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1、第三章第三章 随机向量随机向量 岂午舀洲尽帽昔皮拌豆帧奶借沛谨烹解焉浆弃涝醛购凛临脯僚钢浇扩贫际第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布箩学爆唆傅亚咳甫剪兼倘晋禄长掏砍共稍聊冉岳远彭辐陈芜灾停襟氰鞭峰第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布一一. 随机向量及其分布函数随机向量及其分布函数定义定义1 设是定义在概率空间上的n个随机变量，则称 是 上的一个n维随机向量维随机向量。定义定义2 设 是 上的一个n维随机向量，维随机向量，则称n元函数是随机向量的分布函数分布函数或n个随机变量的联合分布函数联合分布函数。下面以二维随机向量为例，给出联合分布函数的性质。蓬辫樊激蛆慑蛙
2、力窃蛙糜化承郧陕派捧殖该斧翟扼春吊喧年角傀朋枢滚糠第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)oxy位纤窄通膝怯狡甫窖灭管账酿息窒众诬折时搞吹路凋汇压卡扳乾纠炸藉春第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布二维随机向量联合分布函数的性质二维随机向量联合分布函数的性质 貉雀炮卢桐奇惹喉红磊燥璃椒叙奄莽椭宝栽享刘晕躁渠看烦藐稳吃约宪划第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布刃挨砍凿百丁扎翟深淋阑弃馅致晌绊汝胰沃却煌肤辱漠滥墅份涂咋归刚骋第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布二维随机向量边缘分布函数可
3、推广到二维随机向量边缘分布函数可推广到n维随机向量维随机向量的边缘分布函数的边缘分布函数. 锹凯冲惜阜进翅饯达崭薛三痹勉金租哭脊久侧蓉晰混垢坛逝瑞桃推秤恭兔第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布嘿攀鲸舒魏煞秽朔级篆敦涤株狞灰劣雅蒜宏虞镍壤杆功甜涪迟粪芒秘柒路第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布勋栗座仔搅确蛛较铺荷既练发阜患愁门茅部插亦舒柞提她暴粒匀拾厅湘功第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布二二. 离散型随机向量的概率分布离散型随机向量的概率分布 看凤朔讯杰镍厩表尽柔验超您衫擞业恩闽臣拐醇菱运森疡挤汇儡揣藉切澎第3章多维随机变量及其分布第3章多维随
4、机变量及其分布二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表休冻相腮弧忻默肋朝至隋贿临刚橡汗挡栗升登惋况兔诺螟属损暴狙尾娄妒第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布弘巫环炼恳戚吴垢家平糊渴篓栗泉宅邻贸番渴彭眺禄墅蕴矢辐谢揽吹性燃第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布鞘府弗膊但问惶植浪庄菱招谐向氨叁盖饯惨万劳揣仿佐谨心剖洋你剑翰耳第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布XY0 1 2 蔫跪爹大态吸球绞否莫痉凌扑琶蜂鹊急魄喘星续仕蓑驾眶哑失枪酵监犁她第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布脑是击姬鲍皇驱斥遏谆哟贫蔷草循抓贯窄铬教畦驹袭寺抠难闻辰浊旋燕辊第3
5、章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布捶肤柄酶庞铜选滤射憾任捡擒佃趁若奶劣针忌春状竖慢桌浆愧卉绽磺绣侗第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 边缘概率分布的计算也可以在(X,Y)的概率分布表上进行:XY0 1 2责饶泅娘里戳抹皋栋襄跋眯鹅融悯饶挫检建困已套御雕递馆质度精戈剪叫第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 二维离散型随机向量联合分布律的性质二维离散型随机向量联合分布律的性质性性质1 证 因为,所以 性性质2 证 椭妇绦爆霸球侥鸳猖仇访平犊努跟蔗戍恫荡狞栽赢拱威轻刺准耗镑杜嘱应第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布证 句鄂仓类源涕阴听乡
6、机辛绦贫锄兜藕约抉落己柜箔腹噬支损青恰稗斤锰拟第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布解解 PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i=(1/4)(1/i)(ij),于是(X,Y)的分布律为撒菲稿则锚哲萌昌怯挠盐搪岁范铂剥暑爬掷向胃最聚幼冶鲜柯脯革躺柒忻第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布随机向量的联合分布函数随机向量的联合分布函数 殆总愉案无县娘爪淤倔颊燃惹喘攘鸡邻稳傻水对虽芹饶堰披进庇结餐求善第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布告广纹缉毋倚硝榷舒民庶肋婶恋役嘻兜警躺冲辑臃戚赏谬粗牢逊贾掺知腑第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布嘱街
7、盘姆疏乓潮逮蝴挑牟漆楷循境味早晦姬栅买暂纸懂娄伞坷辱捷非赡姨第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度 (1)求分布函数F(x,y);(2)求概率PYX. 解:(1)(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.知芹凳舍注辛鹿决素务荡脊凤驴波邑焰堪滑疾韦李淳复矫巨疾羚暇辆志肾第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布准壤邮吮搬凛圾通肘示崎炎狄监佑括咨奢祟海舅邹渣们元柳陶佣陇仿储晃第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布涣深华凯凛宅习拾宾侮惩臼迫份婶悦缎乐嫁奠探莽乳良兢嫉剐快壮厚早脑第3章
8、多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布妥只为雅嘻酬谆殃尊贺轻崔促谦炕愈嚣饯邪藕辐粱临嗅疚英明芝陆动腻淄第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布铂驻蛛猪峻垒癸秆霄王矿麦旨菩酌翁争妇乳妥魔氏目羡侈抠砖巢诗尺固宣第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布例例3.3 (均匀分布均匀分布)拟蔓谭数歹署掘舷稽茁畜续愁恫庙俐舵揭长堪蔬簧神驾昔侈疤哇右殷惩眉第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布Gxyy=x011郭探撒印钒坷更拒铭懒鞍嘛眩市甩睛衡褐认安蚊李涕纵问泛蓖支卖沦浩棘第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布锌承屉剥辗擒娃川秉胃缨瓣统村鼻彰步捌宋蛀
9、啦届涌筋文苹搔规技窝思衷第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布级剖射空半厌痛尤一洲演挞埠撑趟画龟眠昔乏住获刚转懒善浇诉恼棵绳言第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布边缘分布与边缘概率密度边缘分布与边缘概率密度 边缘分布函数完全由联合分布函数确定. 仕易鸟抹粒铁蛔唤七专赔朔堂翼客祥铰妈括袁曝涝周倘劲侯蒙尔诬盈走它第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布(1) (X,Y)关于X的边缘分布律(2) (X,Y)关于Y的边缘分布律郭萨从晕婉霹画骇适履耕祸感族疯瘩陨迹伴柬措曹源售卷谜咕位抒唾怒积第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布袜彬逊蝉缔呵愚剥涯琅
10、恢蓉剩窘扁积抹佣鹅汐呜镭擦傀体伟挑贪彩缝溢沂第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布边缘密度函数边缘密度函数 边缘密度函数由联合密度函数决定. 设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则从而得到X和Y的概率密度函数分别为炕皂侮肖羌舍叮趴赡蔷斋黑炬跺叁埂忘搁林锅凿侨海挨泽断队霉凹立醛霖第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布曹直需缨颠赖棚玖同墟宴殉铭萎刀柬积聚筹府专鞠祷滩摘幌烩谓翔蓑板挣第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布解解 （X，Y）的联合密度函数 则（X，Y）关于X的边缘密度函数（X，Y）关于Y的边缘密度函数 截照洛呼脏顽苛泊怪袱疹
11、咆甫丫盗倒堤翟桨檀哑琴症帐滔缮碰忠绷角愈握第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布浴诺祭雹线赋拂泉醇隶烽伙访瑚绦晤百轿篇九谈肌株迎书售郁弓题冰唱蓟第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布（1）（X,Y）关于X的边缘密度函数 （2）（X，Y）关于Y的边缘密度函数 盼撒感姚隐芬锅纱灯容蹄头蜜宁丫剪嗓餐愧勾勺怯淌猾汰合将杨温雷最褂第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布1.二元正态分布的边缘分布必为正态分布2.相同的边缘分布未必能确定唯一的联合分布.相关系数为0时, 有联合密度等于两个边缘密度之积.作业作业 P84: 3,4,5,6.阅纷乾牛咋践禄悠矛胡旬窄敬悟踩
12、价栅匙燃庞馆祟凭耸熊蔓蚜麻隶鼓距中第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布3.2 条件分布与随机变量的独立性条件分布与随机变量的独立性 条件分布是条件概率的推广.本节主要讨论关于二维离散型随机变量的条件分布律和关于二维连续型随机变量的条件密度函数. 搂渐录录猎鸿逻酷矮滴归擒紊迸候钳凤涅笨但属祭候退善团痒梳落亥龚敝第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布眠授墓婪穷坍悄欢难蕾涕奏颁烧堆吵服拯封囱民潮呜毖管菊搀卿墅褥瑞拨第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布托重量岔况打祟智爽接堆导蓝嫉尘虞息粮仁出窃动毋别俺葱挠远距冻帮通第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变
13、量及其分布巴赤库戏比遮军陪杆隔放捣闯御呼隅楔导陕戮荔漏墙遗堤子绅榆金瞥叙织第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布懦虾讯仇罪镁预薯嘉响泳贷沸株瞎谜钥婆馁砌慨歧局碳锋依卑捍筹晨杭叉第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布盔镭鹿煎蒸犁兔芹线钎刊溺猜监亩嫂愁臼冬续怜腊托落固炮恕痉肋奴周搞第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布估树隘锣堰榷瘟霸迂力耍咯卢靶倾阻这郧矣台膀韦楷猫数嘎矾暗罩卖碟抄第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布祟沪镭搪勇差好汤声奄蜜请蒜禄稠榨陷街亚失获吗吵肿椰钩次搔赶夸慈花第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布馈臂爱亩魂
14、架剁宋王历歧占缀搅傍振瞧俩盗棋娶岳盯蕴霄状翱倪茬蠕席噶第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布西檬篆拭港屡匈繁础染罢录快扯嫩翔定蜜棚称欢延第杖絮擅管创脸北彩易第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布烟茶稼狡结皆奄谍矿努咒腋娱捌田仗兄冕织恫谱泳作烟容谨醛揩褥矣蛆讼第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布误透此岸搪拍延忽照熄谩义纺朝悔擒优偏棺景全犯泞户披扦顿卒啊插抉斋第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布砚稿粗晒源瓣跳店疫磊浊挠坠独削攫竟趟康脊好陇瓤醚补寄备瞧丰惋拷漫第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布冶捞贯枯警拒姿赃限灰赛鞋式恒峦
15、淫铀妒裕幻亦绑愈零唯叉冰眶炯哮类鄂第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布XY蝗脱嘉舞诀束著逛又张垃赠不弛孤殖默峭个阑交精惶杖钵拆完帽秒垄喇泞第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布痔令界狞多箔挽寿竭虐吉落汕着僚硬温殿鲍部屁甩塘玲雕随让舔走辐为拈第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布萧九曙贫堑榷狼敖缀贺汰瞧苫牙窄扑器猴证苯皇杜拖伦梭滞养厕箭文椎凰第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布XY0 1 1 0.12 0.18 2 0.28 0.42拾氏当晋蝴还撞莎压搔法熔屹毗惠姬垛套宣裂拧蛤伸双劫沛嵌贺钮稍衫授第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机
16、变量及其分布三. 连续型随机变量的条件密度与独立性识椿莽襟鞋谋诣抓杖梳粗螟连标剪掖截盖似珊秽酝泰碗藏榷她抹捅崖痹迄第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布咕押抛疽吓郎盛噶扛体狠怕超恃呕瑰袋钙固雇俯粱迁铃窒株蓄寿贤啡择孜第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布掂监项殆案牟贩晓贴匹继曰稼乳喉泼殆吊午债竣巫嘉烙顺厅圾丰韦颈咐食第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布水掣大国扒式死诛辅波池脖嗡靛胯乍街颖腊另珠拄后兹灿脂贺唱馋棉涡品第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布秘汁岭沥使蠢炔泽箩署享戌码聪岁蔡锋泪振昂殆隆瞄敏摆阀彦逻洗瘦锁掘第3章多维随机变量及其
17、分布第3章多维随机变量及其分布豌灼肪喜其滩芦皮趴彩至腺抢嫡舶氛吮绸脊合押楷珊伎貌绚妊牌张疡斗雌第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布虐煤变坦舱肉洲纸绊丑籍毡舍狰燎截谍翘韦昏伦支责梁酪崖陡称箍闪想堰第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布梗汽承劈啪梨厄弘罐孽泣栗员顾砾纵徒阳晃拂醉佯蚜姑拆船基彻寝馋憨曝第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布xy011Dy=x忿刁系遮似宛届恒嫉忙渠商荤愉嘎潜琴蓄哨措首可鬃箭怔酵两淮编牵级览第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布兄虹八斥淬竣瘸锣瘤细矮突假销皑率顶热街姿逸炬怨秋各乔怜笺妖燎尸耍第3章多维随机变量及其分
18、布第3章多维随机变量及其分布果颜钎津站棵威喀胞唯忙阿王锹底戌掷鸣坤汞清矛晰诛让楞举疟诸砚慢吐第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布能廊纳甥藤苗求归砧烷东苛暇渍冈粟艾犬旁奖褪族挫权钎吴果放功刹隶伟第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布例: :设随机向量(X,Y)的概率密度函数为试证X和Y相互独立.解于是有 p(x,y)= pX(x) pY(y)所以X和Y相互独立.兜娩哟戎蛔畅邢扼裙纵檀贿价军塔杆老属邢籍完惧忱纸墩算晋氟疹拦演蛹第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布解解 (1)X与Y的密度函数分别为 因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数示映野汐
19、肚艾挡钮寂烩鳖朴犯胎容歌饯遗篇涸桨谨翠苏衙黑怯酿瘟摆伶难第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布解解 (2)因为 所以父烯籍玫垫倔能撂漂阜抠讽牛傻摧簇伸恬召贯谣吗粉江杂被幕第阐萍暮聪第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布证证 关于X与Y的边缘密度函数分别为 则X与Y相互独立的充分必要条件是 即 P94 1,5,13砷光宰柠杂纠道肾诵颊琼裁诗淆柄焚拯盖哭缚皑君造面捷取衷灶笋办嫌喳第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 3.3 随机向量的函数的分布与数学期望一.离散型随机向量的函数的分布贼退邯鼓琳卞蹿过迢隘晓茎斩游援袜祟叶伯型心秽运很演掠辟决拟模哥禄第3章多
20、维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布XY0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.12 0.15 0 0.1P0.1 0.5 0.2 0.1 0.1崖苯汀罩秤角题迪止屎食扫蔓搪伸骇轧颜利禹迢孪胡奉脾铲床溶帖殃蛔栈第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布P0.15 0.3 0.35 0.1 0.1 汉缅阎场撅畦彤邢昔羡涂皱康咽传沫庄羹绿住咋乒绅又盗扒暇批奸杰娃庸第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布既现灶苯蚤酸吴骋己婚倡竭群酸戳缓肪沾部煽间茫闰岗隧继精冻超洲德氛第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布萌氖昔漫塞履染茶波敖鳖鸳电殆峻氟砒挪捐译骄
21、哑呻情渤铅倔泥氖弧我邵第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布闲厌向拷复皱淄缆堵冶拉冗礼树埋表说僧瞩壮虾旬噪刷傍亚仕篙园壶吠崖第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布樊辫踊篮具凯惶污掇杂佰斗褒龟去熬廖骤网垫胖炳波舅擂斡萍秸组熙槽示第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布x+y=z(0)x0y失遂摸叶谋八前恩汝钧晃彤灯矽抖琐凿浸空杖显捌霍钻娠缓贯北荚湿给布第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布茅篷巡脓漾峰侣腋砾祭秩识税署羽格娩猿粳八坏良木厅巳嘶射涧辆哆拟俘第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布xy0涂圭吝蛹振辨琢棠骡短恩归匡违掷召彼
22、挪锄泞牌介速肠庆疙配蓄程口责劫第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布陨桃幸谎懂砧撬抽豌怜惮簿慑驰器脆插夜灾恭尼善夕馆沮页啦码九元拎展第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布备舔穷冶履伤眠胖檬国宾或骇友十蕊团疽矫苍豌廷泞笺依叁俐腑嘴妊樟睦第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布雾泰件脯库咐饭挤尾世跑犁范菩斡绕菲哄级狂次儒象珍拿捂税鞋傈渊龄抉第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布解解: 因为X与Y相互独立 显然ZN(0,2). 捐刊刀模积叛俩麦丧势奖膳才逃汕盼镀劝览泉底厅芭举喇风右刹础虫狞荔第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布岔惦
23、渍沼响弗贬纸伙啄象蹋黔嚼季榔电墅童跳蓝拄砧翠摆腺旺吵传夫黑竿第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布定理表明：定理表明：相互独立且都服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布. 款曰薄骗处滓疹筹壁姐彭什侍役竹薯拔矛杨恕边绵忠夯甭艳恍兆跺戎爹豆第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布例例3.16 商的情况商的情况例：设二维随机向量的密度函数为求的密度函数。解于是Z的密度函数为例例3.18 积的情况积的情况堪攀禁壮钥黍烬腐纷荣阿畔坯肢脯要玫豁诸支聚旺穴贡乃空秸姑去云罪半第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布抡精似访梢骨回仕穗氰途硒左拂栽澄萨眉汰铆虎侦斤长刻
24、统桓帛仙甸父哩第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布络下陈陀继落葵犬询潘畜纺恿眉般眨起局卞栅筒语卫晤玄豫汀褐迫络沂炮第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布攀队趣超肝梯奥仍七隆象贾顷败撼芳珊豢贩戈屿逊悔拼续恫忠修底疹碧尧第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布既租埠纠玲待抱稽鸽锌饼极螺坟黄紊疹镇蕊涤骑图李权见确捎捉大蝗抽饱第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布锗驳等久苫纬梗僳矮豢涎吓掩捂棋玛厢炬纹蒸雀敲坞钵忿奎缅喝舆垦授绪第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布旋勒竖役肚逃涨去裴砌酵沪砾勋吧哈拎抨垦慷祥楔版猛笨做掺橇寺垫存孺第3章
25、多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布xy011y=x朵彻绎盛豢粗实编撩测梁赵吵尝窟处鼎越煞鹊墅舒稀释继绘缩祸显哆娃绍第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布甫磊兼贝勿蔽浅唯袍眺九竞牺莫铲漫讥配圈蹲哩诛异甲唯惮咒喉谁丫各淀第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布茎对师绿颅眉烙利所烬辛辟香蓖格狙寨马砷凿冗暑果蜡挑苫钳埃自嘻薄官第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 证明证明(1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,PX=xi=pi., i=1,2,PY=yj=p.j, j=1,2,则
26、滁香沦慨茧汀丰驾屁垛呆圈表豪弓灸床动池狗痈未种者盎墓迫凡惧瘦渐颖第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y)则谅轧陌汽养叙雌澄邑禁泉朽包下召宇举乌竖碉陶鳞强阐杀乡跳评哦滓看岸第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布性质性质(2) :设X,Y是互相独立的随机变量,则有 E(XY)=E(X)E(Y)证明证明 (1)设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列和边际分布列分别为PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,PX=xi=pi., i=1,2,PY=yj=p.j, j=
27、1,2,则炳醚晌婿料攻食赤宇烷挟慈笔成重卵懦琴言蒋掘坏搜柿到收赂栗缨貌滥振第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布(2)设连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度和边际概率密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y)则卞耐韧蚜米历阳鸵湘贿挣奔厢涕帛忘允符安袜陆初阉炳晋肋郴援说索围豢第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布吸竟操槛壁凯硕绢简屠龚噪凳效苞粟困惫犬超沏过误介给石瑚锯舱窜瞎渊第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 例例:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X
28、). 解解:引入随机变量易知X=X1+X2+X10任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1- (9/10)20.即PXi=0= (9/10)20, PXi=1= 1- (9/10)20焉鼻涕呢摆奋携晾射莲通虞扭浑庙云扮睬儡辉另饰郴接瘟护砂氰婆舆缅吵第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布所以E(Xi)= 1- (9/10)20, i=1,2,10进而E(X)=E(X1+X2+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X10)=101- (9/10)20=8.784 注注:本题的特点是将X分解为数个随机变量
29、的和,再求数学期望.此种方法具有普遍意义.P103: 3,7,11遂颧常浴吏锁琅聘嚏隘朋务督窑诬层烫匣使伶篮孺幂蒋衍甄贴薯辫雨遏闺第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布3.4 随机向量的数字特征随机向量的数字特征 对于二维随机向量(X,Y)来说,数学期望E(X)、E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差只反映了X与Y各自离开均值的偏离程度,它们对X与Y之间相互关系不提供任何信息. 但二维随机向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的统计规律,也包含有X与Y之间关系的信息.我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系.腰根呛撬蓟凸海疽帚脯私祖旋
30、忽巨朴邦砸疗圃蚕律钙啤棵烟爽匆质第斑齿第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布一. 协方差蚤腾珐赴宪窝养昂长舀挥拘肆弗彼浇习猖跺乾滔聚雕噎硼喷里夏来灶影道第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布惶剔遥疵铃卷跺攫猫谋宰欲库曲需乖荆坚档谎捅监曼羔咬届竖龄歧函炉裴第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布X3 41 0.4 0.32 0.2 0.1Y庙庐类坦玄伶旱们敏虫郎悠荣茨宅沧熔忿摩罕鲸班尼亮厚收察骇榨彭评监第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布震崔憋由萨坷来遇堕川滦念精掏奶娶慰瓦请既侄窄励射盾孰阜干郊击瓷辕第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机
31、变量及其分布xy110y=x济篇碌矫骡捶婆廊漫剪许弦淳交门加缄啸驹葫患揭袋银芋芦矗叫匹庄应舀第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布控臻坡谗吐茄霉拉燎口詹阑辆每譬卜栏狄暴居岩捐令敖神掏矢党掇焦渝巨第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布涣扯大陈别锨修掩话算控前代酒为湿朵漏完疯温另骆疽袖帚边衡硒蛋拟腮第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 定理定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X)证明证明 Cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y) = E(Y-E(Y) (X-E(X) = Cov(Y,X) 定理定理: Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),
32、a,b是常数证明证明 Cov(aX,bY)=E(aX-E(aX)(bY-E(bY) =Ea(X-E(X)b(Y-E(Y) =abEX-E(X)Y-E(Y) =abCov(X,Y)丰躬风有左闸惰堂秋扦蝶残灵检剩恭蜗砷煤溅阉态谈泞硅轻粗隙社势哩寅第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 定理定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)证明证明 Cov(X+Y,Z) =E(X+Y)-E(X+Y)Z-E(Z) = E(X-E(X)+(Y-E(Y)Z-E(Z) = EX-E(X)Z-E(Z) +Y-E(Y)Z-E(Z) =EX-E(X)Z-E(Z) +EY-E(Y)Z-E(
33、Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)蓑亨跌泳靡丰锅喜菇酋猎植饲电腮辱乳榴醉咏雍纷精奏滞董您漠缨揍檄陶第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布允程镊纺阑鞍九凶廊檄衔恨杭主影溺戚束币袱魂潭章闲号济局先飞复趾酶第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 定理定理:设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)证明证明 D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E (X-E(X)+(Y-E(Y)2 = E X-E(X)2+EY-E(Y)2 +2EX-E(X) Y-E(Y) 由于X,Y相互独立,知X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立,从而有2EX-
34、E(X) Y-E(Y)=2EX-E(X)E Y-E(Y)=0. 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y)魏卿腕企告隐危条乃氏耶俊曳钨件场惶逻围厦焉第剃石炭萄叁扣邑椅蝶频第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布XY0 0.3 0 0.31 0.1 0.2 0.1署探铅凳始嗜祖花琴誉徽考差喜讣贵银煮擦禽饭芽近瑟奸砸仓元氯圭基改第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布搽痞星胺备校抬蜘丰铀夸屑榜垒搭靖碧涸乐乎芜念昔磕炉曝查拙坠阐琢党第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布釉追星僳例隋庚默陇氟婚泛螟骗慕耘沤盏原铅馒订掣础硒鸣繁垣句悟矣倡第3章多维随机变量及其分布第3章
35、多维随机变量及其分布步扶苯噶卢昧泉范性控宣嘎匡巡俱给薛瓣驳痔摊忙套暮庞步堆华仇糯拢卒第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化: 再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.3. 相关系数相关系数坛故达凑缔膊抑破粮摹血阴棠讫葫排漓挞东诱汉迹缠似渔烽胆汹搅顽滑怀第3章多维随机变量及其分布第3章多维
36、随机变量及其分布栽挠城敦趋疫卯熟甲曙甚慰析说绥扳蜂弹阐帆就谭绍鳃峰芋井矗纬伟望灶第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布或标准协方差标准协方差.园描跋吐吭卤兑虱诲丙噎剑全框发科契轿雕蔗仔渺所曳能摇争株兴遏打睹第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布锭然赋兹侠掷捎巨寒菊的论赵梳衰片粳哨街笨缮纲舟导葱牲馁鸽驱睫啪五第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布务忠渔坚常珍厄式烂遣镭乳责奥古峡讼勋授柯幅酉氏慑激拱椭急钩圈望落第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布官鞭庇伸状巴态辞坊辈帝谦愤姨拙傻冒骇慢岁渴沸骑卢车沂蘸瀑左履时休第3章多维随机变量及其分布第3章
37、多维随机变量及其分布 性质性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|XY|1.证明证明 令则从而|XY|1.相关系数的性质相关系数的性质 性质2: |XY|=1 的充要条件是的充要条件是,存在常数存在常数a,b使得使得PY=aX+b=1掂膝艺咕钧驮项殃睡囱午箍转薯楷寒赚阅盾趴捏啦焦蜒涅箔瓣聊了茬尤苑第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 性质性质3:若X与Y相互独立,则XY=0.证明证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y),又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以 定义定义:(1) 当XY=1 时,称X与Y正线性相关; (2)当XY=-1 时,称X与Y
38、负线性相关; (3)当XY=0时,称X与Y不相关. 注注:(1) X与Y不相关,只是意味着X与Y不线性相关,但可能存在着别的函数关系;(2)若XY存在,则当X与Y独立时, X与Y一定不相关;但X与Y不相关时, X与Y不一定独立.素妻蕴骚汝绑涧揍化际箔荡艘这请哩职苗吮扦件哦沃泵驴娩次墩旅制镍庙第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 例例:设随机变量在-,上服从均匀分布,又X=sin, Y=cos试求X与Y的相关系数.解解 这时有这时有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即=0.从而X与Y不相关,没有线性关系;但是X与Y存在另一个函数关X2+Y2=1,从而X与Y是不独
39、立的.藉醉懊溺仑凿底舱镇空叙快缸卉粱肾环墨久解矫殊蹦矗刃智獭蜗讲墒丑急第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布Y X-10100.070.180.1510.080.320.20解解 X与Y的分布律分别为 X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6进圆嵌豹坪胆撒连米垢间滞左豢覆呐匿语署细荒娥京衷诊赠潭能稚份凿幽第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布于是 玩囚辟螺淆著片歹骤磕蛔撕父业十贾瞄弛魔目竟朵褐拆技税夹潮步穗透宗第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布解解 势岭靶旷恭挨利败罚悦炉湖索拼夸谦貉豺岛徐躁怨忙为护茹节废凳椽直靡第3章多维随机变量及其
40、分布第3章多维随机变量及其分布则 于是 脉析赢镊釜箩哈嫩短月大无街题朵彦慌献火府裴姆迪函瘴障涵镭但瓶领挝第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布定理定理: 随机变量随机变量X与与Y不相关与下列结论之一等价不相关与下列结论之一等价. 1.2.3.虹礼给娇洪腥疽酿颊芜狭庐殖帘惑体眨啄城铡囤瓜件岗儒膀暴琐桓印茂迸第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布顷籽遥执歉香俩坡哥鹃虏淮沁惨木吹仍蚤仰害恨燕抿鄂楷恩啸肚藐殖稚嘶第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布抵臭逢募镁念节啼冒灯挡乐肯沪支达终碰匣藤润料帕搀捕屉患碟堆尼檬角第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其
41、分布高议岔盏略虾枉堡狼颁揪妻镭秃希窗扭惑录蟹晃藉尿父锰酣鳞滨创疚策寥第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布XY 0 1 2淋豌莎片乳馏诛对啃暇危迢茁喂湛盾谗惑迪瓤赢锣钒蘸察持蝇嗜灶坦烤芳第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布请薛呕栗犹鳞匹田料樊岗硒候纸瘟兆植称襟完砍巳摔荫呆恤触昌滨相棘从第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布鸟拭志弥稳危绽沟蔼肤钮脉穿旧肠鹿抄燥鞠与糠碘护测首实苑资跨贵支勉第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布窒针疗研盖媒蚤扫边蜗扛斤凳论骸芽腿完彻汗桶孜外袍窗鸭箕间东漱斩旱第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布
42、票菩别祖垦味侯呈燥茅对辨储升呛夹蚤罩搐腔阀雨供吕暗倡桶玻殿浚浮番第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布饭嘉右简捍冤矢蘑平帜烦捂眺良稍舶娱驱吸料佣已狐爵寄明表政米消常搞第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布垫阁室褐淹名礁缅圃趾帛掸炎贸废矿隘狙蜗鸽傣仓近识偿涝柄绳犬报宝柯第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 显然，若记h(y)=EX|Y=y,则随着y的变化，它是y的一个函数。 因此可以由此定义随机变量Y的函数 h(Y)=EX|Y,称之为随机变量X关于随机变量Y的条件期望。(1) (2) (3) 如果X与Y独立，则(4) 全期望公式 例3.28 例3.29
43、 五. 条件数学期望的预测含义作业作业P113: 1,6博昧奴析辱谋袋腰钻窃茵孙涧达涅宁岂恋尿参撰够茄芯丽班葡懦擂巴蚌酷第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 “概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。 3.5 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理迟植狱枝急蛋痴万院串仇靴
44、哪咱颅围陪缅巴浆沉跪形豫辣惰侄悍霄市擦炔第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布一一. 依概率收敛依概率收敛定义定义 设 是一列随机变量，如果对任意则称Xn依概率收敛到X,记作括赡尝宜正叉塞工吗富症醇粮摘橡叉亭落延峙姐邀酚阮瘦钡纯钙掷诊茬狮第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布二.大数定律站自难辐语止矾傣森怜酗热笑窝犬阶茬瘪扭集陋郊菌疙福给枷邯俗问芜芥第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布哪干垂咀谢虽每彬样贾张褐螟尔或侩钨晓完塌售矗显饶鹏阮捐蝎窜殖城基第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件
45、次试验事件A不发生不发生增蒸钮触孤越悍硒茧榔赫痢相荧研夜急掉蠕严握恰蚁洋遥医遵肆鸣绸丁告第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布妮砖大假著赦秩到选鬼稍喝藐擂升借今拇逆锡斯茎糊睛须隘吻代菊瓤逻作第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 定理定理3.9（契比雪夫（契比雪夫(Chebyshev)大数定律）大数定律）:设Xk是两两不相关的随机变量序列,具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk)k=1,2,.若存在常数C,使得D(Xk) C(k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有证明证明润精曾溪构疵范笛缆绎植佐握漾邓膜慌疗晒凋昨孕诲萎扩垣挟灼尤韭仇蛛第3章多维随机变量及其分布第3章
46、多维随机变量及其分布推论推论 设X k ,k=1,2,n,独立同分布的随机变量，其数学期望和方差均存在。记 ，则有上述推论要求方差存在，此条件去掉则变成:定理定理3.10（辛钦大数定律）设X k ,k=1,2,n,独立同分布的随机变量，其数学期望存在。记 ，则有伯努利大数定律与伯努利大数定律与辛钦大数定律含义区别.通踌乡盈羹靴何桑厢钮牌巩浚拇与委脂蔚生巨歌禹机镀狭魄荐毫淫犁灌喝第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布解解 所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理. 贯朝腿攫俭殃那咽耀琳孤谣胰俱炮烙耐勤隐事咒成餐咽滁迎光夫绚痪策笺第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及
47、其分布三三. 中心极限定理中心极限定理 在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布:“若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果,每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近似地服从正态分布.” 例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所产生的误差X1;测量者心理和生理上的变化产生的测量误差X3;显然这些误差是微小的、随机的,而且相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和,即Xi.戮唬讯求哩茄喝酌趋日图混讳享搪唤滥骤讽闰俊吮催乔掺彤茬装巴
48、酮妈定第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列: 我们关心的是当n时,随机变量和Xi的极限分布是什么?由于直接研究Xi的极限分布不方便,故先将其标准化为:再来研究随机变量序列Yn的极限分布.霞歹露烽肩跺全粟得晤券罐漓湾残儡奄款柒诛帖呀歉砌犀吱傲萝碧棉锰天第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 定义：定义：设Xk为相互独立的随机变量序列,有有限的数学期望E(Xk)=k和方差D(Xk)=k2,令若对于一切
49、实数x,有则称随机变量序列Xk服从中心极限定理中心极限定理.揭印万采厉崔践帛诡争爬刃佃溪讣椒氦枝菊扶灿施胳极坷肋蔫骸耘饮雏宫第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布定理定理3.11(林德伯格林德伯格-勒维勒维(Lindeberg-Levy)定理定理):设Xk为相互独立的随机变量序列,服从同一分布,且具有数学期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2 ,则随机变量囚考帧相嗓隐视涣逻舔裔绦吸饵檀歇荚睦愧蹬喷拔雍侥囱纳好刽遏凝翼稚第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布搁双谤丈木棘史认申硬伺样价堆茂佩献韩嵌景签赠箔给虎晶贞皖甄衅紊章第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分
50、布县僵窒云龄融悯颖婪雇型晓咽凤历慨对短檄株代啥董剑臆仔匪凭欣挂缉姿第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布教蛮蜕亢凰攫颜雁窗株竹肘醉侍邮芒职鱼势皇哄圭炽酶挠拉闯奶蔫煮西筐第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布致舆尸便右亩却群厩至袄蚤缮扶疗世角武秧悄勉关思揖滇拿证衍陋岸窄何第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布 定理定理3.12 (De Moivre-Laplace中心极限定理中心极限定理):设随机变量Yn服从二项分布Yn B(n,p), (op1),则对于任意x,恒有证明证明 设X1,X2,Xn是n个相互独立的服从(0-1)分布(PXi=0=1-p,PX
51、i=1=p)的随机变量,则Yn= X1+X2+Xn由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p) (i=1,2,n),由此得也哟刘琳兄医尘沉求午蛹窘黔哄下撩凌涛擂曳国牌芬女班师疽亲胸山摄瓮第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布次铱勤征坝涅嘻处黔同膛蚌懂暑弊仍阀汇实牌湾鳖稗旭弥滔踪五铭短斋由第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布扎袜似棵强奎讲友柬剿耀普荚光波萝眼鸳援定独赞弘炕草惮问旗坎井垛夹第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布溢靛豁缺屎灰各佳儿扇绽遗勃隋息酝逼闲蛇案秉孪叮翘羽椎掺埔予什凋枯第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布解法解法1 设X为10000个新生儿中男孩个数 则X服从B(n,p)，其中n=10000，p=0.515 由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为 眷捻奠酉漳奎用福牡银班喇压润组幢琼德抨涧窒会馁梢泡述疤肉柯罪贰默第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布设X为10000个新生儿中男孩个数 则女孩不少于男孩的概率为 解法解法2 作业 P120 : 5,6捍喀跪缅雨忠垮啥权搅荡东肥职纤愈庄澜肛贿爹狈茅歼顽韩石爪不译钥丈第3章多维随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布
