)a0 a1x a2x2 anxn，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全x R时收敛数轴上都收敛，则必存 在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。x R时不定1 0时，R an1求收敛半径的方法：设 lim，其中an，an1是(3)的系数，则 0时，R nan 时，R 0函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：f (x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级
10、数：f (x) f (x0)(x x0)(x x0) (x x0)n2!n!f(n1)()余项：Rn(x x0)n1, f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是： limRn 0n(n1)!f (0)2f(n)(0)nx0 0时即为麦克劳林公式：f (x) f (0) f (0)xx x 2!n!一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：m(m1)2m(m1)(mn1)nx x (1 x 1)2!n!352n1xxxsinx x(1)n1( x )3!5!(2n1)!(1 x)m1mx欧拉公式：欧拉公式：eixeixcosx 2ixe cosxisinx或ixixsinx e e2三角级数：
11、三角级数：a0f (t) A0Ansin(nt n) (ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0 aA0，an Ansinn，bn Ancosn，t x。正交性： 1,sin x,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在,上的积分0。傅立叶级数：傅立叶级数：a0f (x) (ancosnxbnsinnx)，周期 22n11(n 0,1,2)anf (x)cosnxdx其中b 1f (x)sinnxdx(n 1,2,3)n112122835111224224262正弦级数：an 0，bn余弦级数：bn 0，an11121222（相加）62341112
12、1222（相减）12234f (x)sinnxdxn 1,2,3f (x) b02nsinnx是奇函数20f (x)cosnxdxn 0,1,2f (x) a0ancosnx是偶函数2周期为周期为2l的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数：a0nxnxf (x) (ancosbnsin)，周期 2l2n1lll1nxdx(n 0,1,2)anf (x)coslll其中lb 1f (x)sinnxdx(n 1,2,3)nlll微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：一阶微分方程：y f (x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy
13、 f (x)dx的形式，解法：g(y)dy f (x)dx得：G(y) F(x)C称为隐式通解。dyy f (x,y) (x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u ，则u x，u (u)， 分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：dy1、一阶线性微分方程： P(x)y Q(x)dx P(x)dx当Q(x) 0时,为齐次方程，y CeP(x)dx P(x)dx当Q(x) 0时，为非齐次方程，y (Q(x)edxC)edy2、贝努力方程： P(x)y Q(x)yn， (n 0,1
14、)dx全微分方程：全微分方程：如果P(x,y)dxQ(x,y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y) P(x,y)dxQ(x,y)dy 0，其中： P(x,y)，Q(x,y)xyu(x,y) C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：二阶微分方程：f (x) 0时为齐次d2ydy P(x)Q(x)y f (x)，2dxdxf (x) 0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y pyqy 0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程： ()r2 pr q 0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式两个不相等实根(p 4q 0)两个相等实根(p 4q 0)一对共轭复根(p 4q 0)222(*)式的通解y c1er1xc2er2xy (c1c2x)er1xy ex(c1cosxc2sinx)r1i，r2i4q p2p ，22二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程y pyqy f (x)，p,q为常数f (x) exPm(x)型，为常数；f (x) exPl(x)cosx Pn(x)sinx型
