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1、解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤 1 1、 在方程的两边都乘以在方程的两边都乘以最简公分母最简公分母，约去分母，约去分母，化成化成整式方程整式方程. . 2 2、解这个整式方程、解这个整式方程. . 3 3、 把整式方程的解代入把整式方程的解代入最简公分母最简公分母，如果最简，如果最简公分母的值公分母的值不为不为0 0，则整式方程的解是原分式方程的，则整式方程的解是原分式方程的解；解；否则否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. . 4 4、写出原方程的根、写出原方程的根. .解分式方程的思路是：解分式方程的思路是：分式分式方程方程整式整式方程方程
2、去分母去分母一化二解三检验一化二解三检验u解分式方程容易犯的错误有：解分式方程容易犯的错误有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘去分母时，原方程的整式部分漏乘(2)约去分母后，分子是多项式时，约去分母后，分子是多项式时， 要要注意添括号注意添括号(因分数线有括号的作用）因分数线有括号的作用） (3)增根不舍掉。增根不舍掉。 练一练：练一练： 解下列方程解下列方程(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、例例1：k为何值时，方程为何值时，方程 产生产生增根？增根？问：这个分式方程何时有增根？问：这个分式方程何时有增根？答：这个分式方程产生增根，则增根一定是使答：这个分式方程产生增根，则增根一定是
3、使方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即方程中的分式的分母为零时的未知数的值，即x=2。问问:当当x=2时，这个分式方程产生增根怎样利用时，这个分式方程产生增根怎样利用这个条件求出这个条件求出k值？值？答：把含字母答：把含字母k的分式方程转化成含的分式方程转化成含k的整式方的整式方程，求出的解是含程，求出的解是含k的代数式，当这个代数式等的代数式，当这个代数式等于于2时可求出时可求出k值。值。例例1：k为何值时，方程为何值时，方程 产生增根？产生增根？解：方程两边都乘以解：方程两边都乘以x-2，约去分母，得，约去分母，得k+3（x-2)=x-1解这个整式方程，得解这个整式方程，得当当x=2时
4、，原分式方程产生增根，即时，原分式方程产生增根，即解这个方程，得解这个方程，得 K=1所以当所以当k=1时，方程时，方程 产生增根。产生增根。例例2：k为何值时，分式方程为何值时，分式方程有增根？有增根？方程两边都乘以方程两边都乘以(x-1)(x+1),得得x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0解，得解，得解：解：当当x=1时时,原方程有增根，则原方程有增根，则k=-1当当x=-1时，时，k值不存在值不存在当当k=-1，原方程有增根。，原方程有增根。k为何值时，方程为何值时，方程 无解？无解？思考：思考：“方程有增根方程有增根”和和“方程无解方程无解”一样吗？一样吗？变式变式1：k为何值
5、时，方程为何值时，方程 有解？有解？变式变式2：k为何值时，分式方程为何值时，分式方程无解？无解？例例3：方程两边都乘以方程两边都乘以(x-1)(x+1),得得x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0解，得解，得当当x=1时时,原方程无解，则原方程无解，则k=-1当当k=-2时，时，k+2=0, 原方程无解原方程无解当当x=-1时，时，k值不存在值不存在当当k=-1或或k=-2时，原方程无解时，原方程无解解：解：“增根增根”是你可以求出来的，但代入后方是你可以求出来的，但代入后方程的分母为程的分母为0无意义，原方程无解。无意义，原方程无解。“无解无解”包括增根和这个方程没有可解的根包括增根
6、和这个方程没有可解的根 思考：思考：“方程有增根方程有增根”和和“方程无解方程无解”一样吗？一样吗？变式变式4：K取何值时，分式方程取何值时，分式方程有解？有解？ 1.解关于解关于x的方程的方程 产生增根产生增根,则常数则常数m的值等于的值等于( ) (A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2x-3x-1x-1m=2.当当m为何值时，方程为何值时，方程无解？有解呢？无解？有解呢？1.m为何值时，方程为何值时，方程 会产生会产生增根？增根？2.若关于若关于x的方程的方程 产生增产生增根，根，k为何值？为何值？3.当当m为何值时，方程为何值时，方程 会会产生增根产生增根 1.列分式方程解应用
7、题与列一元一次方程解应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，题的方法与步骤基本相同， 不同点是，解分式方程必须要不同点是，解分式方程必须要验根验根. 一方面要看一方面要看原方程是否有增根原方程是否有增根， 另一方面还要看另一方面还要看解出的根是否符合题意解出的根是否符合题意. 原方程的增根和不符合题意的根都应舍去原方程的增根和不符合题意的根都应舍去. 2.列分式方程解应用题，列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设一般是求什么量，就设所求的量为未知数，所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做这种设未知数的方法，叫做设直设直接未知数接未知数. 但有时可根据题目特点不
8、直接设题目所求的量为但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是未知量，而是设另外的量为未知量设另外的量为未知量，这种设未知数的，这种设未知数的方法叫做方法叫做设间接未知数设间接未知数. 在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷可使解答变得简捷.常见的相等关系：常见的相等关系：(1)、相遇问题 ：甲行程甲行程 + + 乙行程乙行程 = =全路程全路程(2)、追及问题： (设甲的速度快) 1)、同时不同地： 甲用的时间甲用的时间 = = 乙用的时间乙用的时间 甲的行程甲的行程 - - 乙的行程乙的行程 = = 甲乙原来相距的路
9、程甲乙原来相距的路程2)、同地不同时： 甲用的时间甲用的时间 = = 乙用的时间乙用的时间 - - 时间差时间差 甲走的路程甲走的路程 = = 乙走的路程乙走的路程 3)、水(空)航行问题 ： 顺流速度顺流速度 = = 静水中航速静水中航速 + + 水速水速 逆流航速逆流航速 = = 静水中速度静水中速度 水速水速2 2、工程问题、工程问题 基本量之间的关系：工作量工作量 = = 工作效率工作效率 X X 工作时间工作时间常见等量关系：甲的工作量甲的工作量+ +乙的工作量乙的工作量 = = 合作工作量合作工作量注：工作问题常把总工程看作是单位1，水池注水问题也属于工程问题 【例【例1 1】两个
10、工程队共同参与一项筑路工程，甲队单】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. . 哪个队的施工速度快？哪个队的施工速度快？分式方程在实际在应用分式方程在实际在应用解：解：解：解：设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 . .记总工程量为记总工程量为记总工程量为记总工程量为1 1，根据题意，得，根据题意，得，根
11、据题意，得，根据题意，得= 1解之得：解之得：解之得：解之得：经检验知经检验知经检验知经检验知 x x = 1 = 1 是原方程的解是原方程的解是原方程的解是原方程的解. .由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，由上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，所以乙队施工速度快所以乙队施工速度快所以乙队施工速度快所以乙队施工速度快. . 甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做做6个，甲做个，甲做90个零件所用的时间和乙做个零件所用的时间和
12、乙做60个零件所用时个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？解：设甲每小时做解：设甲每小时做x个零件则乙每小时做（个零件则乙每小时做（ x 6）个零件，）个零件， 依题意得：依题意得： 经检验经检验X=18是原方程的根。是原方程的根。答：甲每小时做18个，乙每小时12个请审题分析题意设元我们所列的是一个分式方程，这是分式方程的应用由x18得x6=12等量关系：甲用时间等量关系：甲用时间=乙用时间乙用时间 1、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做多做6个，甲做个，甲做90个零件所用的时间和乙做个
13、零件所用的时间和乙做60个零件所用个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？ 2、甲、乙两人每时共能做、甲、乙两人每时共能做35个零件，当甲做了个零件，当甲做了90个零件时，乙做了个零件时，乙做了120个。问甲、乙每时各做多少个机个。问甲、乙每时各做多少个机器零件？器零件？解：设甲每小时做解：设甲每小时做X个，乙每小时做（个，乙每小时做（35-x)个，则个，则1.填空：填空：(1)一件工作甲单独做要一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是
14、_小时；小时；(2)某食堂有米某食堂有米m公斤，原计划每天用粮公斤，原计划每天用粮a公斤，公斤，现在每天节约用粮现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是公斤，则可以比原计划多用天数是_;(3)把把a千克的盐溶在千克的盐溶在b千克的水中，那么在千克的水中，那么在m千克千克这种盐水中的含盐量为这种盐水中的含盐量为_千克千克.2 2、甲加工、甲加工180180个零件所用的时间，乙可以加工个零件所用的时间，乙可以加工240240个零件，已知甲每小时比乙少加工个零件，已知甲每小时比乙少加工5 5个零件，个零件，求两人每小时各加工的零件个数求两人每小时各加工的零件个数. . 解：设乙每小时加工解：
15、设乙每小时加工x个，甲每小时加工（个，甲每小时加工（x-5）个，则）个，则解得解得x=20检验：检验：x=20时时x(x-5) 0,x=20是原分式方程的解。是原分式方程的解。答：乙每小时加工答：乙每小时加工20个，甲每小时加工个，甲每小时加工15个。个。x-5=153 3、某工人师傅先后两次加工零件各、某工人师傅先后两次加工零件各15001500个，当第个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了果比第一次少用了1818个小时个小时. .已知他第二次加工效已知他第二次加工效率是第一次的率是第一次的2.52.5倍，求他第二次加
16、工时每小时加倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件工多少零件? ? 解：设他第一次每小时加工解：设他第一次每小时加工x个，第二次每小时加个，第二次每小时加 工工2.5x个，则个，则【例【例2 2】从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？解：设提速前的速度为解：设提速前的速度为x,提速后为提速后为x+v,则则解得解得检验：检验：时，时，x(x+v) 0,是方程的解。是方程的解。答：提速前列车的平均速度为答：提速前列车的平均速度为千米千米/小时。小时。 1 1、一队学生去校外参观，他们出发、一队学生
17、去校外参观，他们出发3030分钟时，学校分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍校出发，按原路追赶队伍. .若骑车的速度是队伍行进速度若骑车的速度是队伍行进速度的的2 2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是1515千米，问千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间? ? 解：设队伍的速度为解：设队伍的速度为x，骑车的速度为，骑车的速度为2x,则则解得解得x=15经检验经检验x=15是原方程的解。是原方程的解。答：这名学生追上
18、队伍用了答：这名学生追上队伍用了0.5小时。小时。 2 2、某人骑自行车比步行每小时多走、某人骑自行车比步行每小时多走8 8千米，如果千米，如果他步行他步行1212千米所用时间与骑车行千米所用时间与骑车行3636千米所用的时间相千米所用的时间相等，求他步行等，求他步行4040千米用多少小时千米用多少小时? ? 解：设步行每小时行解：设步行每小时行x千米，骑车每小时行（千米，骑车每小时行（x+8)千米，则千米，则解得解得x=4404=10(小时）小时）经检验经检验x=4是方程的解。是方程的解。答：他步行答：他步行40千米用千米用10个小时。个小时。 3 3、A A，B B两地相距两地相距1351
19、35千米，两辆汽车从千米，两辆汽车从A A地开往地开往B B地，地，大汽车比小汽车早出发大汽车比小汽车早出发5 5小时，小汽车比大汽车晚到小时，小汽车比大汽车晚到3030分分钟钟. .已知小汽车与大汽车的速度之比是已知小汽车与大汽车的速度之比是5 5：2 2，求两辆汽车，求两辆汽车各自的速度各自的速度. .解：设小汽车的速度为解：设小汽车的速度为5x,大汽车的速度为大汽车的速度为2x,则则解得解得x=9经检验经检验x=9是方程的解。是方程的解。59=45 29=18答：小车每小时行答：小车每小时行45千米，大车每小时行千米，大车每小时行18千米。千米。 4 4、已知轮船在静水中每小时行、已知轮
20、船在静水中每小时行2020千米，如果此船千米，如果此船在某江中顺流航行在某江中顺流航行7272千米所用的时间与逆流航行千米所用的时间与逆流航行4848千千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米千米? ?解：设水流的速度为解：设水流的速度为x,则则想一想想一想1 1：某次测试，初二（某次测试，初二（5）班）班55位同学中，位同学中，80分的分的有有25位，位，90分分的有的有30位，班级平均分怎么算？位，班级平均分怎么算？平均分平均分=8025+903025+30=总分数总分数总人数某商场把甲、乙两种糖果混合出售，并用以下公某商场把甲、乙
21、两种糖果混合出售，并用以下公式来确定混合糖果的单价式来确定混合糖果的单价(a1、a2分别表示甲、乙两种糖果的单价，分别表示甲、乙两种糖果的单价，m1、m2分别表示甲、乙两种糖果的质量千克数分别表示甲、乙两种糖果的质量千克数)。已知。已知a1=30元元/千克，千克，a2=20元元/千克。现在单价为千克。现在单价为24元元/千克的这种混千克的这种混合糖果合糖果100千克，商场想通过增加甲种糖果，把单价提千克，商场想通过增加甲种糖果，把单价提高高10%，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮商场算，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮商场算出结果吗？出结果吗？S=a1m1+a2m2m1+m2单价单价 =总价格总价格总质量总质量想一想想一想2 2：
