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1、1.1.参数方程的概念参数方程的概念2021/6/1611、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在一架救援飞机在A点，点，离离地面地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 现在向地面现在向地面投放救援物投放救援物资资(不记空气阻力不记空气阻力),求出该救援物资运动的轨迹方程？求出该救援物资运动的轨迹方程？救援点救援点投放点投放点2021/6/1621、参数方程的概念：、参数方程的概念：xy Ao设飞机在点设飞机在点A将物资投出机舱，将物资投出机舱，记物资投出机舱时为时刻记物资投出机舱时为时刻0，在时刻，在时刻t时物资时物资的位置为的位
2、置为M(x,y).则则x表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度。表示物资距地面的高度。 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.现在向地面现在向地面投放投放救援物资救援物资(不记空气阻力不记空气阻力),求出该救援物资运动的求出该救援物资运动的轨迹方程？轨迹方程？在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系，其中平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线，轴为地平面与这个平面的交线，y轴经过点轴经过点A.由
3、于水平位移量由于水平位移量x与高度与高度y 是两种不是两种不同的运动得到的，因此直接建立同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足的关系式并不容易。所要满足的关系式并不容易。2021/6/1631、参数方程的概念：、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速度为作初速度为100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动； 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.现在向地面现在向地面投放救援投放救援物资物资(不记空气
4、阻力不记空气阻力),求出该救援物资运动的轨迹求出该救援物资运动的轨迹方程？方程？（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。2021/6/164xy500o1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.现在向地面现在向地面投放救援投放救援物资物资(不记空气阻力不记空气阻力),求出该救援物资运动的轨迹求出该救援物资运动的轨迹方程？方程？2021/6/165一、方程组有一、方程组有3个变量，其中的个变量，其中的x,y表示点的表示点的坐标，变量坐标，变量t叫做
5、参变量，而且叫做参变量，而且x,y分别是分别是t的的函数。函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯唯一决定，从数学角度看，这就是点一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标的坐标x,y由由t唯一确定，这样当唯一确定，这样当t在允许值范围内连在允许值范围内连续变化时，续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。）之间有一一对应关系。2021/6/16
6、6（2）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值, 由方程组由方程组(2) 所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上, 那么方程那么方程(2) 就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程, 联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做参变数叫做参变数, 简称参数简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 一般地一般地, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标
7、系中,如果曲线上任意一点的如果曲线上任意一点的坐标坐标x, y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数1.参数方程中参数可以有物理意义参数方程中参数可以有物理意义, 几何意义几何意义, 也可以没有明显意义。也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围2021/6/167例例1: 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线与曲线C的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点M3(6, a)在曲线在曲
8、线C上上, 求求a的值。的值。解解：（：（1）把点把点M1(0,1)代入方程组，解得：代入方程组，解得：t=0,因此因此M1在曲线在曲线C上。上。把点把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，代入方程组，方程组无解，因此因此M2不在曲线不在曲线C上。上。（2）因为）因为M3 （6，a)在曲线在曲线C上。上。解得：解得：t=2,a=9a=92021/6/168例例1: 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线与曲线C的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点M3(6, a)在曲线在曲线C上上, 求求a的值。的值。解解：（：（1）把
9、点把点M1(0,1)代入方程组，解得：代入方程组，解得：t=0,因此因此M1在曲线在曲线C上。上。把点把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，代入方程组，方程组无解，因此因此M2不在曲线不在曲线C上。上。（2）因为）因为M3 （6，a)在曲线在曲线C上。上。解得：解得：t=2,a=9a=92021/6/1692、方程、方程 所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是（ ） A、（、（2，7）；）；B、 C、 D、（、（1，0） 1、曲线、曲线 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )A、（、（1，4）；）；B、 C、 D、BD训练1：2021/6/16113.3.参数方程和普通参数
10、方程和普通方程的互化方程的互化2021/6/16122021/6/1613yxo(1,1)类型一：参数方程化为普通方程类型一：参数方程化为普通方程代入消元法代入消元法2021/6/1614xoy类型一：参数方程化为普通方程类型一：参数方程化为普通方程三角变换消元法三角变换消元法2021/6/1615将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：2021/6/1616步骤：步骤：1、消掉参数消掉参数(代入消元，三角变形，配代入消元，三角变形，配方消元方消元,常用结论常用结论)2、写出定义域写出定义域（x的范围）的范围）参数方程化为普通方程的步骤参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通
11、方程的互化中，必须在参数方程与普通方程的互化中，必须使使x,y前后的取值范围保持一致。前后的取值范围保持一致。注意：注意：2021/6/1617x,yx,y范范围围与与y=xy=x2 2中中x,yx,y的范的范围围相同，相同，代入代入y=xy=x2 2后后满满足足该该方程，从而方程，从而D D是曲是曲线线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程. .2 2、曲、曲线线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（ ）. . 注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的. 在在y=xy=x2 2中，中，xR, y0xR, y0，
12、分析分析: :发生了变化，因而与发生了变化，因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在中，且以2021/6/1618类型二：普通方程化为参数方程类型二：普通方程化为参数方程2021/6/16222021/6/1623注：本题两个参数方程和起来才是椭圆的参数方程。注：本题两个参数方程和起来才是椭圆的参数方程。2021/6/16241.如果没有明确如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？限个还是无限个？2.为什么（为什么（1）的正负取一个，而（）的正负取一个，而（2）却要取两个？）却要取两个？如何区分？如何区分？两
13、个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取两个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取. .无限个无限个2021/6/1625将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。练习：练习：2021/6/1626练习：练习：(2,0),(0,2)D2021/6/1628 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
