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1、平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容1全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则多元函数多元函数求极值求极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念二重积分二重积分概概念念性性质质计计算算直角直角坐标坐标系下系下极坐极坐标系标系下下2定义定义设有三个变量设有三个变量x，y，z，如果对于变量如果对于变量x，y的变化的变化范围范围D内所取的每一对值内所取的每一对值，变量变量z都
2、按照一定的规则，都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称有一个确定的值与之对应，则称 z 为为x，y 的的二元函数二元函数，记作记作 z=f(x,y) 或或 z=z(x,y)，其中其中x，y称为称为自变量自变量，z称为称为函数函数( (或因变量或因变量).).自变量自变量x，y的变化范围的变化范围D称为函数的称为函数的定义域定义域. .多元函数的概念多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数3定义定义 设函数设函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有的某一去心邻域内有定义，如果动点定义，如果动点P(x,y)在该邻域内以任意路径趋于定
3、点在该邻域内以任意路径趋于定点P0(x0,y0)时，函数的对应值时，函数的对应值f(x,y)趋于一个确定数趋于一个确定数A，则则称称A为函数为函数z=f(x,y)，当当 时的时的极限极限，记作，记作或或二元函数的极限二元函数的极限4说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似5二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义等价定义等价定义间断点间断点.6偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法函数对函数对 x 的偏增量的偏增量78注意注
4、意: :1.1.2.若二元函数若二元函数f(x,y)在某点关于在某点关于x关于关于y的偏导数都存在，的偏导数都存在，则称此函数在这一点可导，否则称不可导则称此函数在这一点可导，否则称不可导.910由偏导数的定义可知，由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的偏导数本质上是一元函数的微分法微分法问题。问题。只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情况类似。11高阶偏导数高阶偏导数设设 z = f
5、 (x , y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是则称它们是z = f ( x , y ) 的的二阶偏导数二阶偏导数 . 按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏有下列四个二阶偏导导数数:12混合偏导混合偏导纯偏导纯偏导13全微分概念全微分概念14多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导15全微分的应用全微分的应用主要方面主要方面:近似计算与误差估计近似计算与误差估计.16一、全导数一、全导数（复合函数中间变量是一元
6、的情形）（复合函数中间变量是一元的情形）定理定理. 若函数若函数处偏导连续处偏导连续, 在点在点 t 可导可导, 则复合函数则复合函数证略证略.且有链式法则且有链式法则17推广推广: : 中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形. 例如例如,设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微 .18二、二元复合函数求偏导二、二元复合函数求偏导 （复合函数的中间变量均为多元函数的情形（复合函数的中间变量均为多元函数的情形. .）证略证略.1920 多元抽象复合函数求导在偏微分方程多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到变形与验证解的问题中经常遇到, ,下列几个下列几个例题有
7、助于掌握这方面问题的求导技巧与例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号常用导数符号. .三、抽象函数求偏导数三、抽象函数求偏导数21定义定义隐函数的显化隐函数的显化如果二元隐函数不易显化或不能显化时，方程如果二元隐函数不易显化或不能显化时，方程两边也可以直接求导，求导的过程中把两边也可以直接求导，求导的过程中把z视为视为x、y的二元函数的二元函数z=f(x,y). .二元隐函数求偏导二元隐函数求偏导22注：注：23多元函数的极值多元函数的极值定义定义24多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的函数的
8、驻点驻点.极值点极值点注意注意驻点驻点252627二元函数的最值二元函数的最值28条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值29定义定义7.8二重积分二重积分30对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：由于二重积分的值与区域的分法和小区域上点的取法由于二重积分的值与区域的分法和小区域上点的取法无关无关,故可采用一种便于计算的划分方式故可采用一种便于计算的划分方式,在直角坐标在直角坐标系下系下, ,通常用平行于坐标轴的直线族把通常用平行于坐标轴的直线族把D D分成一些小区分成一些小区域域. .31对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：故二重积分可写为：故二重积分
9、可写为：32二、二重积分的性质二、二重积分的性质下面假定下面假定f( (x,y) ), ,g( (x,y) )在闭区域在闭区域D上连续上连续, ,A为为D的面积的面积. . 性质性质1 1 线性性质线性性质 性质性质2 2 区域可加性区域可加性 （与定积分的性质类似）（与定积分的性质类似）33这这里里A为为D的面的面积积. . 性质性质3 3性质性质4 4性质性质5 5 估值性质估值性质 34性质性质6(6(二重积分的中值定理二重积分的中值定理) ) 证证由性由性质质5 5知知, , 得得证证. . 35 先先 x 后后 y 先先 y 后后 x注：注：交换积分次序并不是交换积分次序并不是dx和
10、和dy的简单对调，实质是的简单对调，实质是 积分区域的转换积分区域的转换.交交换换积积分分次次序序 三、二重积分的计算三、二重积分的计算1. 1. 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算36例例解解所以所以例 题例例解解37例例解解小小38例例C解解所以所以例例解解39例例A(A)(A)不连续，偏导数存在不连续，偏导数存在 (B)(B)连续，偏导数存在连续，偏导数存在 (C)(C)连续，偏导数不存在连续，偏导数不存在 (D)(D)不连续，偏导数不存在不连续，偏导数不存在 其值随其值随 k 的不同而变化，极限不存在的不同而变化，极限不存在, 故不连续故不连续解解同理同理, ,40例例解解41例例解解方程化为方程化为或或42例例解解43例例解解由实际问题，此时达到最大利润由实际问题，此时达到最大利润. . 44例例解解0y xr=1D 变换到极坐标系变换到极坐标系r=145例例解解4647
